2024年1月10日发(作者：今年高中高考数学试卷)

第11章 无穷级数

参考解答

1、根据级数收敛与发散的定义判别下列级数的敛散性：

（1）1

n1nn11111n，故原级数收敛。

kk1n1k11nn1

n 解：Sn（2）n1 解：Snk1n1kk1n11n，故原级数发散。

2、用比较审敛法判别下列级数的敛散性：

（1）nn11

2n1111n2n1 解：lim1，而级数3收敛，故原级数收敛。

n12n12n3n21n2（2）

3n11n1n2311n 解：lim1，而级数发散，故原级数发散。

n1n1nn（3）2nsinn11

n51nn251，而级数 解：lim收敛，故原级数收敛。

nnn15252nsin精选

n21（4）ln

2n1nn21ln2n11，而级数2收敛，故原级数收敛。 解：limn1n1nn2ln1x11） （利用极限lim1e，或limx0nxnn（5）1

n1ln1n111，而级数发散，故原级数发散。 解：ln1nnn1n3、用比值审敛法判别下列级数的敛散性：

（1）n

n21n1n1n1n12n1121 解：limlim1，故原级数收敛。

n1nnnn212n215nn!（2）n

n1n5n1n1! 解：limn1n1n5nn!nn25lim111nnn51，故原级数发散。

en! （3）n12n!n1! 解：limn22n2!2n!2n!n11lim1，故原级数收敛。

n2n12n242精选

（4）nn12arctan22

n3解：limnn12arctanx3n111，故原级数收敛。（利用极限lim1）

x02x3n2arctann3arctan4、用根值审敛法判别下列级数的敛散性：

2n（1）

3n2n12n22nlim1，故原级数收敛。 解：limnnn3n233n2alnn（2）na1

n12nn 解：limnnaa1lim1，故原级数收敛。

n22n2nlnnlnnn21（3）

n2n12111，故原级数收敛。 解：limnnn225、判别下列级数是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛：

（1）n1n1ln1

nn1111，且ln1limln10，故原级数为Leibniz型交nnn1n 解：ln11ln111n1，而错级数。但因lim发散，故ln1发散。因此，原级n1nnn1n1n数条件收敛。

（2）1n1n31cos

n精选

3323，unun1，且limunlim2sin2sin20，故原级数nnn2n2n32sin21392n为Leibniz型交错级数。但因lim收，而2收敛，故2sin2n1n2n2n1n12n 解：un1cos敛。因此，原级数绝对收敛。

1）

cosn（3）（即nnn1n11111 解：，且lim0，故原级数为Leibniz型交错级数。但因发散，故原nnnn1n1nn级数条件收敛。

（4）nlnn1

n1n1lnxlnxx2x

2lnx0，故函2解：考察函数fx，因xe时，fxxx2xx数fx在e2,上单调下降。由此可知，当n8时，lnnlnn1，且易知nn1lnn1lnnnlim0，故原级数为Leibniz型交错级数。但因lim，而发散，故nn1nnn1nlnn发散。因此，原级数条件收敛。

nn16、求下列幂级数的收敛区间：

（1）4nn0121xn

14n114n21lim1，故得R1。x1时，级数为解：lim2nn14n1124n12精选

4nn0121；x1时，级数为4nn012n1，上述级数均收敛，故原幂级数的收敛区间为1, 1。

1xn （2）nn02n1n1n12n1n2n11解：故得R2。级数为，limlim，x2时，nn2n212n0n1n2n1此系Leibniz型交错级数；x2时，级数为区间为2,2。

n1，此系调和级数。故原幂级数的收敛n01（3）n0n1n2nx2n

解：原幂级数即为n02nx2n，此为缺项幂级数。因

n1nlimn2n1x2n2n2n12x2，

n2x2nn1n111故由2x1，得R。x时，级数均成为，发散。故原幂级n1n22n02数的收敛区间为11,。

22n（4）1n1n2x32n1

112n1解：lim，发散；x2时，1，故得R1。x1时，级数为n12n1n12n1级数为2n1，系Leibniz型交错级数。故原幂级数的收敛区间为1,2。

n0精选1n

n2nx （5）n!n1n1n1!0，故得解：limn2nn!2R，原幂级数的收敛区间为,。

7、利用逐项求导或逐项积分求下列幂级数的和函数：

（1）nxn1n

解：limn1。1，故得R1。x1时，相应的级数均发散（一般项不趋于零）nn故幂级数的收敛区间为1, 1。设Sxnxn1nxnxn1xTx，则

n1x0Txdxxnn1xdx1，Tx

21xdx1x1x，x1, 1。 故得SxxTxx1x2x2n（2）

2n1n11x2n2解：lim2n3x2，故得R1。x1时，相应的级数均发散。故幂级数的n1x2n2n1收敛区间为1, 1。

x2n设Sx，则当x0时，有S00。当x0时，

2n1n11x2n11SxTx，

xn12n1xxdx2n1x2x211x2nxTxdx但Tx，故得01x22ln1xx，于是dxn12n1n11x2得

精选

111xSxTxln1，x1, 0U0, 1。

x2x1x因此，所求幂级数之和函数为

11x1Txln1

1x1,x02x1x

Sxx0

x0（3）nnx

2n2n1nn21解：lim，故得。时，相应的级数为，1x1R122nn2n1n11nn1n2因limn11，而n1n1发散，故n1nn发散。x1时，相应的级数为2n2n11n2nn，为Leibniz型交错级数。故幂级数的收敛区间为1, 1。

n21n111n11n11nnxxx，则当设Sx2x2n2n1n12n2n12n2n1n2n1x0时，有S00。当x0时，

x1n111n1x1SxxxSxS2x

12n2n12xn2n122x1n11n1x，S2xx。因 其中S1xn2n1n2n1x21n，S2xx

1x1xn2S1xxn2n2故得

2xx11dxln1xxx2

S1xdxln1x，S2x01x01x2x于是

Sxx1x111S1xS2xln1xln1xx

22x22x42因此，所求幂级数之和函数为

精选

111xln1xln1xx

1x1,x02x42

Sx20

x08、将下列函数展开成x的幂级数，并求展开式成立的区间：

2n111111n2xn221x2n （1）cosxcos2x12222n02n!22n02n!2n （x）

（2）xe3xx3n01n!n1xn （xnx）

n3n3!n11x（3）ln5xln5ln1ln5n5n1n11xn

xln55nn5n1nn1 （5x5）

（4）125x161111

2xx65xx1x6x1x11x166nnx1nx1x （1x1）

6n0n0n06n1x33（5）ln1xxlnln1xln1x

1x2n11nn1x3nn11nn1xnx3nxn

n1nn1nx12131415116x1xxxxL

2453621111x3n2x3n1x3nL （1x1）

3n23n13nn（6）xarctanxln1x2

解：设fxxarctanxln1x，则

2fxarctanxfxxxarctanx

1x21x21n12n2461xxxL1xL （1x1）

21x精选

2n1x3x5x7n1xfxarctanxxL1L （1x1）

3572n1x2x4x6x2nn1fxxarctanxln1xL1L

12352n1n2 （1x1）

dex1（7）

dxxex1xn1dex1dxn1n1n2 解：，x

x

xn!dxxdxn!n!n1n1n2（8）x0ln1xdx

xn1nxln1xln1xn1xn1x1dx1 解：，

1x1

20xnxnn1n19、将下列函数展开成x1的幂级数，并求展开式成立的区间：

（1）lnxln1x11n1n1x1nn

0x2

（2）11111

2x3x21x2x2x13x112111

x1x131123n11n1x112n12

1n1x113n13n1

1n1n1n111nnx1 （1x3）

2310、求级数1的和。

2nn2n12解：先求幂级数nn21nx的和函数。易知其收敛区间为1,1。设

21精选

Sx则

1nx

1x1

2n2n1111n11n11nSxxx

x2n2n1n12n2n12n2n1当x0时，

x1n111n1x1SxxxS1xS2x

2n2n12xn2n122x1n11n1x，S2xx。因 其中S1xn1n1n2n2x21n，S2xx

1x1xn2S1xxn2n2故得

2xx11dxln1xxx2

S1xdxln1x，S2x01x01x2x于是

Sxx1x111S1xS2xln1xln1xx1x1,x0

22x22x42153ln2。

284所求级数的和即为S1x2narctanx

x0111、设fxx，试将fx展成x的幂级数，并求级数2n114n1

x0之和。

解：当x0时，

2n11x21n1xfxarctanxx1

xxn12n12n2x2nn1x1

2n1n12n1fx1n1n11n1n12n2x2nn1x11

2n1n22n1精选

1n1n12nx2nnx

112n1n12n111n1n112n1x

2n12n112n11n14n21x2n

1x1

因f1212n11n14n21，故得4nn112n1141。

212－13、略。

14、设1x 0x2a0fxancosnx，其中，Sx2n122x

1x125an2fxcosnxdx（n0, 1, L），求S

021解：因为所给Fourier级数为余弦级数，故先将fx偶延拓到1,即

11U,0上，221x 0x2122x x12Fx

x

1x0222x

1x12然后将Fx延拓成这个实数轴上的以2为周期的函数。于是，根据Dirichlet收敛条件，得

11F0F0112551223

SS2S224222注：周期的大小可从公式an2fxcosnxdx看出。

0精选1

15-16、略。（第15题课上已介绍）

17、判别下列级数之敛散性：

（1）n11n2nsin1n

1解：limnn2nsin1n1n2limnn121nsinnlimen121nsinlnnn

因lim21nsinn1111lnnlim21no3lnn（Taylor公式）

n6n3nnn11lim22o2lnn0，故所求极限为1，故原级数收敛。

nn6n（2）n11n0x1x2dx1

解：1

0

1n0unx1x2dx1n0111，但级数收敛，故原级数收敛。

xdx111nn1n2

10

un1n0x1x2dx1n0x11n2dx11111，但级数121n11n21nnnn111发散，故原级数发散。

18、设an1n收敛，且limnana，证明nnnan1nan1收敛。

证明：Snkak1kak1a1a22a2a3Lnanan1

a1a2Lannan1

因an1n收敛，故部分和数列收敛，即lima1a2Lan存在；又limnana，故

nn精选

limnan1limn1an1liman1limn1an1limnana

nnnnn因此，极限limSnlima1a2Lannan1存在，从而知nnnan1nan1收敛。

19、设fx在点x0的某一邻域内具有二阶连续导数，且limx0fx0，证明级数xn11nf绝对收敛。

n证明：因limx0fx0，fx在点x0连续，故知limfxf00。于是

x0xlimx0fxfxf0limf00

x0xx故由Taylor公式，

fxf0f0fx2fx2xxx（其中01），

1!2!2!f1n1。于是， 从而得f2!n2nlimn1nfff0nnlim，

n12!2n32但级数n11n32收敛，故原级数绝对收敛。

20、设幂级数axnn1n的收敛半径为3，求幂级数n2nax1nn1n1的收敛区间。

n1an1x1解：limn1nnanx1故所求收敛区间为2, 4。

21、将函数fxx1limn1an11x11

nnan3dcosx1展成x的幂级数，并指明收敛域，利用展开式求级数dxx精选

2n11的和。

2n!2n1n2n2n1cosx1nx解：，

1x2n!n1dcosx1n2n12n2

x

1xdxxn12n!另一方面，dcosx1xsinxcosx1，故得

2dxxxxsinxcosx1n2n12n2

x

1x2x2n!n12n1令x，得122n!2n12n2n2n41，从而得

222n111。

2n!22n1n22、设fxx1x3，试将它展开成以2为周期的Fourier级数，并用它来求n11n12n1。

解：a031xdx4，

anbn31sinnx1xcosnxdxxn1n3331sinnxdx0n1,2,L，

331cosnx1xsinnxdxxn1n1cosnxdx2n11n1,2,L，

n故所求Fourier级数为

x22n11nnsinnx

1x3

nn1n111。33213n令x，得2，即，故得

sin22n1n244n12n1n12n1

如有错误，敬请指正；如有疑问，欢迎讨论！

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