2024年4月4日发(作者：145分高三数学试卷)
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平行四边形及其判断
一、 本节学习指导
这一节学习的知识纯粹是几何知识，在学习过程中我们要多思考，多做练习题。至
于平行四边形的判定要掌握好常见的一两种证明方法，其他的基本上都是推导而来。
二、知识要点
一、平行四边形：
1、平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2、平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对
角线互相平分。
3、平行四边形的面积：
（1）、平行四边形的面积=底×高= ah（a是平行四边形的任何一条边长，h必须是边长为a
的边与其对边的距离）
（2）、同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等。
4、平行四边形的判定
（1）.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（2）.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（3）.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（4）.对角线互相平分的四边形是平行四边形；
（5）.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
提示：（1）平行四边形的判定方法都需要关于边、角、对角线之间的两个适当条件作为命题
正确的构成条件；
（2）判定方法可作为 “画平行四边形”的依据；
（3）一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形。
我们一起来看一个关于证明平行四边形的题目：
如图所示：E，F是平行四边形ABCD对角线BD上的两点，且BE=DF，连接AE，
CE，CF，AF，请你用两种不同方法证明四边形AECF是平行四边形．
证明：方法一：连接AC，交BD于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO．
又∵BE=DF，
∴EO=FO．
∴四边形AECF是平行四边形．
方法二：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠ABE=∠CDF．
又∵BE=DF，
∴△ABE≌△CDF．
∴AE=CF，∠AEB=∠CFD．
∴AE∥CF．
∴四边形AECF是平行四边形．
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5、三角形中的中位线
（1）、三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
（2）、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。
提示：（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。每一条中位线与
第三边都有相应的位置关系和数量关系。
（2）三角形的中位线不仅可以证明直线平行，也可以证明线段的倍分关系。
（3）三角形中位线不同于三角形的中线，应从它们各自的定义加以区别。
（3）、三角形中位线定理的作用：
位置关系：可以证明两条直线平行。
数量关系：可以证明线段的倍分关系。
（4）、常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：
结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。
结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。
结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。
结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。
结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。
6、两条平行线间的距离
（1）、定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行
线间的距离。
（2）、性质：⑴ 两条平行线间的距离处处相等；
⑵ 两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的。
练习作业的答案
1．C 2．C 3．D4．（1）× （2）× （3）∨ （4）∨ （5）∨ （6）×
5．AD=BC或AB∥CD6．解：∵∠1=∠2，∴AD∥BC． 又∵∠3=∠4，∴AB∥CD．
∴四边形ABCD是平行四边形． 7．证明：∵AB=CD，BC=AD， ∴四边形ABCD是平行四
边形．∴AB∥CD，∴∠BAE=∠DCF． 又∵AE=CE，∴△ABE≌△CDF（SAS）， ∴BE=EF．
8．证明：∵FC∥AB， ∴∠DAC=∠ACF，∠ADF=∠DFC． 又∵AE=CE，∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴DE=EF．∵AE=CE，∴四边形ADCF为平行四边形．∴CD=AF．
9．证明：∵四边形ABCD是平行四边形． ∴AB
//
DC．又∵BE=AB，∴BE
//
DC，∴四边形
BDCE是平行四边形 ∵DC∥BF，∴∠CDF=∠F． 同理，∠BDM=∠DMC．∵BD=BF，∴∠BDF=∠F．
∴∠CDF=∠CMD，∴CD=CM． 10．证明：过点B作BG∥AD，交DC的延长线于G，连接
EG．∵DC∥AB，∴ABGD是平行四边形，∴BG
//
AD．在
□
ACED中，AD
//
CE，∴CE
//
BG．
∴四边形BCEG为平行四边形，∴EF=FB．
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平行四边形,三角形,位线,四边形,证明
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