2023年12月8日发(作者：六上数学试卷答案)
绝密★启用前2023年普通高等学校招生全国统一考试(新高考全国Ⅱ卷)数学本试卷共4页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写。在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本大题共8小题, 每小题5分, 共40分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。1.在复平面内,
1+3i3-i对应的点位于(A.第一象限【答案】A【解析】1+3i3-i=6+8i,故对应的点在第一象限，选A。2.设集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2}, 若A⊆B, 则a=(A.2【答案】B【解析】若a-2=0,则a=2,此时A=0,-2},B=1,0,2},不满足题意;若2a-2=0,则a=1,此时A={0,-1},B={1,-1,0},满足题意。选B。3.某学校为了解学生参加体育运动的情况, 用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查, 拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生, 已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生, 则不同的抽样结果共有(4515A.C400⋅C200种)D.第四象限B.第二象限C.第三象限)D.-1B.1C.23)3030C.C400⋅C200种4020D.C400⋅C200种2040B.C400⋅C200种【答案】D【解析】根据按比例分配的分层抽样可知初中部抽40人，高中部抽20人，选D。4.若fx=x+alnA.-1【答案】可知g（x)=ln2x-1为偶函数, 则a=(2x+1B.0C.12)D.12x-1是奇函数，而fx=x+ag(x)为偶函数，有f(-x)=(-x+a)2x+1g(-x)=(-x+a)g(x)=(x+a)g(x)=f(x)，故x-a=x+a,则a=0,选B。x25.已知椭圆C:+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2, 直线y=x+m与C交于A,B两点, 若△F13AB面积是△F2AB面积的2倍, 则m=()A.23B.23C.-23D.-23【答案】Cx2【解析】由题意可知S∆FAB=2S∆FAB,设椭圆+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2到直线y311=x+m的距离分别为d1、d2，且-2(x)max,设g(x)=xxe11xex,则x∈(1,2)时有g（\'x）=（x+1）ex>0，∴g(x)max=g(1)=e，则()max=,eg(x)即a≥e-1，选C。1+5α, 则sin=(42B.-1+58C.7.已知α为锐角, cosα=A.3-58)3-54D.-1+54【答案】D【解析】由半角公式sin2α1-cosαα=可知：sin=2225-1，选D。4)D.-1208.记Sn为等比数列an的前n项和, 若S4=-5,S6=21S2, 则S8=(A.120【答案】CB.85C.-85【解析】由等比数列的性质可得S2,S4-S2,S6-S4,成等比数列，因此(S4-S2)=S2(S6-S4),将5105S4=-5,S6=2S2,代入上式得S2=-1（舍）或，此时S6=,由等比数列性质可知44S4-S2,S6-S4,S8-S6为等比数列，得S8=-85,选C。二、选择题:本题共4小题, 每小题5分, 共20分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得5分, 部分选对的得2分, 有选错的得0分。9.已知圆雉的顶点为P, 底面圆心为O,AB为底面直径, ∠APB=120°,PA=2, 点C在底面圆周上, 且二面角P-AC-O为45°, 则(A.该圆锥的体积为π=22)B.该圆雉的例面积为43πD.△PAC的面积为3【答案】AC【解析】由∠APB=120°，AP=2可知，底面直径AB=23，高PO=1,则该圆锥的体积为π，A正确；该圆锥的侧面积为23π，B错。连接CB,取AC中点为Q,连接QO,PQ,二面角P-AC-O=45°的平面角为∠PQ0=45°，所以QO=PO=1,PQ=2，所以BC1=2,AC=22，C正确。S∆PAC=AC∙PQ=2,D错210.设O为坐标原点, 直线y=-3x-1过抛物线C:y2=2pxp>0的焦点, 且与C交于M,N两点, l为C的准线, 则(A.p=2C.以MN为直径的圆与l相切)83D.△OMN为等腰三角形B.MN=【答案】AC【解析】直线y=-3(x一1)与x轴的交点为(1,0)可知，抛物线的焦点的坐标为(1,0),所以p=2,A正确。由kMN=-3可知直线MN的倾斜角为120°，所以MN=MN\'+交l于点M,过点N作准线l的垂线，交l于点NNB错误。过点M作准线l的垂线，N\'，取MN的中点为点P,过点P作准线l的垂线，交l于点P\',连接MP\'、NP\',由抛物线的定义知MF=MM\',NF=NN\',所以MN=MM\'+NN\',所以由梯形的中位线11可知PP\'=(MM\'+NN\')=MN,所以以MN为直径的圆与l相切，C对，由图22观察可知，△OMN显然不是等腰三角形，D错。11.若函数fx=alnx+>0【答案】BCDab2cax2-bx-2c【解析】可知，fx的定义域为（0，+∞），fx=-2-3=,由fx既有xxx2x3极大值又有极小值，f\'x在（0，+∞）有两个不等实根，令h(x)=ax2-bx-2c，则h(x)\'\'\'bc+2a≠0既有极大值也有极小值, 则(>0C.b2+8ac>0)<0b+8ac>02∆>0b+8ac>0b>0在（0，+∞）有两个不等实根，所以x1+x2>0，即a即ab>0,，所-2cx1∙x2>0ac<0a>0以b与c同号，c与a异号，故bc<0，A错误，B、C、D正确。212.在信道内传输0,1信号, 信号的传输相互独立, 发送0时, 收到1的概率为α0<α<1, 收到0的概率为1-α;发送1时, 收到0的概率为β0<β<1, 收到1的概率为1-β. 考虑两种传输方案:单次传输和三次传输, 单次传输是指每个信号只发送1次, 三次传输是指每个信号重复发送3次, 收到的信号需要译码, 译码规则如下:单次传输时, 收到的信号即为译码;三次传输时, 收到的信号中出现次数多的即为译码(例如, 若依次收到1,0,1, 则译码为1)(A.采用单次传输方案, 若依次发送1,0,1, 则依次收到1,0,1的概率为1-α1-β2B.采用三次传输方案, 若发送1 , 则依次收到1,0,1的概率为β1-β2C.采用三次传输方案, 若发送1 , 则译码为1的概率为β1-β2+1-β3D.当0<α<0.5时, 若发送0 , 则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率【答案】ABD【解析】AB项由相互独立的积事件的概率乘法公式可知为正确；C项三次传输译码为1，则可2能是三次全部译为1，或者有两次译为1，则概率为C3β(1-β)2+(1-β)3，故C错;D2选项,可以采用特值法或者作差法计算。三次传输方式译为0的概率：C3(1-α)2+2(1-α)3,单次传输译为0的概率为：1-α,而C3α(1-α)2+(1-α)3-(1-α)=(1-α))α(1-2α)>0,D正确。三、填空题:本大题共4小题, 每小题5分, 共20分.。13.已知向量a,b满足a-b=3,a+b=2a-b, 则b=【答案】3【解析】由a+b=2a-b,得a2=2ab；由a-b=3，得a2-2ab+b2=3,即b2=3,b=3。14.底面边长为4的正四棱雉被平行于其底面的平面所截, 截去一个底面边长为2 , 高为3的正四棱雉, 所得棱台的体积为【答案】28由题意知：正四棱锥高为6，V棱台=V大四棱锥-V小四棱锥=11×4×4×6-×2×2×3=28。338515.已知直线x-my+1=0与⊙C:x-12+y2=4交于A,B两点, 写出满足“ △ABC面积为≥的m的一个值1【答案】±2或±（任写一个）2【解析】由题可知△ABC为腰长为8的等腰三角形，设其顶角为θ,S∆ABC=1×2×2×sinθ,得24θ145sinθ=,解△ABC得：tan=，圆心C到直线x-my+1=0的距离为，代52251入点线距公式可得，m±（任填一个值即可）。21与曲线y=fx的两个交点, 若AB216.已知函数fx=sinωx+φ, 如图, A,B是直线y==π, fπ=6【答案】-3211π5ππ【解析】设A（x1,），B（x2,）,则ωx1+φ=，ωx2+φ=，故x2-x1=，所以ω=4。226662π2π2π由曲线y=f(x)过（,0），所以4×+φ=2π，即φ=-,所以f(x)=sin(4x-3332π3)，f(π)=-。32四、解答题:本大题共6小题, 共70分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。17.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 已知△ABC面积为3,D为BC的中点, 且AD=1。(1)若∠ADC=π, 求tanB。3(2)若b2+c2=8, 求b,c。【答案】（1）tanB=3（；2）b=c=2。5【解析】（1）因AD为△ABC的中线，在S∆ABC=2S∆ADC=2×1a3××1×sin60∘=a=3，224故a=4,在△ADC中，由余弦定理知b2=12+22-2×1×2×cos60∘=3，在△ABD2222∘c2+a2-b2中，c=AB=1+2-2×1×2×cos120=7,在△ABC中,cosB==2ac5π33>0，故B∈(0,)，sinB=，tanB=。252727（2）在△ABC中,由中线公式可得b2+c2=2(AD2+BD2),BD=3，a=23。由S=11bcsinA和b2+c2-a2=2bccosA得，S=(b2+c2-a2)tanA，有tanA=-3<0，得A24π2π1∈(,π)，A=。又S=bcsinA,bc=4。由b2+c2=8和bc=4得b=c=2。23218.已知an为等差数列, bn==32,T3=16.(1)求an的通项公式。(2)证明:当n>5时, Tn>Sn。【答案】（1）an=2n+3。（2）详解析。【解析】(1)设{an}的首项为a1,公差为d,由S4=32得4a1+6d=32，又b1=a1-6,b2=2a2=2a1+2d,b3=a3-6=a1+3d-6所以T3=4a1+4d-12=16,即a1+d=7。由4a1+6d=32a=5得1a1+d=7d=2所以an=2n+3。(2)由(1)知bn=2n-3，n为奇数4n+6，n为偶数k(k-1)kk-1×4+14k+×8=5k2+7k，222an,an-6,n为奇数,n为偶数.记Sn,Tn分别为数列an,bn的前n项和, S4当n=2k（k∈N*）时，Tn=k(-1)+Sn=2k×5+2k2k-1×2=4k2+8，Tn-Sn=k2-k=k(k-1)，2当m>5即k>2时，k(-1)>0，即Tn>Sn；当n=2k（k∈N*）时，k(k+1)kk-1Tn=(k+1)×(-1)+×4+14k+×8=6k2+11k-1，222k2k+1×2=4k2+12k+5，2Tn-Sn=2k2-k-6=(2k+3)(k-2)，Sn=(2k+1)×5+当n>5即k>2时，2k+3)(k-2)>0，即Tn>Sn。19.某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与末患病者的某项医学指标有明显差异, 经过大量调查, 得到如下的患病者和末患病者该指标的频率分布直方图:利用该指标制定一个检测标准, 需要确定临界值c, 将该指标大于c的人判定为阳性, 小于或等于c的人判定为阴性. 此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率, 记为pc;误诊率是将末患病者判定为阳性的概率, 记为qc. 假设数据在组内均匀分布, 以事件发生的频率作为相应事件发生的概率。(1)当漏诊率pc=0.5%时, 求临界值c和误诊率qc。(2)设函数fc=pc+qc, 当c∈95,105时, 求fc的解析式, 并求fc在区间95,105的最小值。【答案】(1)c=97.5,q(c)=3.5%。(2)0.012。【解析】（1）由题意知：p(c)=0.5%时，c=97.5。此时q(c)=0.01×5+0.002×5=3.5%。2c-95100-c（2）当c∈[95,100)，p(c)=×0.002，q(c)=×0.00255-0.0016c+0.172，c∈[95,100)所以f(c)=0.002c-0.188，c∈[100,105]所以，当c=100时，f(c)min=f(100)=0.012。20.如图, 三棱雉A-BCD中, DA=DB=DC,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60°,E为BC的中点。(1)证明:BC⊥DA。(2)点F满足EF=DA, 求二面角D-AB-F的正弦值。3。3【解析】(I)证明：连接AE、DE,设DA=DB=DC=2，∠ADB=∠ADC=60°，∴△ADB≌【答案】（1）详解析。（2）△ADC,AB=AC=2。∵BE=CE,∴AE⊥BC,同理DE⊥BC,∵AE∩DE=E,∴BC⊥平面ADE,∵ADC平面ADE,∴BC⊥DA。(2)解：由DA=DB=DC=2，∠BDC=90°，由(I)DE⊥BC,AB=AC=2，则DE=BE=CE=AE=1,可得AE2+DE2=AD2,因此AE⊥DE,由(1)AE⊥BC,∵DE∩BC=E,∴AE⊥平面BDC。以E为原点，分别以ED、EB、EA为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则D（1,0,0),A(0,0,1),E(0,0,0),B(0,1,0),∵EF=DA=(-1,0,1),AE=(0,0,-1),所以DB=(-1,1,0),AB=(0,1,-1),AF=(-1,0,0),设平面ABD,平面ABF的法向量分别是m=(x,y,z),n=(a,b,c),m∙DB=-x+y=0，取x=1，则m=(1,1,1)，n=(0,1,1)，设平面ABD与平面ABFm∙AB=y-z=0m∙n263的夹角为θ，则cosθ===，∴sinθ=，即二面角DABF的正333⋅2mn3弦值为。321.已知双曲线C的中心为坐标原点, 左焦点为-25,0, 离心率为5。(1)求C的方程。(2)记C的左、右顶点分别为A1,A2, 过点-4,0的直线与C的左支交于M,N两点, M在第二象限, 直线MA1与NA2交于点P. 证明:点P在定直线上。c【解析】（1）由题意c=25=，a=2，b2=16，a2yx2双曲线为-=1。416（2）设过点B的直线x=y-4,联立双曲线得（4t2-1）y2-32ty+48=0，则32t48-8y1+y2=2；y1y2=2，则x1+x2=2，4t-14t-14t-1y-y1y-y12x-x1x-x2=，设直线NA2:=，y1x1+2y2x2-2x-x1x-x2联立消去y得：(+1)y1=(+1)y2，x=-1，即P在直线x=-1上。x1+2x2-2设直线MA1:22.(1)证明:当0g(0)=0,所以00时，-20。1令t=min(1,)，当00，f\'\'(x)在（0,t）单调递增，af\'\'(x)>f\'\'(0)>0,f\'(x)在（0,t）单调递增，f\'(x)>f\'(0)=0，f(x)在（0,t）单调递增与x=0是f(x)的极大值点矛盾。当2-a2<0,a<-2或a>2时，f\"(0)=2-a2<0,1a>2时，令t=min(a,)，当00，f\'\'(x)在（0,t）单调递增，a2+2x2\'\'2limf(x)=lim(-acosax+)=+∞,x→1x→1(1-x2)2∴∃x0∈(0,t)，使得f\'\'\'(x0)=0,∴当x∈(0,x0)时，使得f\'\'(x)<0,f\'(x)在（0,x0)单调递减，f\'(x)0，f(x)在（-x0,0)单调递增，∴x=0是f(x)的极大值点，f(x)为偶函数，所以同理a<-2时，x=0是f(x)的极大值点。当2-a2=0,a=-2或a=2时，f\'\'(x)=2-a2=0,2xa=2时，f\'(x)=-2sin2x+,x∈(0,1)时，1-x22x1f\'(x)>-2x+=2x(-1)>0，1-x21-x2在(0，1)f(x)单调递增，与x=0是f(x)的极大值点矛盾。f(x)为偶函数，所以同理a=-2时，与x=0是f(x)的极大值点也矛盾。综上所述，a的范围是a<-2或a>2。
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