高中数学必背公式

2023年12月7日发(作者：中考数学试卷及答案浙江)

高中数学必背公式、常用结论

一．二次函数和一元二次方程、一元二次不等式

b4acb2b，1．二次函数yaxbxc的图象的对称轴方程是x，顶点坐标是。

4a2a2a22.实系数一元二次方程ax2bxc0的解：

bb24ac①若b4ac0,则x1,2;

2a2②若b24ac0,则x1x2b;

2a③若b24ac0，它在实数集R内没有实数根；在复数集C内有且仅有两个共轭复数根b(b24ac)i2x(b4ac0).

2a3.一元二次不等式axbxc0(a0)解的讨论:

二次函数

0

0

0

2yax2bxc

（a0）的图象

一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

无实根

ax2bxc0a0的根ax2bxc0(a0)的解集x1,x2(x1x2)

b

x1x22a

xxx或xx

12bxx

2a



R



ax2bxc0(a0)的解集

二、指数、对数函数

1．运算公式

⑴分数指数幂：amn

xx1xx2

a；anmmn1mn（以上a0,m,nN，且n1）.

amnmnmnmn（ab)mambm ⑵.指数计算公式：aaa；

(a)a；b⑶对数公式：①aNlogaNb； ②logaMNlogaMlogaN；

Mn③logalogaMlogaN； ④logambnlogab.

mN

1 logN⑷.对数的换底公式:logaNmlog.对数恒等式:alogaNN.

ma2．指数函数yax(a0且a1)的图象和性质

a>1 0

图

象

(1)定义域：R

性

（2）值域：（0，+∞）

质

（3）过定点（0，1），即x=0时，y=1

(4)x>0时，y>1;x<0时，00时，01.

（5）在 R上是增函数 （5）在R上是减函数

3．对数函数ylogax,(a0,a1)的图象和性质

a >1

0< a < 1

图

x1

ylogax

1

1,0a1x1,0)

ylogax象

0

x10

0

a11x0,,yR（2） 当x=1时，y=0；

（3）当x>1时，y>0， （3）当x>1时，y＜0，

0< x <1时，y<0； 0< x <1时，y＞0；

（4）在（0，＋

）上是增函数 （4）在（0，＋

）上是减函数

三．常见函数的导数公式:

1． ①C\'0；②(xn)\'nxn1；③(sinx)\'cosx；④(cosx)\'sinx；

⑤(ax)\'axlna；⑥(ex)\'ex；⑦(logax)\'1xlna；⑧(lnx)\'1x 。

2．导数的四则运算法则：(uv)uv;(uv)uvuv;(uuvuvv)v2;

2

3．复合函数的导数：yxyuux;

四．三角函数相关的公式：

1．⑴角度制与弧度制的互化：弧度180，1⑵弧长公式：lR；扇形面积公式：S180弧度，1弧度(180)5718\'

11lRR2。

222．三角函数定义:角终边上任一点（非原点）P(x,y),设|OP|r

则：siny,cosx,tany

rrx3．三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；（简记为“全s t c”）

4．诱导公式记忆规律：“奇变偶不变，符号看象限”

5．⑴yAsin(x)

对称轴：令xk2，得x; 对称中心：(k,0)(kZ)；

⑵yAcos(x)

对称轴：令xk，得xk；对称中心：k(2,0)(kZ)；

⑶周期公式:①函数yAsin(x)及yAcos(x)的周期T2 (A、ω、为常数，

且A≠0).②函数yAtanx的周期T (A、ω、为常数，且A≠0).

6．同角三角函数的基本关系：sin2xcos2x1;sinxcosxtanx

7．三角函数的单调区间及对称性：

⑴ysinx的单调递增区间为2k2,2k2kZ,单调递减区间为

2k2,2k32kZ，对称轴为xk2(kZ),对称中心为k,0(kZ).

⑵ycosx的单调递增区间为2k,2kkZ,单调递减区间为2k,2kkZ，

对称轴为xk(kZ),对称中心为k2,0(kZ).

⑶ytanx的单调递增区间为k2,kk2kZ，对称中心为2,0kZ.

8．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：

①sin()sincoscossin；cos()coscossinsin；

tan()tantan1tantan.

②sin()sin()sin2sin2；cos()cos()cos2sin2.

③asinbcos=a2b2sin()(其中,辅助角所在象限由点(a,b)所在的象限

决定,tanba ).

9．二倍角公式：①sin22sincos.(sincos)212sincos1sin2

②cos2cos2sin22cos2112sin2（升幂公式）.

3 cos210．正、余弦定理：

⑴正弦定理：1cos21cos2（降幂公式）.

,sin222abc2R （2R是ABC外接圆直径 ）

sinAsinBsinC注：①a:b:csinA:sinB:sinC；②a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC；③abcabc。

sinAsinBsinCsinAsinBsinCb2c2a2⑵余弦定理：abc2bccosA等三个；cosA等三个。

2bc

222111ahabhbchc（ha、hb、hc分别表示a、b、c边上222111的高）；②SabsinCbcsinAcasinB.

22211.几个公式:⑴三角形面积公式：①S五。立体几何

1.表（侧）面积与体积公式：

⑴柱体：①表面积：S=S侧+2S底；②侧面积：S侧=2rh；③体积：V=S底h

⑵锥体：①表面积：S=S侧+S底；②侧面积：S侧=rl；③体积：V=1S底h：

31\'\'（S+SSS）h；

3\'⑶台体：①表面积：S=S侧+S上底S下底;②侧面积：S侧=(rr)l;③体积：V=⑷球体：①表面积：S=4R2；②体积：V=R3 .

2．空间中平行的判定与性质：

1）、直线和平面平行：

⑴定义：若直线与平面没有公共点，则直线与平面平行。

⑵判定定理：若a,a且a//a,则a//； 若//且a,则有a//。

⑶性质定理：a//.且a,43l则a//l.

2）、平面与平面平行的判定与性质：

⑴定义：如果两个平面没有公共点则称两个平面平行。

⑵判定定理：若a,b且a//,b//,则//

⑶性质定理：若//,a,b,则有a//b.

3．空间中垂直的判定与性质：

1）、直线与平面垂直：

⑴定义：设l为平面内的任意一条直线，al，则a。

⑵判定定理：若a,b,abP，且la,lb，则l。

⑶性质定理：若l1，l2 则l1//l2.

2）、平面与平面垂直：

4 ⑴定义：如果两个平面所成的二面角的平面角为900，则称这两个平面互相垂直。

⑵判定定理：若l，l，则有。

⑶性质定理：若,l,a且al，则l。

若,,l则l。

六．解析几何：

1．斜率公式：ky2y1xx，其中P1(x1,y1)、P2(x2,y2).

21直线的方向向量va,b，则直线的斜率为k=ba(a0).

2.直线方程的五种形式：

(1)点斜式：yy1k(xx1) (直线l过点P1(x1,y1)，且斜率为k)．

(2)斜截式：ykxb(b为直线l在y轴上的截距).

(3)两点式：yy1yxx1(P1(x1,y1)、P2(x2,y2)

x1x2，y1y2).

2y1x2x1(4)截距式：xayb1(其中a、b分别为直线在x轴、y轴上的截距，且a0,b0).

(5)一般式：AxByC0(其中A、B不同时为0).

3．两条直线的位置关系：

（1）若l1:yk1xb1，l2:yk2xb2,则：

①

l1∥l2k1k2,b1b2；

②l1l2k1k21.

（2）若l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,则：

①

l1//l2A1B2A2B10且A1C2A2C10；②l1l2A1A2B1B20.

4．求解线性规划问题的步骤是：

（1）列约束条件；（2）作可行域，写目标函数；（3）确定目标函数的最优解。

5．两个公式:

⑴点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离：dAx0By0C；

A2B2⑵两条平行线Ax+By+C1=0与 Ax+By+C2=0的距离dC1C2

A2B26．圆的方程：

⑴标准方程：①(xa)2(yb)2r2 ；②x2y2r2 。

⑵一般方程：x2y2DxEyF0 （D2E24F0)

注：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆A=C≠0且B=0且D2+E2－4AF>0

rcos⑶参数方程：xyrsin

7．圆的方程的求法：⑴待定系数法；⑵几何法。

8．点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法）

5 ⑴点与圆的位置关系：（d表示点到圆心的距离）

①dR点在圆上；②dR点在圆内；③dR点在圆外。

⑵直线与圆的位置关系：（d表示圆心到直线的距离）

①dR相切；②dR相交；③dR相离。

⑶圆与圆的位置关系：（d表示圆心距，R,r表示两圆半径，且Rr）

①dRr相离；②dRr外切；③RrdRr相交；

④dRr内切；⑤0dRr内含。

9．直线与圆相交所得弦长|AB|2r2d2

10.椭圆、双曲线、抛物线

定义

椭圆

1．到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹

2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（0

图形

标准方方

程

参数方程

程

范围

中心

顶点

对称轴

焦点

焦距

离心率

准线

双曲线

1．到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨迹

2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（e>1）

抛物线

与定点和直线的距离相等的点的轨迹.

y2=2px

x2y221(ab>0)

2abx2y221(a>0,b>0)

2abxacosybsin

(参数为离心角）─axa，─byb

原点O（0，0）

(a,0), (─a,0), (0,b) ,

(0,─b)

x轴，y轴；

长轴长2a,短轴长2b

F1(c,0), F2(─c,0)

22xasecybtan

(参数为离心角）|x|  a，yR

原点O（0，0）

(a,0), (─a,0)

x轴，y轴;

实轴长2a, 虚轴长2b.

F1(c,0), F2(─c,0)

22x2pt2y2pt(t为参数)

x0

(0,0)

x轴

pF(,0)

2

e=1

2c （c=ab） 2c （c=ab）

ec(0e1)

aec(e1)

aa2x=

c

a2x=

cy=±xp

2渐近线

焦半径

bx

a

raex

r(exa)

rxp

2

6 通径

2b22b2

a

a

2p

焦参数

a2a2

c

c

P

七．等差、等比数列：

等差数列 等比数列

定义

{an}为APan1and(常数）

{an}为GPan1aq(常数）

n通项公n1式

an=a1+（n-1）d=ak+（n-k）ana1qakkqn

d=dn+a

1-d

求和公sn(an1an)n(na式

1(q1)2nan1)1dsd2

na1(1qn)2n2(ad12)n1qa1anq1q(q1)

中项公A=ab式

2 推广：2a2n=anmanm

G2ab。推广：ananmanm

性1

质若m+n=p+q则

amanapaq 若m+n=p+q，则amanapaq。

2

若{kn}成等差数列（其中knN）则若{kn}成等比数列 （其中knN），{akn}也为等差数列。 则{akn}成等比数列。

3

．sn,s2nsn,s3ns2n 成等差数列。

sn,s2nsn,s3ns2n成等比数列。

4

dana1aman(mn)1n1mn

qnana ，

qnman1a

m(mn)

2．看数列是不是等差数列有以下三种方法：

①anan1d(n2,d为常数)；②2anan1an1(n2)

③anknb(n,k为常数).

3．看数列是不是等比数列有以下2种方法：

①anan1q(n2,q为常数,且0)；②a2na①

n1an1(n2，anan1an10)s1a．数列{a1(n1)4n}的前n项和Sn与通项an的关系：ansnsn1(n2)

7 5. 常用公式：①1+2+3 …+n =nn1 ；②1222nn12n1232n26 ；

③132333n3nn122④

1n(n1)1n11n1 ； ⑤n(n2)12(1n1；n2)

八。复数

1.复数的四则运算法则：

(1)(abi)(cdi)(ac)(bd)i;(2)(abi)(cdi)(ac)(bd)i;

(3)(abi)(cdi)(acbd)(bcad)i;

(4)(abi)(cdi)acbdc2d2bcadc2d2i(cdi0).

2.复平面上的两点间的距离公式 ：

d|z21z2|(x2x1)2(y2y1)（z1x1y1i，z2x2y2i）.

3．几个重要的结论：

(1)zz222222212z1z22(z1z2);(2)zzzz；⑶(1i)2i；⑷1i11ii;i1ii;

⑸i性质：T=4；i4n1,i4n1i,i4n21,i4n3i；i4ni4n1i42i4n30;

4．模的性质：⑴|z1z2||zz111||z2|；⑵|z||z|z；⑶|zn||z|n。

2|2|九。向量

运算类型

几何方法 坐标方法 运算性质

abba

加 1.平行四边形法则

法 2.三角形法则

ab(x1x2,y1y2)

(ab)ca(bc)

ABBCAC

减

aba(b)

法

三角形法则

ab(x1x2,y1y2)

ABBA,OBOAAB

1.a是一个向量,满(a)()a

数

乘

足:|a||||a|

()aaa

向

a(x,y)

量

2.>0时,

a与a同向;

(ab)ab

<0时,

a与a异向;

a//bab

8 =0时,

a0.

a•b是一个数

向

量

的

数

量

积

1.a0或b0时，

a•bb•a

(a)•ba•(b)(a•b)

a•b0.

2.a•bx1x2y1y2

(ab)•ca•cb•c

a0且b0时，ab|a||b|cos(a,b)a|a|2即|a|=x2y2

2|a•b||a||b|

2.重要定理、公式

(1)平面向量基本定理

e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

(2)两个向量平行的充要条件：a∥bb=λax1y2x2y10；

(3)两个向量垂直的充要条件：

ab (a0)a·b=0x1x2y1y20

九．不等式

1.不等式的基本性质

（1）abba（对称性）；（2）ab,bcac（传递性）

（3）abacbc（加法单调性）

（4）ab,cdacbd（同向不等式相加）；

（5）ab,cdacbd（异向不等式相减）

（6）a.b,c0acbc；（7）ab,c0acbc（乘法单调性）

（8）ab0,cd0acbd（同向不等式相乘）；

(9)ab0,0cdab（异向不等式相除）

cd(10)ab,ab011（倒数关系）；（11）ab0anbn(nZ,且n1)（平方法则）

ab（12）ab0nanb(nZ,且n1)（开方法则）

aba2b22．均值不等式：ab(a,b0)

22ab2a2b2)(a,bR)。 注意：①一正二定三相等；②变形：ab(223．极值定理：已知x,y都是正数，则有：

(1)如果积xy是定值p，那么当xy时和xy有最小值2p；

(2)如果和xy是定值s，那么当xy时积xy有最大值十．概率和统计：

9

12s.

41．概率

⑴互斥事件（有一个发生）概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B)；

⑵古典概型：P(A)A包含的基本事件的个数；

基本事件的总数构成事件A的区域长度（面积或体积等） ；

试验的全部结果构成的区域长度（面积或体积等）⑶几何概型：P(A)2．总体特征数的估计：

n⑴样本平均数x1(x1x2xn)1xi；

nni1n⑵样本方差S21[(x1x)2(x2x)2(xnx)2]1(xix)2 ；

nni1n⑶样本标准差S1[(x1x)2(x2x)2(xnx)2]=1(xx)2

inni1十一。理科选修部分：1.排列、组合和二项式定理：

⑴排列数公式:An=n(n-1)(n-2)…(n-m＋1)=nmn!(nm)!(m≤ n, m、n∈N*),

当m=n时为全排列An=n·(n-1)·(n-2)·…·3·2·1= n!

n！Anmn(n1)(nm1)*⑵组合数公式：C=m==(n，m∈N，且mn)

m！(nm)！12mAmmn⑶组合数性质：CnCnmnm;CnmCnm1Cnm1

n0n1n11knkknn⑷二项式定理：(ab)CnaCnabCnabCnb(nN)

rnrr①通项：Tr1Cnab(r0,1,2,...,n);②注意二项式系数与系数的区别

2．随机变量

⑴随机变量的分布列：①随机变量分布列的性质：pi≥ 0, i=1,2,3，…； p1+p2+…=1;

②离散型随机变量：

X

P

x1

P1

X2

P2

…

…

X

n

P n

…

…

均值（又称期望）：EX＝ x1p1

+ x2p2

+ … + xn

pn

+ … ;

222方差：DX＝(x1EX)p1(x2EX)p2(xnEX)pn ;

注：E(aXb)aEXb;D(aXb)aDX；

③二项分布（独立重复试验）：若X～B（n , p）,则EX＝n p, DX＝n p（1- p） 注：kP(Xk)Cnpk(1p)nk 。

2⑵条件概率：称P(B|A)P(AB)为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。注：0P（B|A）1

P(A)⑶独立事件同时发生的概率：P（AB）=P（A）P（B）。

10