2024年1月25日发(作者：2024高中数学试卷)
椭圆的定义与性质
1．椭圆的定义
(1)第一定义：平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点的距离叫做焦距．
(2)第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比是常数e(0 2．椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 x2y2＋＝1(a>b>0) a2b2y2x2＋＝1(a>b>0) a2b2图形 性质 范围 顶点 焦点 准线 －a≤x≤a －b≤y≤b A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b) F1(－c,0) F2(c,0) a2a2l1：x＝－ l2：x＝ cc长轴A1A2的长为2a 短轴B1B2的长为2b F1F2＝2c ce＝，且e∈(0,1) ac2＝a2－b2 对称轴：坐标轴 －b≤x≤b －a≤y≤a A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)， B2(b,0) F1(0，－c) F2(0，c) a2a2l1：y＝－ l2：y＝ cc 轴 焦距 离心率 a，b，c 的关系 对称性 对称中心：原点 每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了！ 1．(夯基释疑)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)动点P到两定点A(－2,0)，B(2,0)的距离之和为4，则点P的轨迹是椭圆．( ) (2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．( ) (3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．( ) (4)已知点F为平面内的一个定点，直线l为平面内的一条定直线．设d为平面内一动点P到定直线l的5距离，若d＝|PF|，则点P的轨迹为椭圆．( ) 4[解析] (1)错误，|PA|＋|PB|＝|AB|＝4，点P的轨迹为线段AB；(2)正确，根据椭圆的第一定义知PF1＋PF2＝2a，F1F2＝2c，故△PF1F2的周长为2a＋2c；(3)错误，椭圆的离心率越大，椭圆越扁．(4)正确，根据椭圆的第二定义． [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ x2y2102．(教材习题改编)焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m＝________. 5m5[解析] 由题设知a2＝5，b2＝m，c2＝5－m，e2＝c25－m1022＝＝()＝，∴5－m＝2，∴m＝3.[答案] 3 a25553．椭圆的焦点坐标为(0，－6)，(0,6)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为20，则椭圆的标准方程为_____． [解析] 椭圆的焦点在y轴上，且x2y2[答案] ＋＝1 64100x2y24．(2014·无锡质检)椭圆＋＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A，B，当△FAB的周长最大时，43△FAB的面积是________． [解析] 直线x＝m过右焦点(1,0)时，△FAB的周长最大，由椭圆定义知，其周长为4a＝8， 每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了！ c＝6,2a＝20，∴a＝10，b2＝a2－c2＝64，故椭圆方程为x2y2＋＝1. 64100 b22×31此时，|AB|＝2×＝＝3，∴S△FAB＝×2×3＝3.[答案] 3 a221x2y25．(2014·江西高考)过点M(1,1)作斜率为－的直线与椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是2ab线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________． [解析] 设A(x，y)，B(x，y)，则xya＋b＝1，x2y11＋＝1，a2b2 x1－x2x1＋x2y1－y2y1＋y2∴＋＝0， a2b2y1－y2b2x1＋x2∴＝－2·. ay1＋y2x1－x2y1－y21b21∵＝－，x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，∴－2＝－， 2a2x1－x2c22∴a2＝2b2.又∵b2＝a2－c2，∴a2＝2(a2－c2)，∴a2＝2c2，∴＝.[答案] a22 考向1 椭圆的定义与标准方程 x2y2【典例1】 (1)(2014·全国大纲卷改编)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率ab为3，过F2的直线l交C于A、B两点．若△AF1B的周长为43，则C的方程为________． 3(2)(2014·苏州质检)椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x＝－4，则该椭圆的方程为________． [解析] (1)由条件知△AF1B的周长＝4a＝43，∴a＝3. c32x2y222∵e＝＝，c＋b＝a，∴c＝1，b＝2.∴椭圆C的方程为＋＝1. a332a2(2)∵椭圆的一条准线为x＝－4，∴焦点在x轴上且＝4，又2c＝4，∴c＝2，∴a2＝8，b2＝4， c每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了！ ∴该椭圆方程为＋＝1.[答案] (1)＋＝1 (2)＋＝1, 843284【规律方法】 (1)一般地，解决与到焦点的距离有关问题时，首先应考虑用定义来解决． (2)求椭圆的标准方程有两种方法 ①定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程． ②待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)． 1【变式训练1】 (1)(2013·广东高考改编)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，2则C的方程是________． x2y2(2)(2014·苏州质检)已知椭圆的方程是2＋＝1(a＞5)，它的两个焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝8，弦a25AB(椭圆上任意两点的线段)过点F1，则△ABF2的周长为________． [解析] (1)右焦点F(1,0)，则椭圆的焦点在x轴上；c＝1. c1x2y2222又离心率为＝，故a＝2，b＝a－c＝4－1＝3，故椭圆的方程为＋＝1. a243(2)∵a＞5，∴椭圆的焦点在x轴上，∵|F1F2|＝8，∴c＝4，∴a2＝25＋c2＝41，则a＝41. 由椭圆定义，|AF1|＋|AF2|＝|BF2|＋|BF1|＝2a， x2y2∴△ABF2的周长为4a＝441.[答案] (1)＋＝1 (2)441 43考向2 椭圆的几何性质 x2y2【典例2】 (1)(2013·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为2＋2＝1(a＞b＞0)，ab右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B.设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d2，若d2＝6d1，则椭圆C的离心率为________． (2)(2014·扬州质检)已知F1、F2是椭圆C的左、右焦点，点P在椭圆上，且满足|PF1|＝2|PF2|，∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为________． a2b2bcb2bc22[解析] (1)依题意，d2＝－c＝.又BF＝c＋b＝a，所以d1＝.由已知可得＝6·，所以6c2ccacac3＝ab，即6c4＝a2(a2－c2)，整理可得a2＝3c2，所以离心率e＝＝. a3π(2)在三角形PF1F2中，由正弦定理得sin∠PF2F1＝1，即∠PF2F1＝， 22c333设|PF2|＝1，则|PF1|＝2，|F2F1|＝3，∴离心率e＝＝. [答案] (1) (2), 2a333【规律方法】 1．椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了！ x2y2x2y2x2y2 用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a，c的关系． 2．椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： c(1)求出a，c，代入公式e＝； a(2)只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)． x2y2【变式训练2】 (1)(2013·课标全国卷Ⅱ改编)设椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，abF2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为________． (2)(2014·徐州一中抽测)已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.则椭圆离心率的范围为________． [解析] (1)如图，在Rt△PF1F2中，∠PF1F2＝30°，∴|PF1|＝2|PF2|，且|PF2|＝3|FF|， 312223c3a3又|PF1|＋|PF2|＝2a，∴|PF2|＝a，于是|F1F2|＝a，因此离心率e＝＝＝. 33a3a3x2y2(2)法一：设椭圆方程为2＋2＝1(a>b>0)，|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝2a. ab在△PF1F2中，由余弦定理可知，4c2＝m2＋n2－2mncos 60°＝(m＋n)2－3mn ＝4a2－3mn≥4a2－3·m＋n2＝4a2－3a2＝a2(当且仅当m＝n时取等号)．∴c2≥1，即e≥1. a24221又0 每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了！ 法二：如图所示，设O是椭圆的中心，A是椭圆短轴上的一个顶点，由于∠F1PF2＝60°，则只需满足60°≤∠F1AF2即可， 1又△F1AF2是等腰三角形，且|AF1|＝|AF2|，所以0°<∠F1F2A≤60°，所以≤cos∠F1F2A<1， 2311又e＝cos∠F1F2A，所以e的取值范围是，1. [答案] (1) (2)，1 322课堂达标练习 一、填空题 1．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为________． 2.过F1的直线2 x2y22c2b21[解析] 设椭圆方程为2＋2＝1(a>b>0)，由e＝知＝，故2＝. ab2a2a2由于△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝16，故a＝4.∴b2＝8. 每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了！ ∴椭圆C的方程为＋＝1.[答案] ＋＝1 168168x2y22．(2013·四川高考改编)从椭圆2＋2＝1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为ab左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是________． c[解析] 设P(－c，y0)代入椭圆方程求得y0，从而求得kOP，由kOP＝kAB及e＝可得离心率e. a2c2a2－c2b4x2y2c2y0222 由题意设P(－c，y0)，将P(－c，y0)代入2＋2＝1，得2＋2＝1，则y0＝b1－a2＝b·2＝2. ababaax2y2x2y2b2b2b2b2∴y0＝或y0＝－(舍去)，∴P－c，a，∴kOP＝－. aaacb－0bbb2∵A(a,0)，B(0，b)，∴kAB＝＝－. 又∵AB∥OP，∴kAB＝kOP，∴－＝－，∴b＝c. aaac0－accc22∴e＝＝22＝＝. [答案] a22c22b＋cx2y23．(2014·辽宁高考)已知椭圆C：＋＝1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分94别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝________. x2y2[解析] 椭圆＋＝1中，a＝3. 如图，设MN的中点为D，则|DF1|＋|DF2|＝2a＝6. 94 ∵D，F1，F2分别为MN，AM，BM的中点，∴|BN|＝2|DF2|，|AN|＝2|DF1|， ∴|AN|＋|BN|＝2(|DF1|＋|DF2|)＝12. [答案] 12 x2y24．(2014·南京调研)如图，已知过椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左顶点A(－a,0)作直线l交y轴于点P，交椭ab→→圆于点Q，若△AOP是等腰三角形，且PQ＝2QA，则椭圆的离心率为________． 每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了！ →→[解析] ∵△AOP为等腰三角形，∴OA＝OP，故A(－a,0)，P(0，a)，又PQ＝2QA， 2aa4ab1－，，∴Q由Q在椭圆上得＋＝1，解得＝. ∴e＝23399ba2522b21－2＝a125251－＝. [答案] 55515．(2014·南京质检)已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于圆C：x2＋y2－2x－15＝02的半径，则椭圆的标准方程是________． c1[解析] 由x2＋y2－2x－15＝0，知r＝4＝2a⇒a＝2. 又e＝＝，c＝1，则b2＝a2－c2＝3. a2x2y2x2y2因此椭圆的标准方程为＋＝1. [答案] ＋＝1 4343x2y26．(2013·辽宁高考改编)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左焦点为F，椭圆C与过原点的直线相交于A，ab4B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝，则椭圆C的离心率为__________． 5[解析] 在△ABF中，由余弦定理得 ，|AF|2＝|AB|2＋|BF|2－2|AB|·|BF|cos∠ABF， 1∴|AF|2＝100＋64－128＝36，∴|AF|＝6，从而|AB|2＝|AF|2＋|BF|2，则AF⊥BF. ∴c＝|OF|＝|AB|＝5， 2利用椭圆的对称性，设F′为右焦点，则|BF′|＝|AF|＝6， ∴2a＝|BF|＋|BF′|＝14，a＝7. c55因此椭圆的离心率e＝＝. [答案] a77→→x2y27．已知F1，F2是椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2.若△PF1F2ab的面积为9，则b＝________. →→[解析] 由定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，且PF1⊥PF2， ∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2， ∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝4c2， 11∴2|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2，∴|PF1||PF2|＝2b2. ∴S△PF1F2＝|PF1||PF2|＝×2b2＝9， 22因此b＝3. [答案] 3 8．(2013·大纲全国卷改编)已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为________． x2y2[解析] 依题意，设椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)． ab31，必在椭圆上， 过点F2(1,0)且垂直于x轴的直线被曲线C截得弦长|AB|＝3， ∴点A219∴2＋2＝1.① 又由c＝1，得1＋b2＝a2.② 由①②联立，得b2＝3，a2＝4. a4bx2y2x2y2故所求椭圆C的方程为＋＝1. [答案] ＋＝1 4343二、解答题 每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了！ 9．(2014·镇江质检)已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率． 4(1)求椭圆C2的方程； →→(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，OB＝2OA，求直线AB的方程． a2－4y2x233[解] (1)设椭圆C2的方程为2＋＝1(a>2)， 其离心率为， 故＝，解得a＝4. a42a2y2x2故椭圆C2的方程为＋＝1. 164(2)法一：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)， →→由OB＝2OA及(1)知，O、A、B三点共线且点A、B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx. x224将y＝kx代入＋y＝1中，得(1＋4k2)x2＝4， 所以x2. A＝41＋4k2y2x216将y＝kx代入＋＝1中，得(4＋k2)x2＝16，所以x2. B＝1644＋k2→→16162又由OB＝2OA，得x2＝， B＝4xA， 即4＋k21＋4k2解得k＝±1.故直线AB的方程为y＝x或y＝－x. 法二：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)， →→由OB＝2OA及(1)知，O、A、B三点共线且点A、B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx. →→x2241616k222222将y＝kx代入＋y＝1中，得(1＋4k)x＝4，所以xA＝. 由OB＝2OA，得xB＝，y＝. 41＋4k21＋4k2B1＋4k2将2x2B，yB代入x24＋k2y2x2＋＝1中，得＝1，即4＋k2＝1＋4k2，解得k＝±1. 1641＋4k2故直线AB的方程为y＝x或y＝－x. x2y210．(2014·安徽高考)设F1，F2分别是椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆Eab于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|. (1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|； 3(2)若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率． 5[解] (1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，得|AF1|＝3，|F1B|＝1. 因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8. 故|AF2|＝2a－|AF1|＝8－3＝5. (2)设|F1B|＝k，则k>0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k. 由椭圆定义可得 |AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k. 每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了！ 在△ABF2中，由余弦定理可得 |AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|cos∠AF2B， 6即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)·(2a－k)， 5化简可得(a＋k)(a－3k)＝0. 而a＋k>0，故a＝3k. 于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k. 因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A， 故△AF1F2为等腰直角三角形． 从而c＝ 2c2a，所以椭圆E的离心率e＝＝. 2a2椭圆的定义与性质 每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了！ 1．椭圆的定义 (1)第一定义：平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于 (大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个 叫做椭圆的焦点，两个 的距离叫做焦距． (2)第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比是常数 ( 2．椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 x2y2＋＝1(a>b>0) a2b2y2x2＋＝1(a>b>0) a2b2图形 性质 范围 顶点 焦点 准线 ≤x≤ ≤y≤ A1( )， A2( ) B1( )，B2( ) F1( ) F2( ) a2a2l1：x＝－ l2：x＝ cc长轴A1A2的长为 短轴B1B2的长为 ≤x≤ ≤y≤ A1( )， A2( ) B1( )，B2( ) F1( ) F2( ) a2a2l1：y＝－ l2：y＝ cc长轴A1A2的长为 短轴B1B2的长为 轴 焦距 离心率 a，b，c 的关系 对称性 F1F2＝ ce＝，且e∈ ac2＝ 对称轴： 对称中心： 每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了！ 1．(夯基释疑)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)动点P到两定点A(－2,0)，B(2,0)的距离之和为4，则点P的轨迹是椭圆．( ) (2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．( ) (3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．( ) (4)已知点F为平面内的一个定点，直线l为平面内的一条定直线．设d为平面内一动点P到定直线l的5距离，若d＝|PF|，则点P的轨迹为椭圆．( ) 4x2y2102．(教材习题改编)焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m＝________. 5m53．椭圆的焦点坐标为(0，－6)，(0,6)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为20，则椭圆的标准方程为_____． x2y24．(2014·无锡质检)椭圆＋＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A，B，当△FAB的周长最大时，43△FAB的面积是________． 1x2y25．(2014·江西高考)过点M(1,1)作斜率为－的直线与椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是2ab线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________． 每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了！ 考向1 椭圆的定义与标准方程 x2y2【典例1】 (1)(2014·全国大纲卷改编)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率ab为3，过F2的直线l交C于A、B两点．若△AF1B的周长为43，则C的方程为________． 3(2)(2014·苏州质检)椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x＝－4，则该椭圆的方程为________． 【规律方法】 (1)一般地，解决与到焦点的距离有关问题时，首先应考虑用定义来解决． (2)求椭圆的标准方程有两种方法 ①定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程． ②待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)． 1【变式训练1】 (1)(2013·广东高考改编)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，2则C的方程是________． x2y2(2)(2014·苏州质检)已知椭圆的方程是2＋＝1(a＞5)，它的两个焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝8，弦a25AB(椭圆上任意两点的线段)过点F1，则△ABF2的周长为________． 考向2 椭圆的几何性质 每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了！ 【典例2】 (1)(2013·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为2＋2＝1(a＞b＞0)，ab右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B.设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d2，若d2＝6d1，则椭圆C的离心率为________． (2)(2014·扬州质检)已知F1、F2是椭圆C的左、右焦点，点P在椭圆上，且满足|PF1|＝2|PF2|，∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为________． 【规律方法】 1．椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a，c的关系． 2．椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： c(1)求出a，c，代入公式e＝； a(2)只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)． x2y2【变式训练2】 (1)(2013·课标全国卷Ⅱ改编)设椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，abF2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为________． (2)(2014·徐州一中抽测)已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.则椭圆离心率的范围为________． 课堂达标练习 一、填空题 1．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为________． 2.过F1的直线2x2y2每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了！ x2y22．(2013·四川高考改编)从椭圆2＋2＝1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆ab与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是________． x2y23．(2014·辽宁高考)已知椭圆C：＋＝1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分94别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝________. x2y24．(2014·南京调研)如图，已知过椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左顶点A(－a,0)作直线l交y轴于点P，交椭ab→→圆于点Q，若△AOP是等腰三角形，且PQ＝2QA，则椭圆的离心率为________． 15．(2014·南京质检)已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于圆C：x2＋y2－2x－15＝02的半径，则椭圆的标准方程是________． x2y26．(2013·辽宁高考改编)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左焦点为F，椭圆C与过原点的直线相交于A，ab4B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝，则椭圆C的离心率为__________． 5→→x2y27．已知F1，F2是椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2.若△PF1F2ab的面积为9，则b＝________. 8．(2013·大纲全国卷改编)已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为________． 二、解答题 x229．(2014·镇江质检)已知椭圆C1：＋y＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率． 4(1)求椭圆C2的方程； 每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了！ →→(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，OB＝2OA，求直线AB的方程． x2y210．(2014·安徽高考)设F1，F2分别是椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆Eab于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|. 3(1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|； (2)若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率． 5 仰望天空时，什么都比你高，你会自卑; 俯视大地时，什么都比你低，你会自负; 只有放宽视野，把天空和大地尽收眼底， 才能在苍穹泛土之间找准你真正的位置。 无须自卑，不要自负，坚持自信。 用心工作，快乐生活！（工作好，才有好的生活！） 此文档可编辑，欢迎使用！ ~~~专业文档，VIP专享。更多精彩文档，尽在Baidu文库~~~ 每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了！
更多推荐
椭圆,焦点,方程,已知,直线,改编
发布评论