2024年4月15日发(作者：数学试卷实数)
高考复习之参数方程
一、考纲要求
1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参
数方程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程.
2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程
化为直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的
参数方程或极坐标方程求两条曲线的交点.
二、知识结构
1.直线的参数方程
(1)标准式过点Po(x
0
,y
0
)，倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是
x
x
0
t
cos
a
y
y
0
t
sin
a
(2)一般式
(t为参数)
过定点P
0
(x
0
,y
0
)斜率k=tgα=
b
的直线的参数方程是
a
x
x
0
at
(t不参数)
y
y
bt
0
②
22
在一般式②中，参数t不具备标准式中t的几何意义，若a+b=1,②即为标准式，此
22
时，｜t｜表示直线上动点P到定点P
0
的距离；若a+b≠1，则动点P到定点P
0
的距离是
a
2
b
2
｜t｜.
直线参数方程的应用设过点P
0
(x
0
,y
0
),倾斜角为α的直线l的参数方程是
（t为参数）
x
x
0
t
cos
a
y
y
0
t
sin
a
若P
1
、P
2
是l上的两点，它们所对应的参数分别为t
1
,t
2
，则
(1)P
1
、P
2
两点的坐标分别是
(x
0
+t
1
cosα,y
0
+t
1
sinα)
(x
0
+t
2
cosα,y
0
+t
2
sinα)；
(2)｜P
1
P
2
｜=｜t
1
-t
2
｜;
(3)线段P
1
P
2
的中点P所对应的参数为t，则
t=
t
1
t
2
2
t
1
t
2
｜
2
中点P到定点P
0
的距离｜PP
0
｜=｜t｜=｜
(4)若P
0
为线段P
1
P
2
的中点，则
t
1
+t
2
=0.
2.圆锥曲线的参数方程
(1)圆圆心在(a,b)，半径为r的圆的参数方程是
x
a
r
cos
(φ是参数)
y
b
r
sin
φ是动半径所在的直线与x轴正向的夹角，φ∈［0,2π］(见图)
x
2
y
2
(2)椭圆椭圆
2
2
1
(a＞b＞0)的参数方程是
ab
x
a
cos
y
b
sin
(φ为参数)
椭圆
y
2
y
2
2
1
(a＞b＞0)的参数方程是
2
ab
x
b
cos
(φ为参数)
y
a
sin
3.极坐标
极坐标系在平面内取一个定点O，从O引一条射线Ox，选定一个单位长度以及计算角
度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O点叫做极点，
射线Ox叫做极轴.
①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，
缺一不可.
点的极坐标设M点是平面内任意一点，用ρ表示线段OM的长度，θ表示射线Ox到
OM的角度，那么ρ叫做M点的极径，θ叫做M点的极角，有序数对(ρ,θ)叫做M点的极
坐标.(见图)
极坐标和直角坐标的互化
(1)互化的前提条件
①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；
②极轴与x轴的正半轴重合
③两种坐标系中取相同的长度单位.
(2)互化公式
x
cos
y
sin
\'
2
x
2
y
2
y
tg
(
x
0)
x
三、知识点、能力点提示
(一)曲线的参数方程，参数方程与普通方程的互化
22
例1在圆x+y-4x-2y-20=0上求两点A和B，使它们到直线4x+3y+19=0的距离分别最
短和最长.
解：将圆的方程化为参数方程：
x
2
5cos
（
为参数）
y
1
5sin
则圆上点P坐标为(2+5cos
d=
，1+5sin
)，它到所给直线之距离
120cos
15sin
30
4
2
3
2
故当cos(φ-θ)=1，即φ=θ时，d最长，这时，点A坐标为(6，4)；当cos(φ-θ)=-1,
即θ=φ-π时，d最短，这时，点B坐标为(-2，2).
(二)极坐标系，曲线的极坐标方程，极坐标和直角坐标的互化
说明这部分内容自1986年以来每年都有一个小题，而且都以选择填空题出现.
例2
A.直线
线
极坐标方程ρ=
1
23sin
cos
B.椭圆
所确定的图形是（
C.双曲
）
D.抛物
解：ρ=
1
31
2[1
(
cos
)]
22
1
1
2
1
sin(
)
6
(三)综合例题赏析
例3椭圆
x
3
cos
(是参数)的两个焦点坐标是
y
1
5sin
（）
A.(-3，5)，(-3，-3)
C.(1，1)，(-7，1)
B.(3，3)，(3，-5)
D.(7，-1)，(-1，-1)
(
x
3)
2
(
y
1)
2
解：化为普通方程得
1
925
∴a=25,b=9,得c＝１６,c=4.
∴F(x-3,y+1)=F(0,±4)
∴在xOy坐标系中，两焦点坐标是(3，3)和(3，-5).
应选B.
例4参数方程
222
x
cos
sin
22
(0
2
)表示
y
1
(1
sin
)
2
A.双曲线的一支，这支过点(1，
1
)
2
1
)
2
B.抛物线的一部分，这部分过(1，
C.双曲线的一支，这支过(-1，
1
)
2
2
1
)
2
D.抛物线的一部分，这部分过(-1，
解：由参数式得x=1+sinθ=2y(x＞0)
即y=
1
2
x(x＞0).
2
x
sin
(θ为参数)所表示的曲线一个点的坐标是(
y
cos
B.（
∴应选B.
例5在方程
)
A.(2,-7)
12
，）
33
C.(
11
，)
22
D.(1，0)
解：y=cos2
=1-2sin2
=1-2x
2
将x=
11
代入，得y=
22
)
∴应选C.
2
例6下列参数方程(t为参数)与普通方程x-y=0表示同一曲线的方程是(
x
t
A.
y
t
x
tgt
D.
1
cos2
t
y
1
cos2
t
x
cos
t
B.
2
y
cos
t
C.
x
tgt
1
cos2
t
y
1
cos2
t
解：普通方程x-y中的x∈R，y≥0，A.中x=｜t｜≥0，B.中x=cost∈〔-1,1〕，故排
除A.和B.
2
2cos
2
t
11
22
C.中y==ctgt==，即xy=1，故排除C.
2
22
2sin
t
tgtx
∴应选D.
例7曲线的极坐标方程ρ=４sinθ化成直角坐标方程为()
222222
A.x+(y+2)=4B.x+(y-2)=4C.(x-2)+y=4
22
D.(x+2)+y=4
解：将ρ=
∴应选B.
例8极坐标ρ=cos(
x
2
y
2
，sinθ=
y
x
2
y
2
代入ρ=4sinθ，得x
2
+y
2
=4y，即x
2
+(y-2)
2
=4.
)表示的曲线是(
4
B.椭圆
)
C.抛物线D.圆A.双曲线
解：原极坐标方程化为ρ=
1
2
(cosθ+sinθ)
2
2
=ρcosθ+ρsinθ，
∴普通方程为
2
(x+y)=x+y，表示圆.
22
应选D.
例9在极坐标系中，与圆ρ=4sinθ相切的条直线的方程是()
A.ρsinθ=2B.ρcosθ=2
C.ρcosθ=-2D.ρcosθ=-4
例9图
解：如图.
⊙C的极坐标方程为ρ=4sinθ，CO⊥OX,OA为直径，｜OA｜=4,l和圆相切，
l交极轴于B(2，0)点P(ρ,θ)为l上任意一点，则有
cosθ=
OB
OP
2
，得ρcosθ=2，
∴应选B.
例10
A.圆
线
解：4ρsin
2
把ρ=
2
4ρsin
2
=5表示的曲线是(
2
B.椭圆
)
C.双曲线的一支D.抛物
cos
1
=5
4ρ·
2
2
cos
5.
22
ρcosθ=x，代入上式，得
x
2
y
2
x
2
y
2
=2x-5.
25
.
.它表示抛物线.
4
)
C.圆
平方整理得y
2
=-5x+
∴应选D.
2
例11极坐标方程4sinθ=3表示曲线是(
A.两条射线B.两条相交直线
线
D.抛物
y
2
22
解：由4sinθ=3,得4·
2
＝3,即y=3x，y=±
3x
,它表示两相交直线.
2
x
y
2
∴应选B.
四、能力训练
(一)选择题
1.极坐标方程ρcosθ=
4
表示(
3
)
B.一条垂直于x轴的直线A.一条平行于x轴的直线
C.一个圆
2.直线：3x-4y-9=0与圆：
D.一条抛物线
x
2cos
(
为参数)
的位置关系是(
y
2sin
,
)
A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直
线不过圆心
3.若(x，y)与(ρ，θ)(ρ∈R)分别是点M的直角坐标和极坐标，t表示参数，则下列
各组曲线：①θ=
3
1
2
和sinθ=；②θ=和tgθ=，③ρ-9=0和ρ=3；④
3
626
2
x
2
t
2
和
x
2
2
t
1
y
3
t
y
3
t
2
其中表示相同曲线的组数为()
A.1B.2C.3D.4
4.设M(ρ
1
，θ
1
)，N(ρ
2
，θ
2
)两点的极坐标同时满足下列关系：ρ
1
+ρ
2
=0，θ
1
+θ
2
=0，
则M，N两点位置关系是()
A.重合
对称
5.极坐标方程ρ=sinθ+2cosθ所表示的曲线是(
A.直线B.圆
6.经过点M(1，5)且倾斜角为
是()
)
C.双曲线D.抛物线
B.关于极点对称C.关于直线θ=
2
D.关于极轴
的直线，以定点M到动点P的位移t为参数的参数方程
3
1
x
1
t
2
y
5
3
t
2
1
x
1
t
2
A．
y
5
3
t
2
3
y
1
t
2
D.
x
5
1
t
2
1
x
1
t
2
B.
y
5
3
t
2
C.
m
2
2
m
x
a
2
m
2
m
2
(m是参数，ab≠0)化为普通方程是(7.将参数方
y
b
2
m
2
m
2
2
m
2
)
y
2
A.
2
2
1(
x
a
)
ab
x
2
y
2
C.
2
2
1(
x
a
)
ab
8.已知圆的极坐标方程ρ=2sin(θ+
A.(1,
-
x
2
x
2
y
2
B.
2
2
1(
x
a
)
ab
x
2
y
2
D.
2
2
1(
x
a
)
ab
),r=2
3
)，则圆心的极坐标和半径分别为(
6
B.(1,),r=1C.(1,),r=1
63
)
D.(1,
),r=2
3
1
x
t
9.参数方程
t
(t为参数)所表示的曲线是(
y
2
A.一条射线B.两条射线
)
C.一条直线D.两条
直线
x
2
tg
10.双曲线
(θ为参数)的渐近线方程为(
y
1
2sec
A.y-1=
)
1
(x2)
2
B.y=
1
x
2
C.y-1=
2(x2)
D.y+1=
2(x2)
x
4
at
22
11.若直线
((t为参数)与圆x+y-4x+1=0相切，则直线的倾斜角为(
y
bt
)
A.
或
5
3
3
B.
2
3
C.
2
或
33
D.
3
x
2
pt
2
12.已知曲线
(t为参数)上的点M，N对应的参数分别为t
1
，t
2
，且t
1
+t
2
=0，
y
2
pt
那么M，N间的距离为()
22
A.2p(t
1
+t
2
)B.2p(t
1
+t
2
)C.│2p(t
1
-t
2
)│
D.2p(t
1
-t
2
)
2
22
13.若点P(x，y)在单位圆上以角速度ω按逆时针方向运动，点M(-2xy，y-x)也在单位
圆上运动，其运动规律是()
A.角速度ω，顺时针方向B.角速度ω，逆时针方向
C.角速度2ω,顺时针方向D.角速度2ω，逆时针方向
22
14.抛物线y=x-10xcosθ+25+3sinθ-25sinθ与x轴两个交点距离的最大值是()
A.5
15.直线ρ=
B.10C.2
3
D.3
)
3
与直线l关于直线θ=(ρ∈R)对称，则l的方程是(
2cos
sin
4
33
A．
B．
2cos
sin
2cos
cos
33
C．
D．
cos
2sin
cos
2sin
(二)填空题
4
x
3
t
5
16.若直线l的参数方程为
(t为参数)，则过点(4，-1)且与l平行的直线
3
y
2
t
5
在y轴上的截距为
.
cos
x
1
cos
17.参数方程
（
为参数）化成普通方程为
sin
y
1
cos
18.极坐标方程ρ=tgθsecθ表示的曲线是
19.直线
.
.
x
1
3
t
(t为参数)的倾斜角为
y
2
3
t
.
；直线上一点P(x，y)与点M(-1，
2)的距离为
(三)解答题
20.设椭圆
点P的坐标.
x
4cos
y
23sin
(θ为参数)上一点P，若点P在第一象限，且∠xOP=
，求
3
x
2
pt
2
21.曲线C的方程为
(p＞0，t为参数)，当t∈［-1，2］时，曲线C的端
y
2
pt
点为A，B，设F是曲线C的焦点，且S
△AFB
=14，求P的值.
x
2
22.已知椭圆
y
2
=1及点B(0，-2)，过点B作直线BD，与椭圆的左半部分交于C、
2
D两点，又过椭圆的右焦点F2作平行于BD的直线，交椭圆于G，H两点.
2
(1)试判断满足│BC│·│BD│=3│GF│·│F
2
H│成立的直线BD是否存在?并说明理
由.
(2)若点M为弦CD的中点，S
△BMF2
=2，试求直线BD的方程.
23.如果椭圆的右焦点和右顶点的分别是双曲线
x
8
4sec
(θ为参数)的左焦点
y
3
tg
和左顶点，且焦点到相应的准线的距离为
9
，求这椭圆上的点到双曲线渐近线的最短距离.
4
x
2
y
2
24.A，B为椭圆
2
2
=1，(a＞b＞0)上的两点，且OA⊥OB，求△AOB的面积的最大
ab
值和最小值.
x
2
y
2
xy
25.已知椭圆=1，直线l∶=1，P是l上一点，射线OP交椭圆于点R，
2416128
又点Q在OP上且满足│OQ│·│OP│=│OR│，当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程.
并说明轨迹是什么曲线.
2
参考答案
(一)1.B2.D3.C4.C
２
5.B6.A7.A8.C9.B10.C11.C12.C13.C14.C15.D
(二)16.-4；17.y=-2(x-
11
),(x≤);18.抛
22
23
;
3
物线；19.135°,|3
2
t|
(三)20.(
85415
,
55
)；21.
1
22.(1)不存在，(2)x+y+2=0；23.(27-3
41
)；24.S
5
max
ab
=，s
2
max
a
2
b
2
=
2
a
b
2
;
25.
(
x
1)
2
(
y
55
1)
2
=1(x,y)不同时为零)
22
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