建立数学模型巧解应用题

2024年4月12日发(作者：四下数学试卷五单元答案)

建立数学模型巧解应用题

在学习数学时，应用题一直是困扰很多学生的难点，因为应用

题往往需要将数学知识灵活运用到实际问题中，这个过程需要思

想能力、逻辑思维和丰富的经验积累。而在应用题的解答中，建

立数学模型是步骤中不可或缺的环节。

何为数学模型？

数学模型是指将某个实际问题抽象化，用数学符号来表述，并

使用数学方法进行分析、计算、预测的过程。在建立数学模型的

过程中，可以用数学语言精确地描述问题，避免了自然语言的模

糊表达和理解。同时，数学模型还可以为实际问题提供客观、科

学的分析和解答方法。

建立数学模型的步骤

建立数学模型的主要步骤包括以下几个方面：

1.了解问题：首先需要对实际问题进行全面的了解和研究，明

确问题的意义、条件和限制等。

2.定义变量：将实际问题中的相关量和变量用符号来表示，并

根据问题的特点和条件定义合适的变量。

3.建立关系式：根据问题中的条件和定义的变量，利用数学方

法和理论建立数学关系式，表达各变量之间的关系。

4.求解问题：通过对建立的数学关系式进行方程组求解、微积

分计算等方法，得到问题的解答。

建立数学模型的实例

下面以一个实例来说明建立数学模型在解答应用题中的作用。

某地铁站每天早高峰客流量为500人，平均每秒进站的速度为

2人/秒，每个人进站平均需要的时间为6秒，进站口有4个通道。

问：此时是否需要增设进站通道？增加至多可增加到几个？

步骤1：了解问题。通过题目的描述，明确问题的意义、条件

和限制。该问题涉及到地铁站的早高峰客流量和进站的速度，以

及通道数和进站时间等因素。

步骤2：定义变量。根据问题中的条件，可以定义如下变量：

客流量：N=500人

平均进站速度：v=2人/秒

每个人进站所需时间：t=6秒

通道数：m

进站总时间：T

步骤3：建立数学关系式。根据进站的时间可知，进站的总时

间为进站时间和排队时间之和。而排队时间可以通过排队论的方

法求得。因此可以建立如下的数学关系式：

T = N*t/(m*v) + N^2/(2m*(m*v)^2)

其中，第一项为进站时间，第二项为排队时间。

步骤4：求解问题。根据建立的数学关系式，代入已知的变量

值，进行求解。将T求导，可得到极值点。由于T随着通道数的

增加而减小，因此当通道数增加到4时，T取得最小值，即进站和

排队所需时间最短。因此该站不需要增设进站通道。

通过上述例子，可以看出建立数学模型在解答实际问题中的作

用。建立数学模型不仅能够将实际问题用精确的数学语言表述出

来，而且能够为问题提供科学、客观的分析和解答方法。对于学

习数学的同学来说，建立数学模型不仅是理论学习的重要组成部

分，也是将数学知识灵活运用到实际问题中的关键所在。