初中数学常见的几种数学思想

2024年4月10日发(作者：绍兴2023中考数学试卷)

初中数学常见的几种数学思想

与数学基础知识一样，数学思想也是数学的重要内容之一。重

视与加强中学数学思想的教学，这对于抓好双基，培养能力以及培

养学生的数学素质都具有十分重要的作用。本人结合几年的初中数

学教学实践，认为初中数学常见的数学思想有以下几种：

1 字母代数思想

用字母代替数字，是初中生最先接触到的数学思想，也是初等

代数以至整个数学最重要最基础的数学思想。

在初中数学中，用字母代替数字，各种量、量的关系、量的变

化以及量与量之间进行推理与演算，都是以符号形式（包括数字、

字母、图形和图表以及各种特定的符号）来表示的，即进行着一整

套的形式化的数学语言。例如：用∣a︱表示某个数的绝对值，用-

a表示某个数的相反数，用an表示n个a连续相乘的积，用s=40t

表示路程与时间的关系，用一对有序实数对（x，y）表示某个点在

平面直角坐标系中的位置。

初中数学教材在七（上）第三章讲解用字母代替数字，也就是

当学生刚从小学生转变为初中生，便开始从原有的数字与数字的运

算转变为用字母代替数字进行推理与运算，这对大多数学生来说要

有一个转变适应的过程，所以苏科版新教材以一些丰富、贴近学生

生活的情境来引导学生逐渐掌握用字母代替数的数学思想。用字母

表示数是“代数”的基础和出发点，也是“符号感”的主要表现之

一。其实，日常生活中人们经常用符号表示某种意义，例如：天气

预报图标、交通标志、五线谱等，从这样的情境出发，有助于学生

借助已有经验感受“在数学中，经常用字母表示数”。

用字母表示数是从算术到代数的重要转折点，但是，它的学习

是建立在算术学习基础上的。教师应当通过具体数字运算，让学生

观察，总结规律，形成对“用字母表示数”的必要性的认识。实际

上，过去学过的运算律（交换律、结合律、分配律等）、简单几何

图形的面积、行程问题等知识，都能说明用字母表示数的重要意义：

普遍性、应用的广泛性等。

总之，要学好初中数学首先必须掌握好用字母代替数的数学思

想。

2 化归转换思想

化归，即转化与归结的意思。把有待解决或未解决的问题，通

过转化过程，归结为所熟悉的规范性问题或已解决的问题中去，从

而求得问题解决的思想。

人们在研究运用数学的长期实践中，获得了大量的成果，也积

累了丰富的经验，许多问题的解决已经形成了固定的方法模式和约

定俗成的步骤。人们把这种有规定的解决方法和程序的问题，叫做

规范问题，而把一个未知的或复杂的问题转化为规范问题的过程称

为问题的化归。

例如，对于整式方程（如一元一次方程、一元二次方程），人们

已经掌握了等式基本性质、求根公式等理论，因此，求解整式方程

的问题是规范问题，而把有关分式方程通过去分母转化为整式方程

的过程，就是问题的规范化。

为了实现“化归”，数学中常常借助于“代换”，又称之为转换。

代数中有恒等变换，方程、不等式的同解变换；几何中全等变换、

相似变换、等积变换。转换是手段，揭示其中不变的东西才是目的，

为了不变的目的去探索转换的手段就构成解题的思路和技艺。例

如，已知x2+y2+2x-6y+10=0，求xy。对于初中生来说本题无法直

接解出关于x，y的二元二次方程。但是如果从完全平方公式着手，

已知条件可以转换为（x+1）2+（y-3）2=0。又因为偶次幂具有非

负性，即（x+1）2≥0，（y-3）2≥0，所以（x+1）2=0，（y-3）2=0，

从而得出x=-1，y=3。最终问题得以解决。

3 分解组合思想

当面临的数学问题不能以统一的形式解决时，可以把涉及的范

围分解为若干个分别研究问题局部的解。然后通过组合各局部的解

而得到原问题的解，这种思想就是分解组合思想，其方法称为分类

讨论法。

分解组合，是重要的数学思想之一。对于复杂的计算题、证明

题等，运用分解组合的思想方法去处理，可以帮助学生进行全面严

谨的思考和分析，从而获得合理有效的解题途径。例如，等腰三角

形两边长分别是4和5，求这个等腰三角形的周长。解决本题首先

分类讨论：①若4为底，则5为腰，三边长分别为4，5，5，可以

构成三角形，此时周长为14；②若5为底，则4为腰，三边长分别

为5，4，4，可以构成三角形，此时周长为13。

4 方程函数思想

方程的思想和函数的思想是处理常量数学与变量数学的重要思

想，在解决一般数学问题中具有重大的意义。在初中数学中，方程

与函数是极为重要的内容，对各类方程和简单函数都作较为系统的

学习研究。对一个较为复杂的问题，常常只须寻找等量关系，列出

一个或几个方程（方程组）或函数关系式，就能很好地得到解决。

例如，某灯具店采购了一批某种型号的节能灯，共用去400元。

在搬运过程中不慎打碎了5盏，该店把余下的灯每盏加价4元全部

售出，然后用所得的钱又采购了一批这种节能灯，且进价与上次相

同，但购买的数量比上次多了9盏，求每盏灯的进价。

5 数形结合思想

数形结合不仅使几何问题获得了有力的代数工具，同时也使许

多代数问题具有了显明的直观性。数形结合是初中数学中十分重要

的思想，在数学问题的解决中具有数学独特的策略指导与调节作

用。例如，二元一次方程组的图像解法，把数量关系问题转化为图

形性质问题；a，b两地之间修建一条 100千米 长的公路，c处是

以c点为中心，方圆 50千米 的自然保护区，a在c西南方向，b

在c的南偏东30度方向，问公路ab是否会经过自然保护区？

当然，初中数学所涉及到的数学思想不止这五种。以上只是本

人对初中数学常见的几种数学思想的浅见，在今后的教学实践中本

人将更加重视与加强对学生进行数学思想的数学，提高学生的解题

能力，培养学生的数学素养。