2020年高考数学文科全国三试卷及答案解析

2024年3月15日发(作者：温岭中考数学试卷题目)

2020年高考数学文科全国三试卷及答案解析

2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个

选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8}，则A∩B中元素的个数

为（ ）

A．1

B．2

C．3

D．4

2．（5分）复平面内表示复数z=i（﹣2+i）的点位于（ ）

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

3．（5分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理

了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘

制了下面的折线图．

根据该折线图，下列结论错误的是（ ）

A．月接待游客量逐月增加

B．年接待游客量逐年增加

C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月

D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化

比较平稳

4．（5分）已知sinα﹣cosα=，则sin2α=（ ）

A．﹣

B．﹣

C．

D．

5．（5分）设x，y满足约束条件

A．[﹣3，0]

B．[﹣3，2]

则z=x﹣y的取值范围是（ ）

C．[0，2]

D．[0，3]

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2020年高考数学文科全国三试卷及答案解析

6．（5分）函数f（x）=sin（x+

A．

B．1

）+cos（x﹣

C．

）的最大值为（ ）

D．

7．（5分）函数y=1+x+的部分图象大致为（ ）

A．

B．

C．

D．

8．（5分）执行如图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N

的最小值为（ ）

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A．5

B．4

C．3

D．2

9．（5分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球

面上，则该圆柱的体积为（ ）

A．π

B．

C．

D．

10．（5分）在正方体ABCD﹣A

1

B

1

C

1

D

1

中，E为棱CD的中点，则（ ）

A．A

1

E⊥DC

1

B．A

1

E⊥BD

C．A

1

E⊥BC

1

D．A

1

E⊥AC

11．（5分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A

1

，A

2

，且

以线段A

1

A

2

为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（ ）

A．

B．

C．

D．

12．（5分）已知函数f（x）=x

2

﹣2x+a（e

x

﹣

1

+e

﹣

x

+

1

）有唯一零点，则a=（ ）

A．﹣

二、填空题

13．（5分）已知向量=（﹣2，3），=（3，m），且

14．（5分）双曲线

，则m= ．

B．

C．

D．1

（a＞0）的一条渐近线方程为y=x，则a= ．

，15．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=60°，b=

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c=3，则A= ．

16．（5分）设函数f（x）=

值范围是 ．

三、解答题

17．（12分）设数列{a

n

}满足a

1

+3a

2

+…+（2n﹣1）a

n

=2n．

（1）求{a

n

}的通项公式；

（2）求数列{

18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4

元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处

理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如

果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），

需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份

的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布

表：

最高气温

[10，15）

[15，20）

[20，25）

[25，30）

[30，35）

[35，40）

天数

2

16

36

25

7

4

}的前n项和．

，则满足f（x）+f（x﹣）＞1的x的取

以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．

（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一

天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．

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19．（12分）如图四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．

（1）证明：AC⊥BD；

（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且

AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．

20．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线y=x

2

+mx﹣2与x轴交于A、B两点，点

C的坐标为（0，1），当m变化时，解答下列问题：

（1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；

（2）证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．

21．（12分）已知函数f（x）=lnx+ax

2

+（2a+1）x．

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）当a＜0时，证明f（x）≤﹣

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﹣2．

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[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l

1

的参数方程为

直线l

2

的参数方程为

时，P的轨迹为曲线C．

（1）写出C的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l

3

：ρ（cosθ+sinθ）

﹣

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|．

（1）求不等式f（x）≥1的解集；

（2）若不等式f（x）≥x

2

﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．

=0，M为l

3

与C的交点，求M的极径．

，（t为参数），

，（m为参数）．设l

1

与l

2

的交点为P，当k变化

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2020年高考数学文科全国三试卷及答案解析

2017年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个

选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8}，则A∩B中元素的个数

为（ ）

A．1

B．2

C．3

D．4

【考点】1E：交集及其运算．

【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．

【分析】利用交集定义先求出A∩B，由此能求出A∩B中元素的个数．

【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8}，

∴A∩B={2，4}，

∴A∩B中元素的个数为2．

故选：B．

【点评】本题考查交集中元素个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意

交集定义的合理运用．

2．（5分）复平面内表示复数z=i（﹣2+i）的点位于（ ）

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．

【专题】35：转化思想；5N：数系的扩充和复数．

【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．

【解答】解：z=i（﹣2+i）=﹣2i﹣1对应的点（﹣1，﹣2）位于第三象限．

故选：C．

【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，

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2020年高考数学文科全国三试卷及答案解析

属于基础题．

3．（5分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理

了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘

制了下面的折线图．

根据该折线图，下列结论错误的是（ ）

A．月接待游客量逐月增加

B．年接待游客量逐年增加

C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月

D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化

比较平稳

【考点】2K：命题的真假判断与应用；B9：频率分布折线图、密度曲线．

【专题】27：图表型；2A：探究型；5I：概率与统计．

【分析】根据已知中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万

人）的数据，逐一分析给定四个结论的正误，可得答案．

【解答】解：由已有中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：

万人）的数据可得：

月接待游客量逐月有增有减，故A错误；

年接待游客量逐年增加，故B正确；

各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，故C正确；

各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平

稳，故D正确；

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故选：A．

【点评】本题考查的知识点是数据的分析，命题的真假判断与应用，难度不大，

属于基础题．

4．（5分）已知sinα﹣cosα=，则sin2α=（ ）

A．﹣

B．﹣

C．

D．

【考点】GS：二倍角的三角函数．

【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；56：三角函数的求值．

【分析】由条件，两边平方，根据二倍角公式和平方关系即可求出．

【解答】解：∵sinα﹣cosα=，

∴（sinα﹣cosα）

2

=1﹣2sinαcosα=1﹣sin2α=

∴sin2α=﹣，

故选：A．

【点评】本题考查了二倍角公式，属于基础题．

5．（5分）设x，y满足约束条件

A．[﹣3，0]

，

则z=x﹣y的取值范围是（ ）

C．[0，2]

D．[0，3]

B．[﹣3，2]

【考点】7C：简单线性规划．

【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；5T：不等式．

【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的范围即

可．

【解答】解：x，y满足约束条件的可行域如图：

目标函数z=x﹣y，经过可行域的A，B时，目标函数取得最值，

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由

由

解得A（0，3），

解得B（2，0），

目标函数的最大值为：2，最小值为：﹣3，

目标函数的取值范围：[﹣3，2]．

故选：B．

【点评】本题考查线性规划的简单应用，目标函数的最优解以及可行域的作法是

解题的关键．

6．（5分）函数f（x）=sin（x+

A．

）+cos（x﹣

C．

）的最大值为（ ）

D．

B．1

【考点】HW：三角函数的最值．

【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；57：三角函数的图像与性质．

【分析】利用诱导公式化简函数的解析式，通过正弦函数的最值求解即可．

【解答】解：函数f（x）=sin（x+

x+）=sin（x+

）．

）+sin（x+

）+cos（x﹣

）

）=sin（x+）+cos（﹣

=sin（x+

故选：A．

【点评】本题考查诱导公式的应用，三角函数的最值，正弦函数的有界性，考查

计算能力．

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7．（5分）函数y=1+x+的部分图象大致为（ ）

A．

B．

C．

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D．

【考点】3A：函数的图象与图象的变换．

【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；51：函数的性质及应用．

【分析】通过函数的解析式，利用函数的奇偶性的性质，函数的图象经过的特殊

点判断函数的图象即可．

【解答】解：函数y=1+x+

象关于原点对称，

则函数y=1+x+

+

，可知：f（x）=x+是奇函数，所以函数的图

的图象关于（0，1）对称，

当x→0，f（x）＞0，排除A、C，当x=π时，y=1+π，排除B．

故选：D．

【点评】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及特殊点是常用方法．

8．（5分）执行如图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N

的最小值为（ ）

第12页（共29页）

2020年高考数学文科全国三试卷及答案解析

A．5

B．4

C．3

D．2

【考点】EF：程序框图．

【专题】11：计算题；39：运动思想；49：综合法；5K：算法和程序框图．

【分析】通过模拟程序，可得到S的取值情况，进而可得结论．

【解答】解：由题可知初始值t=1，M=100，S=0，

要使输出S的值小于91，应满足“t≤N”，

则进入循环体，从而S=100，M=﹣10，t=2，

要使输出S的值小于91，应接着满足“t≤N”，

则进入循环体，从而S=90，M=1，t=3，

要使输出S的值小于91，应不满足“t≤N”，跳出循环体，

此时N的最小值为2，

故选：D．

【点评】本题考查程序框图，判断出什么时候跳出循环体是解决本题的关键，注

意解题方法的积累，属于中档题．

9．（5分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球

面上，则该圆柱的体积为（ ）

A．π

B．

C．

第13页（共29页）

D．

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【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LR：球内接多面体．

【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5Q：立体几何．

【分析】推导出该圆柱底面圆周半径r=

积．

【解答】解：∵圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球

面上，

∴该圆柱底面圆周半径r=

∴该圆柱的体积：V=Sh=

故选：B．

=，

=．

=，由此能求出该圆柱的体

【点评】本题考查面圆柱的体积的求法，考查圆柱、球等基础知识，考查推理论

证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想，是中档题．

10．（5分）在正方体ABCD﹣A

1

B

1

C

1

D

1

中，E为棱CD的中点，则（ ）

A．A

1

E⊥DC

1

B．A

1

E⊥BD

C．A

1

E⊥BC

1

D．A

1

E⊥AC

【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．

【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5G：空间角．

【分析】法一：连B

1

C，推导出BC

1

⊥B

1

C，A

1

B

1

⊥BC

1

，从而BC

1

⊥平面A

1

ECB

1

，

由此得到A

1

E⊥BC

1

．

法二：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD

1

为z轴，建立空间直角坐标系，

利用向量法能求出结果．

【解答】解：法一：连B

1

C，由题意得BC

1

⊥B

1

C，

∵A

1

B

1

⊥平面B

1

BCC

1

，且BC

1

⊂平面B

1

BCC

1

，

第14页（共29页）

2020年高考数学文科全国三试卷及答案解析

∴A

1

B

1

⊥BC

1

，

∵A

1

B

1

∩B

1

C=B

1

，

∴BC

1

⊥平面A

1

ECB

1

，

∵A

1

E⊂平面A

1

ECB

1

，

∴A

1

E⊥BC

1

．

故选：C．

法二：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD

1

为z轴，建立空间直角坐标系，

设正方体ABCD﹣A

1

B

1

C

1

D

1

中棱长为2，

则A

1

（2，0，2），E（0，1，0），B（2，2，0），D（0，0，0），C

1

（0，2，2），

A（2，0，0），C（0，2，0），

=（﹣2，1，﹣2），

=（﹣2，0，2），

∵•=﹣2，

=（0，2，2），

=（﹣2，2，0），

=2，=0，=6，

=（﹣2，﹣2，0），

∴A

1

E⊥BC

1

．

故选：C．

【点评】本题考查线线垂直的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法

的合理运用．

11．（5分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A

1

，A

2

，且

以线段A

1

A

2

为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（ ）

A．

第15页（共29页）

B．

C．

D．