2023年12月8日发(作者：广东15年高考数学试卷)
B站：魔术大师-信信2023年全国统一高考数学试卷(新课标Ⅱ卷)(适用地区：辽宁、重庆、海南)注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.5.考试结束后，只将答题卡交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，(1+3i)(3-i)对应的点位于A.第一象限【答案】A【解析】(1+3i)(3-i)=6+8i,故对应的点在第一象限，选A.若A≤B,C.则a=D.-1B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},A.2【答案】B【解析】若a-2=0,则a=1,则a=2,B.1此时A={0,-2},B={1,0,2},满足题意.故选B.不满足题意；若2a-2=0,此时A={0,-1},B={1,-1,0},3.某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400和200名学生，则不同的抽样结果共有C.【答案】D【解析】根据按比例分配的分层抽样可知初中部抽40人，高中部抽20人，故选D.为偶函数，则a=A.-1【答案】BB.0C.D.1C0·C2D.C40·C₂0B站：魔术大师-信信【解析】发现是奇函数，而f(x)=(x+a)g(x)为偶函数，有故x-a=x+a,直线y=x+m则a=0,选B.f(-x)=(-x+a)g(-x)=-(-x+a)g(x)=(x+a)g(x)=f(x),5.已知椭圆、右焦点分别为F,F₂,与C交于A、B两点，若△FAB的面积是△F₂AB的面积的2倍，则m=A.【答案】CB.C.D.【解析】由依题意可知s△n4B=2s△A₈,设椭圆线y=x+m的距离分别为d、d₂,d₁=2d₂,将，,且-20,a≥e⁻¹,故选C7.已知α为锐角，所以g(x)m=g(1)=e,则,即,则：A.【答案】D【解析】由半角公式siB.C.D.解得，故选DB站：魔术大师-信信8.记S,等比数列{a,}的前n项和，若S₄=-5,S₆=21S₂,S=A.120【答案】CB.85C.-85D.-120【解析】由等比数列的性质可得S,S₄-S₂,S-S,将S₄=-5,S₆=2IS₂代入上式解得S₂=-1(舍)S₄-S₂,S₆-S₄,S-S₆为等比数列，解得S=-85,成等比数列，因此(S₄-S₂)²=S₂(S₆-S₄),,此时故选C.,由等比数列性质可知二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知圆锥的顶点为P底面圆心为O,AB为底面的直径，∠APB=120°,AP=2,C在底面圆周上，且二面角P-AC-O=45°,A.该圆锥的体积为π则B.该圆锥的侧面积为4√3πD.△PAC的面积为√3点=2√2【答案】AC【解析】由∠APB=120°,AP=2可知，底面直径AB=2√3,高PO=1,故该圆锥的体积为π,所以A对；该圆锥的侧面积为2√3π,所以B错.连接CB,取AC中点为Q,连接QO,PQ,易证二面角P-AC-O=45°的平面角为∠PQO=45°,所以QO=PO=1,PQ=√2,所以BC=2,所以AC=2√2,故C对；,故D错.10.设O为坐标原点，直线y=-√3(x-1)C交于M、N两点，l为C的准线，则过抛物线C:y²=2pr(p>0)的焦点，且与B站：魔术大师-信信A.p=2B.D.△OMN为等腰三角形C.以MN为直径的圆与l相切【答案】AC【解析】直线y=-√3(x-1)与x轴的交点为(1,0)可知，抛物线的焦点的坐标为(1,0),所以p=2,故A选项正确；由kay=-√3可知直线MN的倾斜角为120°,所以过点N,故B选项错误.过点M作准线l的垂线，交l于点M\',作准线l的垂线，交l于点N\';点P\',连接MP\'、NP\',MN|=|MM\'+|NN\',所以PP\'=MP=PN,并取MN的中点为点P,过点P作准线l的垂线，交l于所以由抛物线的定义知MF=MM\',NF=NN\',所以由梯形的中位线可知所以以MN为直径的圆与l相切，故C对，由图观察可知，△OMN显然不是等腰三角形，故D错.11.若函既有极大值又有极小值则：bc>>0c.b²+8ac><0A.【答案】BCD【解析】由题可知fx的定义域为(0,+αo),。函数fx既有极大值又有极小值，则f\'x在(0,+αo)上有两个不等实根，令,由h(x)=ax²-bx-2c,则h(x)在(0,+c)上有两个不等实根，所以,即B站：魔术大师-信信,所以,所以b与a同号，c与a异号，故bc<0,所以A错误，B正确，C正确，D正确.12.在信道内传输0,1信号，信号的传输相互独立，发送0时，收到1的概率为a(0<α<1),收到0的概率为1-α;发送1时，收到0的概率为β(0<β<1)收到1的概率为1-β.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次；三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码：三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1,0,1,则译码为1).A.采用单次传输方案，若依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的概率为(1-α)(1-β²B.采用三次传输方案，若发送1,则依次收到1,0,1的概率为β(1-β)²C.采用三次传输方案，若发送1,则译码为1的概率为β(1-β²+(1-β³D.当00,三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量a,b满足|a-b|=√3,|a+b|=|2a-b,【答案】√3则|b|=.【解析】由|a+b|=|2a-b|,得a²=2a·b;由a|-b|=√3,得a²-2a·b+b²=3,即b²=3,|b=√3.14.底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2,高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为B站：魔术大师-信信【答案】28【解析】方法一由棱台性质可知，上下两个底面相似比为1:2,故截后棱台的体高为3,上底面为边长为2的正方形，下底面为边长为4的正方形，代入棱台体积公式得：方法二由题意易求正四棱锥高为6,15.已知直线x-my+1=0与OC:(x-1)²+y²=4\"的m的一个值为【答案】【解析】方法一交于A,B两点，写出满足\"△ABC面积为由题可知△4BC为腰长为8的等腰三角形，设其顶角为θ,,解得,解△ABC可得：,圆心C到直线(任填一个值即可).,所以或B(或x-my+1=0的距离为方法二由x-my+1=0,代入点线距公式可得：恒过定点(-1,0),又C(1,0),,所以,代入圆的方程得或代入直线方程得m=±216.已知函数f(x)=sin(ox+φ),若,则f(π)=如图A,B是直线.与曲线y=f(x)的两个交点，B站：魔术大师-信信【答案】【解析】设由曲线y=f(x),所以w=4,,所以,即,过(),四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(12分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知三角形△ABC的面积为√3,点D为BC的中点，且AD=1.(1)若(2)若b²+c²=8,【答案】(1),求tanB;求b和c.;(2b=c=2.【解析】(1)方法一：正弦定理+余弦定理由题意可知S又在△ABD中，有,故,故acsin,由B=2√3….①,得，……②;代入①式得a=4.在△ADB中，由余弦定理得,得c=√7.在△ABD中，(,),有方法二：余弦定理因AD为△ABC的中线，故.B站：魔术大师-信信故a=4,在AADC中，由余弦定理知b²=l²+2²-2×1×2×cos60°=3,进一步在△4BD中，c²=AB²=l²+2²-2×1×2×cos120°=7,在AABC中有，故),有,(2)在△ABC,由中线长公式可得b²+c²=2(AD²+BD²),得AD²+BD²=4,由知BD=√3,得a=2√3.得，,有4和b²+c²-a²=2bccosA得代入有tanA=-√3<0,又由b²+c²=8方法三(1)因为所以：a=4,4,有bc=4.和bc=4,得b=c=2.在△ADC中由余弦定理得：b²=I²+2²-2×1×2×cos60°=3在△4BD中c²=AB²=l²+2²-2×1×2×cos120°=7在△ABC中因此：(2)在△ABC中由中线长公式得：(2AD)²+BC²=2(AB²+AC²),2²+a²=2(b²+c²)=16,因而a²=12,因而besinA=2√又由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA,所以bc=4,b²+c²-2bc=8-8=0=(b-c)²故可得b=c=2即12=8-2bccosA,因而bccosA=-2又b²+c²+2bc=8+8=16=(b+c)²即18.(12分){a,}为等差数列，记S,,T为{a.},{b,}的前n项和，B站：魔术大师-信信S₄=32,T3=16.(1)求{a}的通项公式；(2)证明：当n>5时，T>S【答案】(1)a,=2n+3;(2)见解析.【解析】(1)设{a.}的首项为q,公差为d,由S₄=32得4q+6d=32又b=q-6,b₂=2a₂=2q₁+2d,b₃=a₃-6=q+3d-6所以T3=4q₁+4d-12=16,由即q₁+d=7所以a=2n+3.得(2)由(1)知当n=2k(k∈N°)时，T₁-S,=k²-k=k(k-1)当n>5即k>2时，k(k-1)>0,所以T>S,;当n=2k-1(k∈N°)时，=6k²+11k-1T₁-S,=2k²-k-6=(2k+3)(k-2)当n>5即k>2时，(2k+3)(k-2)>0,所以T,>S,.证毕，19.(12分)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：B站：魔术大师-信信患病者未患病者利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c,将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判为阴性的概率，记为p(c);误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q(c).假设数据在组内平均分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.(1)当p(c)=0.5%时，求临界值c和误诊率q(c);(2)设函数f(c)=p(c)+q(c),当c∈[95,105]时，求f(c)的解析式，并求f(c)在区间[95,105]的最小值.【答案】(1)c=97.5,q(c)=3.5%;(2)0.012【解析】(1)由题意当p(c)=0.5%(2)当c∈[95,100],当ce(100,105),时，c=97.5,此时所以，当c=100时f(c)取最小值，最小值为f(100)=0.012.20.(12分)在三棱锥A-BCD中，DA=DB=DC,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60°,已知E为BC的中点.(1)证明：BC⊥DA;(2)点F满足EF=DA,求二面角D-AB-F的正弦值.B站：魔术大师-信信【答案】(1)略；(2)【解析】方法一(1)证明：连接AE、DE,设DA=DB=DC=√2,∠ADB=∠ADC=60°,以△ADB≌△ADC,因此AB=AC=√2,AE∩DE=E,所以BC⊥平面ADE,又ADC平面ADE,所以所又因为BE=CE,所以AE⊥BC,同理DE⊥BC,又BC⊥AD.(2)解：由DA=DB=DC=√2,∠BDC=90°,由(1)DE⊥BC,AB=AC=√2,AE²+DE²=AD²,AE⊥平面BDC.则DE=BE=CE=AE=1,由(1)AE⊥BC,可得所以因此AE⊥DE,又DE∩BC=E,因此以E为原点，分别以ED、EB、EA为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则D(1,0,0),A(0,0,1),E(0,0,0),B(0,1,0),因为EF=DA=(-1,0,1),AE=(0,0,-1),所以DB=(-1,1,0),AB=(0,1,-1),AF=(-1,0,0),设平面ABD,平面ABF的法向量分别是m=(x,y,z),n=(a,b,c),B站：魔术大师-信信所以取x=1,则m=(1,1,1),同理n=(0,1,1),设平面ABD与平面ABF的夹角为θ,所以,即二面角D-AB-F的正弦值为方法二(1)证明：连接AE、DE,∵DB=DC,E为BC的中点∴DE⊥BC∵DB=DC,∠ADB=∠ADC=60°,DA为公共边∴△ADB≌△ADC∴AB=AC,∴AE⊥BC,又AE∩DE=E,AE,DEc故BC⊥AD.(2)不妨设DA=DB=DC=2,中，得AE=√2,得AB=AC=2,BC=2√2,DE=√2,在直角Rt△AEB平面ADE,所以BC⊥平面ADE,所以AE²+DE²=AD²,即AE⊥DE,又AE⊥BC,DE∩BC=E,BC,DEC平面BCD,所以AE⊥平面BCD.如图以E为原点，分别以ED、EB、EA为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则E(0,0,0),A(0,0,√2),D(√2,0,0),B(0,√2,0),EF=DA=(-√2,0,√2),得F(-√2,0,√2),又又AB=(0,√2,-√2),DB=(-√2,√2,0),BF=(-√2,-√2,√2)设平面DAB的法向量n=(x,y,z),则，,令x=1,得n=(1,1,1),同理可得平面ABF的一个法向量m=(0,1,1),设平面DAB与平面ABF的夹角为0,则I,故二面角D-AB-F的正弦值为.21.(12分)双曲线C中心为坐标原点，左焦点F(-2√5,0),离心率为√5(1)求C的方程(2)记C得左、右顶点分别为A,A₂,过点B(-4,0)的直线与C的左支交于M,N两点，M在第二象限，直线MA,与NA₂交于P,证明：P在定直线上.B站：魔术大师-信信方法一：【解析】(1)由题意c=2√5双曲线1.,则a=2,b²=16,(2)设过点B的直线x=ty-4,联立双曲线得(4t²-1)y²-32ry+48=0,则.设直线MA:设直线NA₂联立得消去y得代入韦达定理的x=-1,即P在直线x=-1上方法二：(1)1,(2)①当l⊥y轴时，不符合题意.②设直线l:x=ty-4,M(x₁,y₁),N(x₂,y₂),P(xo,yo).联立方程组即∵直线与双曲线的左支有两个交点，即,则B站：魔术大师-信信又∵MA,与NA₂相交于点P,则.即x₀=-1;所以点P在定直线x=-1方法三(1)由题意c=2√5,,则a=2,b²=16上.双曲线(2)设过点B的直线y=k(x+4),联立双曲线得(4-k²)x²-8k²x-16-16k²=0,,即(*)设直线MA:设直线NA₂:联立得消去y得：(代入(*)式，化简得,即解得x=-1,即P在定直线x=-1上.22.(12分)(1)证明：当0√2【解析】(1)令h(x)=x-x²-sinx,h(0)=0,h\'(x)=1-2x-cosx,h\'(O)=0,h\'(x)=-2+sinx<0,所以h\'(x)在(0,1)单调递减，所以h(x)在(0,1)单调递减，所以0g(0)=0,(2)f(x)=cosax-lnf(-x)=cos(-ax)-In1-x²\'()所以00,-√20,在(0,t)单调递增，),当00,f\"(x)f\'(x)>f\'(0)>0,f\'(x)在(0,1)单调递增，f\'(x)>f\'(0)=0,f(x)极大值点矛盾。在(0,1)单调递增，与x=0是f(x)的当2-a²<0,a<-√2或a>√2时，f\"(0)=2-a²<0,a>√2时，,当00,f\'(x)在(0,t)单调递增，B站：魔术大师-信信所以3x₀∈(0,t),使得f”(x₀)=0,所以当x∈(0,x₀)时，使得f\"(x)<0,f\'(x)在(0,x₀)单调递减，f(x)0,f(x)所以x=0是f(x)的极大值点，在(0,x₀)单调递减，在(-xo0)单调递增，f(x)为偶函数，所以同理a<-√2时，x=0是f(x)的极大值点。当2-a²=0,a=-√2或a=√2时，f\"(0)=2-a²=0,a=√2时，,x∈(0,1)时，在(0,1)f(x)单调递增，与x=0是f(x)的极大值点矛盾。f(x)为偶函数，所以同理a=-√2时，,与x=0是f(x)的极大值点也矛盾。综上所述，a的范围是a<-√2或a>√2
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