2024年3月23日发(作者：数学试卷成绩差家长意见)

2017

年普通高等学校招生全国统一考试（全国）

理科数学

（试题及答案解析）

一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）

22

1．已知集合

A(x,y)xy1

，

B

(x,y)yx

，则

A



B

中元素的个数为（）

A．3 B．2 C．1 D．0

【答案】B

【解析】

A

表示圆

x

2

y

2

1

上所有点的集合，

B

表示直线

yx

上所有点的集合，

故

AB

表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即

AB

元素的个数

为2，故选B.

2．设复数

z

满足

(1i)z2i

，则

z

（）

1

A．

2

【答案】C

B．

2

2

C．

2

D．2

【解析】由题，

z

2i

1i

2i2i2

i1

，则

z1

2

1

2

2

，故选C.

1i

1i



1i

2

3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至

2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．

根据该折线图，下列结论错误的是

A．月接待游客量逐月增加

B．年接待游客量逐年增加

C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份

D．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

【答案】A

【解析】由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A选项错误，故选A.

4．

(xy)(2xy)

5

的展开式中

x

3

y

3

的系数为（）

A．



B．



C．40 D．80

【答案】C

【解析】由二项式定理可得，原式展开中含

x

3

y

3

的项为

233

33

xC

5

2x



y

yC

3

5

2x



y

40xy

，则

xy

的系数为40，故选C.

2332

x

2

y

2

5

5．已知双曲线

C：

2

2

1

（

a0

，

b0

）的一条渐近线方程为

yx

，且与椭圆

ab

2

x

2

y

2

1

有公共焦点．则

C

的方程为（）

123

x

2

y

2

x

2

y

2

x

2

y

2

x

2

y

2

1

B．

1

C．

1

D．

1

A．

810455443

【答案】B

5b5

【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为

y

①

x

，则

a2

2

x

2

y

2

1

与双曲线有公共焦点，易知

c3

，则

a

2

b

2

c

2

9

②

又∵椭圆

123

x

2

y

2

1

，故选B.

由①②解得

a2,b5

，则双曲线

C

的方程为

45

π

6．设函数

f(x)cos(x)

，则下列结论错误的是（）

3

8π

A．

f(x)

的一个周期为

2π

B．

yf(x)

的图像关于直线

x

对称

3

ππ

C．

f(x

)

的一个零点为

x

D．

f(x)

在

(,π)

单调递减

62

【答案】D

π

π

【解析】函数

f

x

cos

x

的图象可由

ycosx

向左平移个单位得到，

3

3

π

如图可知，

f

x

在

,π

上先递减后递增，D选项错误，故选D.

2

y

-

O

6

x

7．执行右图的程序框图，为使输出

S

的值小于91，则输入的正整数

N

的最小值为（）

A．5

B．4

C．3

D．2

【答案】D

【解析】程序运行过程如下表所示：

t

S

M

初始状态 0 100 1

10

第1次循环结束 100 2

第2次循环结束 90 1 3

此时

S9091

首次满足条件，程序需在

t3

时跳出循环，即

N2

为满足条件的

最小值，故选D.

8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体

积为（）

3π

ππ

A．

π

B． C． D．

4

２

4

【答案】B

3

1

【解析】由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径

r1



，

22



3π

2

则圆柱体体积

V

π

rh

，故选B.

4

2

2

9．等差数列

a

n

的首项为1，公差不为0．若

a

2

，

a

3

，

a

6

成等比数列，则

a

n

前6项的和

为（）

A．

24

B．

3

C．3 D．8

【答案】A

【解析】∵

a

n

为等差数列，且

a

2

,a

3

,a

6

成等比数列，设公差为

d

.

2

a

2

a

6

，即

a

1

2d

a

1

d



a

1

5d

则

a

3

2

又∵

a

1

1

，代入上式可得

d

2

2d0

又∵

d0

，则

d2

6565

d16

2

24

，故选A.

∴

S

6

6a

1

22

x

2

y

2

10．已知椭圆

C:

2

2

1

（

ab0

）的左、右顶点分别为

A

1

，

A

2

，且以线段

A

1

A

2

为直

ab

径的圆与直线

bxay2ab0

相切，则

C

的离心率为（）

1

632

A． B． C． D．

3

33

３

【答案】A

【解析】∵以

A

1

A

2

为直径为圆与直线

bxay2ab0

相切，∴圆心到直线距离

d

等于半径，

2ab

da

∴

22

ab

又∵

a0,b0

，则上式可化简为

a

2

3b

2

c

2

2

222

222

∵

bac

，可得

a3ac

，即

2

a3

c6

∴

e

，故选A

a3



11．已知函数

f(x)x

2

2xa(e

x1

e

x1

)

有唯一零点，则

a

（）

111

A．

B． C．

２

32

【答案】C

【解析】由条件，

f(x)x

2

2xa(e

x1

e

x1

)

，得：

D．1

f(2x)(2x)

2

2(2x)a(e

2x1

e

(2x)1

)

x

2

4x442xa(e

1x

e

x1

)

x

2

2xa(e

x1

e

x1

)

∴

f(2x)f(x)

，即

x1

为

f(x)

的对称轴，

由题意，

f(x)

有唯一零点，

∴

f(x)

的零点只能为

x1

，

即

f(1)1

2

21a(e

11

e

11

)0

，

1

解得

a

．

2

12．在矩形

ABCD

中，

AB1

，

AD2

，动点

P

在以点

C

为圆心且与

BD

相切的圆上．若

AP

AB

AD

，则

的最大值为（）

y

A．3 B．

22

P

C．

5

D．2

C

B

【答案】A

【解析】由题意，画出右图．

设

BD

与

C

切于点

E

，连接

CE

．

E

以

A

为原点，

AD

为

x

轴正半轴，

x

D

A(O)

y

AB

为轴正半轴建立直角坐标系，

则

C

点坐标为

(2,1)

．

∵

|CD|1

，

|BC|2

．

∴

BD1

2

2

2

5

．

∵

BD

切

C

于点

E

．

∴

CE

⊥

BD

．

∴

CE

是

Rt△BCD

中斜边

BD

上的高．

1

2|BC||CD|

2S

22

|EC|

△BCD

2

5

|BD||BD|

5

5

2

5

．

即

C

的半径为

5

∵

P

在

C

上．

4

(x2)

2

(y1)

2

5

． ∴

P

点的轨迹方程为

设

P

点坐标

(x

0

,y

0

)

，可以设出

P

点坐标满足的参数方程如下：

2

x25cos

0

5

y1

2

5sin

0

5

而

AP(x

0

,y

0

)

，

AB(0,1)

，

AD(2,0)

．

∵

AP

AB

AD

(0,1)

(2,0)(2

,

)

2

15

5sin

．

x

0

1cos

，

y

0

1

5

25

两式相加得：

25

15sin

1cos

55

∴

25

2

5

)()

2

sin(

)

55

2sin(

)≤3

2(

(其中

sin

当且仅当

525

，

cos

)

55

π

2kπ

，

kZ

时，

取得最大值3．

2

二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）

xy≥0,

13．若

x

，

y

满足约束条件

xy2≤0,

则

z3x4y

的最小值为________．

y≥0,

【答案】

1

【解析】由题，画出可行域如图：

3z

x

纵截距越大，

z

值越小．

44

由图可知：

z

在

A

1,1

处取最小值，故

z

min

31411

．

目标函数为

z3x4y

，则直线

y

xy20

y

A

(1,1)

B

(2,0)

xy0

x

14．设等比数列

a

n

满足

a

1

a

2

1

，

a

1

a

3

3

，则

a

4

________．

【答案】

8

【解析】

a

n

为等比数列，设公比为

q

．

a

1

a

1

q1①

a

1

a

2

1

，即

，

2

aa3

aaq3②

13

11

显然

q1

，

a

1

0

，

②

得

1q3

，即

q2

，代入

①

式可得

a

1

1

，

①

a

4

a

1

q

3

1

2

8

．

3

x1,x≤0,

1

f(x)

15．设函数则满足

f(x)f(x)1

的

x

的取值范围是________．

x

2

2,x0,

1

【答案】

,

4

x1,x≤0

1

1



【解析】

f

x

x

，

f

x

f

x

1

，即

f

x

1f

x

2

2



2 ,x0

1



由图象变换可画出

yf

x

与

y1f

x

的图象如下：

2



y

1

yf(x)

2

11

(,)

44

1

2

1

2

x

y1f(x)

1



1

由图可知，满足

f

x

1f

x

的解为

,

.

2



4

16．

a

，

b

为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形

ABC

的直角边

AC

所在直线与

a

，

b

都垂直，斜边

AB

以直线

AC

为旋转轴旋转，有下列结论：

①当直线

AB

与

a

成

60

角时，

AB

与

b

成

30

角；

②当直线

AB

与

a

成

60

角时，

AB

与

b

成

60

角；

③直线

AB

与

a

所成角的最小值为

45

；

④直线

AB

与

a

所成角的最大值为

60

．

其中正确的是________（填写所有正确结论的编号）

【答案】②③

【解析】由题意知，

a、b、AC

三条直线两两相互垂直，画出图

形如图．

不妨设图中所示正方体边长为1，

故

|AC|1

，

AB2

，

斜边

AB

以直线

AC

为旋转轴旋转，则

A

点保持不变，

B

点的运动轨迹是以

C

为圆心，1为半径的圆．

以

C

为坐标原点，以

CD

为

x

轴正方向，

CB

为

y

轴正方向，

CA

为

z

轴正方向建立空间直角坐标系．

则

D(1,0,0)

，

A(0,0,1)

，

直线

a

的方向单位向量

a(0,1,0)

，

|a|1

．

B

点起始坐标为

(0,1,0)

，

直线

b

的方向单位向量

b(1,0,0)

，

|b|1

．

设

B

点在运动过程中的坐标

B

(cos

,sin

,0)

，

其中

为

B

C

与

CD

的夹角，

[0,2π)

．

那么

AB\'

在运动过程中的向量

AB

(cos

,sin

,1)

，

|AB

|2

．

π

设

AB

与

a

所成夹角为

[0,]

，

2


更多推荐

解析,直线,可知,结论,圆柱体,游客量