2024年3月27日发(作者：通城高考数学试卷答案高一)

高数

华中科技大学2011-2012学年高等数学期末考试试题【A卷】

考试日期：2012年

院（系）别

大题

小题

得分

班级

学号 姓名

二

3

三

四

五

成绩

六

七

一

1 2 4 5

一、填空题：

（本题共5小题，每小题4分，满分20分，

把答案直接填在题中横线上

）

1、已知向量

a

、

b

满足

ab0

，

a2

，

b2

，则

ab

．

3

z

． 2、设

zxln(xy)

，则

xy

2

3、曲面

xyz9

在点

(1,2,4)

处的切平面方程为 ．

4、设

f(x)

是周期为

2

的周期函数，它在

[

,

)

上的表达式为

f(x)x

，则

f(x)

的傅里叶级数

在

x3

处收敛于 ，在

x

处收敛于 ．

5、设

L

为连接

(1,0)

与

(0,1)

两点的直线段，则

22

(xy)ds

．

L

※

以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级．

二、解下列各题：

（本题共5小题，每小题7分，满分35分）

222

2x3yz9

1、求曲线

2

在点

M

0

(1,1,2)

处的切线及法平面方程．

22

z3xy

22

2、求由曲面

z2x2y

及

z6xy

所围成的立体体积．

22

3、判定级数

(1)

n

ln

n1

n1

是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？

n

z

2

z

x

,

4、设

zf(xy,)siny

，其中

f

具有二阶连续偏导数，求．

xxy

y

5、计算曲面积分

dS

2222

,

xyza

其中是球面被平面

zh(0ha)

截出的顶部．



z

第 1 页 共 2 页

高数

三、（本题满分9分

）

抛物面

zxy

被平面

xyz1

截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值．

22

四、 （本题满分10分）

计算曲线积分

L

(e

x

sinym)dx(e

x

cosymx)dy

，

22

其中

m

为常数，

L

为由点

A(a,0)

至原点

O(0,0)

的上半圆周

xyax(a0)

．

五、（本题满分10分）

x

n

求幂级数

n

的收敛域及和函数．

n1

3n

六、（本题满分10分）

计算曲面积分

I

332

2xdydz2ydzdx3(z1)dxdy

，



22

其中

为曲面

z1xy(z0)

的上侧．

七、（本题满分6分）

设

f(x)

为连续函数，

f(0)a

，

F(t)



[zf(x

t

t0

2

y

2

z

2

)]dv

，其中

t

是由曲面

zx

2

y

2

与

ztxy

所围成的闭区域，求

lim

222

F(t)

．

t

3

-------------------------------------

备注：①考试时间为2小时；

②考试结束时，请每位考生按卷面

答题纸

草稿纸由表及里依序对折上交；

第 2 页 共 2 页

高数

不得带走试卷。

高等数学A(下册)期末考试试题

【A卷】

参考解答与评分标准

2009年6月

一、填空题

【每小题4分，共20分】 1、

4

； 2

、

二、试解下列各题【

每小题7分，共35分

】

1

；3、

2x4yz14

； 4、3，0； 5、

2

.

2

y

dz

dy

3yz2x

dy5x

dz7x

dxdx

1、解：方程两边对

x

求导，得

， 从而，…………..【4】



dx4y

dx4z

y

dy

z

dz

3x

dx

dx

该曲线在

1,1,2

处的切向量为

T(1,

4

,

8

)

8

(8,10,7).

…………..【5】

571

x1y1z2



故所求的切线方程为………………..【6】

8107

法平面方程为

8

x1

10

y1

7

z2

0

即

8x10y7z12

……..【7】

z2x

2

2y

2

22

22

xy2

２、解：

，该立体在面上的投影区域为

xOy

D:xy2

．…..【2】

xy

22

z6xy

故所求的体积为

V



dv

d

2

0

2

0

d

6

2

2

2

dz2

2

0

(63

2

)d

6

……..【7】

11

n

３、解：由

limnu

n

limnln(1)limln(1)10

，知级数

u

n

发散…………………【3】

nn

n

n

n

n1

又

|u

n

111

|ln(1)ln(1)|u

n1

|

,

lim|u

n

|limln(1)0

.故所给级数收敛且条件收敛．【7】

nn

nn1n

４、解：

z11

(f

1

yf

2

)0yf

1

f

2

， …………………………………【3】

xyy

1x

2

zx11x



2

f

2

3

f

22



.

【7】



xf

12



(

2

)]

2

f

2

[f

21



xf

22



(

2

)]

f

1

xyf

11

f

1

y[f

11

xyyyyy

yy

５、解：

的方程为

z

又

22

1z

x

z

y

a

a

2

x

2

y

2

，

在

xOy

面上的投影区域为

D

xy

{(x,y)|x

2

y

2

a

2

h

2

}

．

a

2

x

2

y

2

，…..………【３】

第 3 页 共 2 页

高数

2

a

dSadxdy



2

a

d

故



22

00

zaxy

D

xy

2

h

2

d

1

22

2

aln(a

)



a

2

2

2



0

a

2

h

2

a

2

aln

..【7】

h

三

、【9分】解：设

M(x,y,z)

为该椭圆上的任一点，则点

M

到原点的距离为

d

令

L(x,y,z)xyz

(zxy)

(xyz1)

，

22222

x

2

y

2

z

2

……【1】

L

x

2x2

x

0

L2y2

y

0

y

13

则由

，

z2

L

z

2z

0

，解得

xy

2

22

zxy

xyz1

3

．于是得到两个可能极值点

13131313

M

1

(,,23),M

2

(,,23).

…………………【7】

2222

又由题意知，距离的最大值和最小值一定存在，所以距离的最大值与最小值分别在这两点处取得．

故

d

max

|OM

2

|953,d

min

|OM

1

|953.

……【9】

四、

【10分】

解：记

L

与直线段

OA

所围成的闭区域为

D

，则由格林公式，得

I

2

而

I

1

LOA

(e

x

sinym)dx(e

x

cosymx)dym



d



D

8

ma

2

．………………【5】

(esinym)dx(ecosymx)dym

dxma

…………【8】

OA0

xx

a

(e

x

sinym)dx(e

x

cosymx)dyI

2

I

1

ma

L

8

ma

2

.

………………………【10】

a

n1

n3

n

1

limR3

，收敛区间为

(3,3)

…………【2】

五、

【10分】解：

lim

n

a

n

n1

3

n1

3

n

1

，收敛．……【4】

1

又当

x3

时，级数成为

，发散；当

x3

时，级数成为

n

n1

n1

n

n

故该幂级数的收敛域为

3,3

………【5】

x

n

令

s

x

n

（

3x3

），则

n1

n3

x

n1

1

x

n1

111

, (

|x|3

) ……【8】

s

(x)

n

()

3

n1

331x/33x

n1

3

第 4 页 共 2 页

高数

于是

s(x)

x

0

s

(x)dx

x

dx

ln

3x

0

ln3ln

3x

，（

3x3

）………………….【10】

0

3x

x

22

六、

【10分】解：取

1

为

z0(xy1)

的下侧，记

与

1

所围成的空间闭区域为

，则由高斯公式，

有

I

2



1



2x

3

dydz2y

3

dzdx3

z

2

1

dxdy



6

x

2

y

2

z

dv

………….… 【5】

而

I

1

6

d

d

00

2

11

2

0

2

z

dz2

…………………….…【7】



2x

3

dydz2y

3

dzdx3

z

2

1

dxdy



3

z

2

1

dxdy3

1

1

x

2

y

2

1



dxdy3

….… 【9】

II

2

I

1

2

3



.

…………………….… 【10】

七

、【6分】解：

F

t

2

0

2

r

2

dr

….… 【2】

d

sin

d

rcos

fr



0

4

0

t

tt

322

44

2

sin

cos

d

rdr

sin

d

f

r

rdr

0000



t

4

22

8



22

….… 【4】

rfrdr

0



t

t

3

22

22tf(t)

F

t

2



22

limf(t

2

)

22

a.

【6】

lim

故

lim

t0

t0

t0

t

3

3t

2

33



第 5 页 共 2 页


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