2024年3月15日发(作者：镇安县中考数学试卷)
绝密★启用前
2019年普通高等学校招生全国统一考试(全国III卷)
(适用地区：云南、广西、贵州、四川、西藏)
理科数学
本试卷共23题，共150分。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共
12
小题，每小题
5
分，共
60
分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1
．已知集合
A={−1,0,1,2}，B={x|x
2
A
．
−1,0,1
B
．
0,1
1}
，则
AB
=
C
．
−1,1
D
．
0,1,2
2
．若
z(1
+i)=2i
，则
z=
A
．
−1−i
B
．
−1+i
C
．
1−i
D
．
1+i
3
．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著
.
某中学为
了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了
100
位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有
90
位，阅读过《红楼梦》的学生共有
80
位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有
60
位，则该校阅读
过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为
A
．
0.5 B
．
0.6 C
．
0.7 D
．
0.8
4
．（
1+2x
2
）（
1+x
）
4
的展开式中
x
3
的系数为
A
．
12 B
．
16 C
．
20 D
．
24
5
．已知各项均为正数的等比数列
{a
n
}
的前
4
项和为
15
，且
a
5
=3a
3
+4a
1
，则
a
3
=
A
．
16 B
．
8 C
．
4 D
．
2
6
．已知曲线
y=ae
x
+xlnx
在点（
1
，
ae
）处的切线方程为
y=2x+b
，则
B
．
a=e
，
b=1 C
．
a=e
−1
，b=1
D
．
a=e
−1
，
b=−1
A
．
a=e，b=−1
2x
3
7
．函数
y=
x
在
−6,6
的图像大致为
−x
2+2
A
．
B
．
C
．
D
．
8
．如图，点
N
为正方形
ABCD
的中心，△
ECD
为正三角形，平面
ECD
⊥平面
ABCD
，
M
是线段
ED
的中点，则
A
．
BM=EN
，且直线
BM
，
EN
是相交直线
B
．
BM≠EN
，且直线
BM
，
EN
是相交直线
C
．
BM=EN
，且直线
BM
，
EN
是异面直线
D
．
BM≠EN
，且直线
BM
，
EN
是异面直线
1 / 12
9
．执行下边的程序框图，如果输入的
为
0.01
，则输出
s
的值等于
A
．
2−
1
4
2
B
．
2−
1
5
2
C
．
2−
1
6
2
D
．
2−
1
7
2
x
2
y
2
10
．双曲线
C
：
−
=1
的右焦点为
F
，点
P
在
C
的一条渐近线上，
O
为坐标原点，若
PO=PF
，则△
PFO
的
42
面积为
A
．
32
4
B
．
32
2
C
．
22
D
．
32
11
．设
f
(
x
)
是定义域为
R
的偶函数，且在
(
0,+
)
单调递减，则
1
A
．
f
（
log
3
）＞
f
（
4
3
2
2
2
3
−
3
2
）＞
f
（
2
−
2
3
1
）
B
．
f
（
log
3
）＞
f
（
4
2
3
2
3
2
−
2
3
）＞
f
（
2
−
3
2
）
C
．
f
（
2
−
）＞
f
（
2
−
1
）＞
f
（
log
3
）
D
．
f
（
4
2
−
）＞
f
（
2
−
1
）＞
f
（
log
3
）
4
12
．设函数
f
(
x
)
=sin
（
x+
）
(
＞0
)
，已知
f
(
x
)
在
0,2
有且仅有
5
个零点，下述四个结论：
5
①
f
(
x
)
在（
0,2
）有且仅有
3
个极大值点
②
f
(
x
)
在（
0,2
）有且仅有
2
个极小值点
③
f
(
x
)
在（
0,
1229
，
)
）单调递增
④
的取值范围是
[
51010
C
．①②③
D
．①③④
其中所有正确结论的编号是
A
．①④
B
．②③
二、填空题：本题共
4
小题，每小题
5
分，共
20
分。
13
．已知
a
，
b
为单位向量，且
a
·
b
=0
，若
c=2a−
14
．记
S
n
为等差数列
{a
n
}
的前
n
项和，
a
1
≠0，a
2
5b
，则
cosa,c=
___________.
S
10
=
___________.
S
5
=3a
1
，则
x
2
y
2
15
．设
F
1
，F
2
为椭圆
C:
+=1
的两个焦点，
M
为
C
上一点且在第一象限
.
若
△MF
1
F
2
为等腰三角形，则
M
的
3620
坐标为
___________.
2 / 12
16
．学生到工厂劳动实践，利用
3D
打印技术制作模型
.
如图，该模型为长方体
ABCD−A
1
B
1
C
1
D
1
挖去四棱锥
O
—
EFGH
后所得的几何体，其中
O
为长方体的中心，
E
，
F
，
G
，
H
分别为所在棱的中点，
AB=BC=6cm, AA
1
=4cm
，
3D
打印所用原料密度为
0.9 g/cm
3
，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的
质量为
___________g.
三、解答题：共
70
分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第
17~21
题为必考题，每个试题考生都必须作
答。第
22
、
23
题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共
60
分。
17
．（
12
分）
为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将
200
只小鼠随机分成
A
，
B
两组，每组
100
只，其中
A
组小鼠给服甲离子溶液，
B
组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相
同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比
.
根据试验数据分别得到如下直方图：
记
C
为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于
5.5
”，根据直方图得到
P
（
C
）的估计值为
0.70
．
（
1
）求乙离子残留百分比直方图中
a
，
b
的值；
（
2
）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．
18
．（
12
分）
△
ABC
的内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，已知
asin
A+C
=bsinA
．
2
（
1
）求
B
；
（
2
）若△
ABC
为锐角三角形，且
c=1
，求△
ABC
面积的取值范围．
3 / 12
19
．（
12
分）
图
1
是由矩形
ADEB
，
Rt
△
ABC
和菱形
BFGC
组成的一个平面图形，其中
AB=1
，
BE=BF=2
，∠
FBC=60°
，将其
沿
AB
，
BC
折起使得
BE
与
BF
重合，连结
DG
，如图
2.
（
1
）证明：图
2
中的
A
，
C
，
G
，
D
四点共面，且平面
ABC
⊥平面
BCGE
；
（
2
）求图
2
中的二面角
B−CG−A
的大小
.
20
．（
12
分）
已知函数
f(x)=2x
3
−ax
2
+b
.
（
1
）讨论
f(x)
的单调性；
（
2
）是否存在
a,b
，使得
在，说明理由
.
f(x)
在区间
[0,1]
的最小值为
−1
且最大值为
1
？若存在，求出
a,b
的所有值；若不存
1
x
2
21
．已知曲线
C
：
y=
，
D
为直线
y=
−
上的动点，过
D
作
C
的两条切线，切点分别为
A
，
B.
2
2
（
1
）证明：直线
AB
过定点：
（
2
）若以
E(0
，
5
)
为圆心的圆与直线
AB
相切，且切点为线段
AB
的中点，求四边形
ADBE
的面积
.
2
（二）选考题：共
10
分。请考生在第
22
、
23
题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22
．
[
选修
4−4
：坐标系与参数方程
]
（
10
分）
如图，在极坐标系
Ox
中，
A(2,0)
，
B(2,)
，
C(2,
4
)
，
D(2,)
，弧
AB
，
BC
，
CD
所在圆的圆心分
4
别是
(1,0)
，
(1,)
，
(1,)
，曲线
M
1
是弧
AB
，曲线
M
2
是弧
BC
，曲线
M
3
是弧
CD
.
（
1
）分别写出
M
1
，
M
2
，
M
3
的极坐标方程；
（
2
）曲线
M
由
M
1
，
M
2
，
M
3
构成，若点
P
在
M
上，且
|OP|=
2
3
，求
P
的极坐标
.
4 / 12
23
．
[
选修
4−5
：不等式选讲
]
（
10
分）
设
x,y,zR
，且
x+y+z=1
.
（
1
）求
(x−1)
2
+(y+1)
2
+(z+1)
2
的最小值；
（
2
）若
(x−2)+(y−1)+(z−a)
222
1
成立，证明：
a−3
或
a−1
.
3
5 / 12
2019年普通高等学校招生全国统一考试(全国III卷)
理科数学(参考答案)
1
．
A
【详解】
x
2
1,
−1x1
，∴
B=
x−1x1
，则
AB=
−1,0,1
，故选
A
．
2
．
D
【详解】
z=
2i2i(1−i)
==1+i
．故选
D
．
1+i(1+i)(1−i)
3
．
C
【详解】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为
90-80+60=70
，则其与该校学生人数之比为
70÷100=0.7
．故选
C
．
4
．
A
【详解】
由题意得
x
3
的系数为
C
4
+2C
4
=4+8=12
，故选
A
．
5
．
C
【详解】
31
a
1
+a
1
q+a
1
q
2
+a
1
q
3
=15,
a
1
=1,
2
a=aq=4
，故选
C
． 设正数的等比数列
{a
n
}
的公比为
q
，则
，解得，
31
42
q=2
a
1
q=3a
1
q+4a
1
6
．
D
【详解】
详解：
y
=ae
x
选
D
．
7
．
B
【详解】
+lnx+1,
k=y
|
x=1
=ae+1=2
，
a=e
−1
将
(1,1)
代入
y=2x+b
得
2+b
=1,b=−1
，故
2(−x)
3
2x
3
2x
3
设
y=f(x)=
x
，则
f(−x)=
−x
=−
x
=−f(x)
，所以
x−x
−x
2+22+2
2+2
f(x)
是奇函数，图象关于原点成中心
24
3
26
3
对称，排除选项
C
．又
f(4)=
4
0,
排除选项
D
；
f(6)=
6
7
，排除选项
A
，故选
B
．
2+2
−4
2+2
−6
8
．
B
【详解】
如图所示，
作
EO⊥CD
于
O
，连接
ON
，过
M
作
MF⊥OD
于
F
．
连
BF
，平面
CDE⊥
平面
ABCD
．
EO⊥CD,EO
平面
CDE
，
EO⊥
平面
ABCD
，
MF⊥
平面
ABCD
，
MFB
与
EON
均为直角三角形．设正方形边长为
2
，易知
EO=3,ON=1
MF=
EN=2
，
35
,BF=,BM=7
．
BMEN
，故选
B
．
22
9
．
C
【详解】
输入的
为
0.01
，
x=1.
S=0+1,x=0.50.01?
不满足条件；
S
11
=0+1+,x=0.01?
不满足条件；
24
6 / 12
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