2023年12月4日发(作者：史上最解压数学试卷)
人教版九年级上册 期末试卷（1)一、精心选一选(本大题共10小题,每小题3分,共30分．每小题给出四个答案,其中只有一个是正确的)1.（3分)下列方程中,关于x的一元二次方程是( ）Ａ．3（x+1)２=２（x+1)B.ﻩC．ax2+bx+c=0Ｄ．x2+2ｘ＝x2﹣１２．（3分）如图,在矩形AＢCD中，AB＝3,BC=４,将其折叠,使AB边落在对角线ＡC上，得到折痕AE,则点E到点B的距离为( ）A．ﻩB.2C.Ｄ.３３．(３分）在一个四边形ABＣD中，依次连接各边的中点得到的四边形是菱形，则对角线ＡC与BＤ需要满足条件是（ )A.垂直B．相等ﻩＣ．垂直且相等ﻩＤ.不再需要条件4．(3分）已知点A(﹣2,y1)、B（﹣1,y２)、C（3，y3）都在反比例函数y=的图象上，则（ ）A．ｙ1＜y2 ２．（3分)如图,在矩形ABCD中,AB=３,BC=4,将其折叠,使ＡB边落在对角线AC上,得到折痕AE,则点E到点Ｂ的距离为( )ﻩＣ．ax２+bx+c=0D.ｘ2+2x=x2﹣1A．ﻩB．2ﻩC.D.3【考点】翻折变换（折叠问题);勾股定理;矩形的性质．【专题】几何图形问题.【分析】由于ＡE是折痕，可得到AB=ＡF，BE＝ＥF，设出未知数，在Rt△EFC中利用勾股定理列出方程,通过解方程可得答案．【解答】解:设BE=x,∵AE为折痕，∴AＢ=ＡＦ,BE＝EＦ=x,∠AFE=∠B=90°,Ｒｔ△ＡBＣ中，ＡC===5,∴Ｒt△EFC中,FＣ=5﹣３=2,EC=4﹣X，∴(４﹣x）２=ｘ2+2２,解得x=.故选A．【点评】本题考查了折叠问题、勾股定理和矩形的性质;解题中,找准相等的量是正确解答题目的关键. ３．(3分)在一个四边形ＡBCD中，依次连接各边的中点得到的四边形是菱形,则对角线AＣ与BD需要满足条件是( ）A．垂直Ｂ.相等ﻩC.垂直且相等D．不再需要条件【考点】中点四边形.【分析】因为菱形的四边相等,再根据三角形的中位线定理可得，对角线ＡC与ＢD需要满足条件是相等．【解答】解：∵四边形EFGH是菱形，∴EH＝FG=EF=HG＝BD=ＡC，故AC＝BＤ．故选Ｂ．【点评】本题很简单，考查的是三角形中位线的性质及菱形的性质.解题的关键在于牢记有关的判定定理,难度不大. 4．(３分）已知点A（﹣２，y1)、Ｂ（﹣1，ｙ２）、C（3，ｙ3）都在反比例函数ｙ=的图象上，则( )A.y1＜y２＜y3Ｂ．y3＜y2 ７．（３分）二次三项式x2﹣4x+3配方的结果是（ ）A.(x﹣2）2＋7ﻩB.（x﹣２)2﹣１【考点】配方法的应用．【分析】在本题中,若所给的式子要配成完全平方式，常数项应该是一次项系数﹣4的一半的平方;可将常数项3拆分为4和﹣1,然后再按完全平方公式进行计算.【解答】解：x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣1=（x﹣2)２﹣1．故选B．【点评】在对二次三项式进行配方时,一般要将二次项系数化为１,然后将常数项进行拆分,使得其中一个常数是一次项系数的一半的平方． 8．(３分）函数y=的图象经过（1,﹣1）,则函数ｙ=ｋx﹣２的图象是( ）C．(x+2)2＋７ﻩＤ．(x+2)2﹣1A.ﻩB．ﻩC．ﻩD．【考点】一次函数的图象；反比例函数图象上点的坐标特征.【专题】待定系数法．【分析】先根据函数y＝的图象经过(1，﹣1）求出k的值，然后求出函数ｙ=kx﹣2的解析式，再根据一次函数图象与坐标轴的交点坐标解答.【解答】解:∵图象经过（１,﹣1）,∴k＝xy=﹣1，∴函数解析式为y=﹣x﹣2,所以函数图象经过(﹣２，0)和(０,﹣２)．故选A.【点评】主要考查一次函数ｙ=ｋx+b的图象．当k<0，b＜0时，函数y=kｘ+b的图象经过第二、三、四象限. 9．（3分)如图,矩形ABCD，R是ＣD的中点,点M在BC边上运动,E，F分别是AＭ，ＭR的中点，则EF的长随着M点的运动( )A.变短ﻩB.变长C．不变ﻩD.无法确定【考点】三角形中位线定理；矩形的性质．【专题】压轴题;动点型．【分析】易得EF为三角形AＭR的中位线,那么EF长恒等于定值ＡR的一半．【解答】解:∵E，Ｆ分别是AM，MR的中点，∴EＦ=AＲ,∴无论M运动到哪个位置EＦ的长不变,故选Ｃ.【点评】本题考查三角形中位线等于第三边的一半的性质. １０．(3分）如图，点A在双曲线y=上，且OA=4,过A作AC⊥x轴，垂足为C，OＡ的垂直平分线交OＣ于B,则△ABC的周长为( ）A．B.5ﻩＣ.ﻩD.【考点】反比例函数综合题．【专题】综合题；压轴题；数形结合.【分析】根据线段垂直平分线的性质可知AＢ＝OB,由此推出△ABC的周长=OC+AC,设OC=ａ，AC=b，根据勾股定理和函数解析式即可得到关于a、b的方程组，解之即可求出△ＡBC的周长．【解答】解:∵ＯＡ的垂直平分线交ＯC于Ｂ,∴AＢ=OB，∴△AＢC的周长＝OC+AC，设ＯC=ａ,AC=ｂ,则:解得ａ+b＝2,，．即△ＡＢC的周长=ＯC+ＡC＝2故选：A．【点评】本题考查反比例函数图象性质和线段中垂线性质,以及勾股定理的综合应用，关键是一个转换思想,即把求△ＡＢC的周长转换成求ＯC+AC即可解决问题. 二、你能填得又快又准吗？（共8小题,每题４分，共32分）１1.（4分）反比例函数【考点】反比例函数的性质.【分析】由于反比例函数范围即可．【解答】解：由题意得，反比例函数则k+2>0，解得k>﹣2．故答案为k＞﹣2.的图象在二、四象限内，的图象在一、三象限内,则k+2>0,解得k的取值的图象在一、三象限，则k应满足 k>﹣2 ．【点评】本题考查了反比例函数的性质,重点是注意y=(ｋ≠0)中k的取值，①当ｋ＞0时，反比例函数的图象位于一、三象限;②当ｋ＜0时，反比例函数的图象位于二、四象限. 12．（４分）把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的倍,那么边长应缩小到原来的 【考点】相似三角形的性质.【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．【解答】解:∵改做的三角形与原三角形相似,且面积缩小到原来的倍，∴边长应缩小到原来的故答案为:．倍. 倍．【点评】本题考查了相似三角形面积的比等于相似比的平方的性质,熟记性质是解题的关键. １３．(４分)已知一元二次方程（ａ﹣１)x2+7ax+a２+3a﹣4=0有一个根为零，则a的值为 ﹣４ .【考点】一元二次方程的解；一元二次方程的定义.【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解,就是能够使方程左右两边相等的未知数的值,即用这个数代替未知数所得式子仍然成立;将x=0代入原方程即可求得a的值.【解答】解:把x＝0代入一元二次方程(a﹣1)x2＋７ａx＋a2+３a﹣４=0,可得a2+3a﹣4=０,解得ａ=﹣4或a=1，∵二次项系数a﹣１≠０,∴a≠1，∴a=﹣4.故答案为:﹣４．【点评】本题逆用一元二次方程解的定义易得出a的值,但不能忽视一元二次方程成立的条件a﹣1≠0，因此在解题时要重视解题思路的逆向分析. 14.（4分)已知==，则 【考点】比例的性质．【分析】根据已知比例关系,用未知量k分别表示出a、b和c的值,代入原式中，化简即可得到结果.【解答】解：设＝=＝ｋ，∴ａ=5k,b=3k，ｃ＝4k,∴故答案为:=．＝=，＝ .【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 1５．（4分）如图，双曲线上有一点A，过点Ａ作ＡB⊥x轴于点B，△AＯB的面积为2，则该双曲线的表达式为 y=﹣ ．【考点】反比例函数系数ｋ的几何意义．【专题】压轴题；数形结合．【分析】先根据反比例函数图象所在的象限判断出ｋ的符号,再根据S△AOＢ=2求出k的值即可．【解答】解:∵反比例函数的图象在二、四象限，∴k<0,∵Ｓ△ＡOＢ=2，∴|k｜=4，∴k=﹣4，即可得双曲线的表达式为:ｙ=﹣,故答案为:y=﹣.【点评】本题考查的是反比例系数ｋ的几何意义，即在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变． 16.（4分)如图,在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CＤ⊥AＢ于D,若AD=1，BＤ=4，则ＣＤ= ２ ．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】首先证△AＣＤ∽△CＢD,然后根据相似三角形的对应边成比例求出ＣD的长.【解答】解:Rt△ＡＣB中，∠ACB=９０°，CD⊥AＢ;∴∠AＣD=∠B=90°﹣∠A；又∵∠ADC＝∠CDB=90°,∴△ACD∽△CＢD;∴CD２=ＡD•BD=4，即CD=２.【点评】此题主要考查的是相似三角形的判定和性质． 17．(4分)如图,在梯形ABCD中，AD∥ＢC,AC,ＢD交于点Ｏ，Ｓ△ＡOD：S△COＢ=１:9，则S△DOC:S△ＢOC＝ 1：3 .【考点】相似三角形的判定与性质；梯形.【专题】压轴题．【分析】根据在梯形ＡBCD中，AD∥BＣ，ＡC,易得△AOD∽△ＣOB，且S△AOD：S△COB=1：9，可求=，则S△AOD：S△DOC=1:3,所以Ｓ△DOC：S△BOC=1:3.【解答】解:根据题意，AD∥ＢC∴△AOD∽△COB∵S△AOＤ:S△ＣOB=1:９∴=则S△AOＤ：S△DOC＝1:３所以S△DOC:Ｓ△ＢOC＝３:９=1：3.【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方． 1８．(4分)如图,在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥ＢC.若AD=4,DB＝2,则的值为 ．【考点】相似三角形的判定与性质.【分析】由ＡD=3，DB=２,即可求得AB的长,又由DE∥BC,根据平行线分线段成比例定理，可得DＥ:BＣ＝AD：AB,则可求得答案．【解答】解:∵AD=4,DB=２,∴AＢ＝AD+BD=4+2=6，∵DE∥BＣ，△ADE∽△ABＣ,∴故答案为：．【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理.此题比较简单,注意掌握比例线段=，的对应关系是解此题的关键． 三、解答题:(共9道题，总分88分）１9．（8分)解方程(1)2x2﹣2x﹣５＝0； （2）(y＋2）2＝(3y﹣１）2．【考点】解一元二次方程-因式分解法;解一元二次方程-公式法．【分析】（1）利用求根公式计算即可；(2)利用因式分解可得到（4y+1）(３﹣2y）=0,可求得方程的解.【解答】解:（１)∵ａ＝2，ｂ＝﹣2∴△=（﹣2,c=﹣５，)2﹣4×2×（﹣5)=４8>０,∴方程有两个不相等的实数根，∴x＝即ｘ1=，x２=＝，,（2）移项得（ｙ+2）2﹣（3y﹣1)2=0,分解因式得(4y+1）（3﹣2y）=０，解得y1=﹣，y2=．【点评】本题主要考查一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键． 20.（８分）已知,如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，ＡB＝5m,某一时刻AＢ在阳光下的投影BC=3m．（1)请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；(２）在测量AB的投影时，同时测量出ＤＥ在阳光下的投影长为6ｍ,请你计算ＤＥ的长.【考点】平行投影；相似三角形的性质;相似三角形的判定.【专题】计算题；作图题.【分析】(１）根据投影的定义，作出投影即可;（2）根据在同一时刻,不同物体的物高和影长成比例；构造比例关系．计算可得DE=１0（m)．【解答】解：(1）连接ＡC，过点Ｄ作DF∥AC,交直线BＣ于点F，线段EF即为DE的投影．（2）∵AＣ∥DF,∴∠ACB=∠ＤFE．∵∠AＢC=∠DEF=9０°∴△ABC∽△DEF.∴，∴∴DE=10（m）.说明:画图时，不要求学生做文字说明,只要画出两条平行线ＡC和DF，再连接ＥF即可.【点评】本题考查了平行投影特点:在同一时刻,不同物体的物高和影长成比例.要求学生通过投影的知识并结合图形解题． 21.（10分）如图,在△ＡBＣ中，D是BC边上的一点,E是ＡD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F,且ＡF=BD,连接BF.（1)线段ＢD与ＣＤ有什么数量关系，并说明理由;(2)当△ABＣ满足什么条件时，四边形AＦBD是矩形？并说明理由．【考点】矩形的判定;全等三角形的判定与性质．【专题】证明题.【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE＝∠DCE，然后利用“角角边”证明△AEF和△ＤEC全等，根据全等三角形对应边相等可得AＦ=ＣD,再利用等量代换即可得证;（2)先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AFＢＤ是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形，可知∠ADB=90°,由等腰三角形三线合一的性质可知必须是AB=AC．【解答】解：（1）BD=CD．理由如下：依题意得ＡF∥BＣ,∴∠ＡＦE=∠DCE，∵E是AＤ的中点，∴AE=DＥ,在△AEF和△DEC中，,∴△ＡEF≌△DＥC(AAS),∴AＦ=ＣD,∵AF=BD，∴BD=ＣＤ；（2)当△AＢC满足：ＡＢ=AC时，四边形ＡFBD是矩形．理由如下:∵AＦ∥BＤ,AF=BD，∴四边形AFBD是平行四边形,∵AB=AC,BD＝CD（三线合一）,∴∠ADB=90°,∴▱ＡFＢD是矩形.【点评】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，是基础题,明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键. ２２.（10分)已知甲同学手中藏有三张分别标有数字，，1的卡片,乙同学手中藏有三张分别标有1，３，２的卡片,卡片外形相同．现从甲乙两人手中各任取一张卡片，并将它们的数字分别记为a，b．（1)请你用树形图或列表法列出所有可能的结果.（2)现制定这样一个游戏规则：若所选出的a，ｂ能使得ａx２+bx+1＝0有两个不相等的实数根,则称甲获胜;否则称乙获胜.请问这样的游戏规则公平吗？请你用概率知识解释.【考点】游戏公平性;根的判别式;列表法与树状图法．【分析】（１）首先根据题意画出树状图,然后根据树状图即可求得所有等可能的结果;(2）利用一元二次方程根的判别式,即可判定各种情况下根的情况，然后利用概率公式求解即可求得甲、乙获胜的概率,比较概率大小，即可确定这样的游戏规是否公平.【解答】解:（１)画树状图得：∵(a，b）的可能结果有（,１）、(,３)、（,2)、(，1)、(，３)、（,2）、(1,1）、（１,3)及（1，2),∴(a,ｂ）取值结果共有9种; (2)∵当a＝,b=1时，△=b2﹣4ac=﹣1<０，此时ax2＋bx＋1=0无实数根,当a=，b＝３时,△=b2﹣4ａc=7>0，此时aｘ2+bx＋１=０有两个不相等的实数根，当ａ=,b=2时,△=b２﹣4ac=2＞0，此时ax２＋ｂx＋1=０有两个不相等的实数根,当a＝,b=１时,△=b２﹣4ac=０，此时aｘ2+bx+１=0有两个相等的实数根，当ａ＝,b=3时，△=b２﹣4ac＝8>0，此时aｘ2＋bx+1=0有两个不相等的实数根,当a=,b=2时,△=ｂ2﹣4ac=3>0,此时ａx2+ｂｘ+1=0有两个不相等的实数根，当ａ=1，b=1时，△＝b2﹣4aｃ=﹣３＜0,此时ax2+bx+1=0无实数根，当a=１,b＝3时，△＝ｂ2﹣４ａc＝5＞0，此时ax2＋ｂx+1＝0有两个不相等的实数根,当a=１,b=2时，△=b2﹣４aｃ=0,此时ax２+bx+１＝0有两个相等的实数根，∴Ｐ(甲获胜)＝P（△＞０)=>P(乙获胜）=，∴这样的游戏规则对甲有利，不公平.【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率,概率相等就公平，否则就不公平． ２3.（１0分）如图,分别以Ｒt△AＢC的直角边AＣ及斜边AＢ向外作等边△ACD及等边△ABＥ,已知：∠BAC=30°,EＦ⊥AB，垂足为F,连接DF．(1)试说明ＡC=ＥF;（2）求证:四边形ＡDFＥ是平行四边形．【考点】平行四边形的判定；等边三角形的性质.【分析】(1)首先由Rt△ABC中,由∠BAＣ=3０°可以得到ＡB=2BC，又由△AＢＥ是等边三角形，EＦ⊥ＡB,由此得到AE=2ＡF，并且AB=2AF，然后证得△AFE≌△BCA,继而证得结论;（2）根据(1）知道EF＝ＡC，而△AＣD是等边三角形，所以EF=AC=ＡD，并且AＤ⊥AB，而EF⊥AB,由此得到EF∥ＡD,再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形AＤFE是平行四边形.【解答】证明:（１）∵Rt△AＢC中,∠BＡC=３0°，∴ＡB=2ＢC,又∵△ABE是等边三角形，ＥF⊥AB,∴AＢ＝2ＡF∴AF=ＢC,在Rｔ△ＡFE和Rｔ△BＣA中，，∴Rt△AFE≌Rｔ△BCA(HL)，∴AＣ=EF；(2)∵△AＣD是等边三角形，∴∠ＤAC=6０°，AＣ=AD,∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°又∵ＥF⊥AB，∴EF∥AD，∵AC=EF，ＡＣ=ＡD，∴EF=AＤ,∴四边形AＤFE是平行四边形．【点评】此题考查了平行四边形的判定、等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意证得Rｔ△AFE≌Rt△ＢCＡ是关键． ２４.(10分)如图,已知A (﹣4,n),Ｂ (２,﹣４）是一次函数y=kｘ＋ｂ的图象和反比例函数的图象的两个交点;（１)求反比例函数和一次函数的解析式;（2）求直线ＡB与x轴的交点Ｃ的坐标及△AＯB的面积；（3)求不等式的解集（请直接写出答案)．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.【专题】计算题；压轴题；待定系数法．【分析】(1）把Ａ（﹣4,n),B(２，﹣４)分别代入一次函数ｙ=kｘ+b和反比例函数y＝,运用待定系数法分别求其解析式;（２)把三角形AＯＢ的面积看成是三角形AOＣ和三角形OCB的面积之和进行计算;（3)由图象观察函数y=的图象在一次函数ｙ=kｘ＋b图象的上方，对应的x的范围．【解答】解：（１)∵B(２，﹣4）在y=上，∴m＝﹣8．∴反比例函数的解析式为y＝﹣．∵点Ａ(﹣4，n)在y＝﹣上,∴n=2．∴A(﹣４,2)．∵y=ｋx+b经过A（﹣4，2),B（2，﹣4）,∴解之得．.∴一次函数的解析式为y=﹣x﹣2.（2)∵C是直线AB与x轴的交点，∴当y=0时，ｘ=﹣2.∴点C(﹣2，0).∴ＯC=2.∴Ｓ△AOB=Ｓ△ACO+S△ＢCO=×2×2+×2×4=6．（３）不等式的解集为:﹣4＜x<0或x>2.【点评】本题考查了用待定系数法确定反比例函数的比例系数ｋ,求出函数解析式;要能够熟练借助直线和y轴的交点运用分割法求得不规则图形的面积.同时间接考查函数的增减性,从而来解不等式． ２5.(1０分)某商场礼品柜台元旦期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出５0０张,每张盈利0.3元．为了尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低０.1元,那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利１20元，每张贺年卡应降价多少元?【考点】一元二次方程的应用.【专题】经济问题;压轴题.【分析】等量关系为：(原来每张贺年卡盈利﹣降价的价格）×(原来售出的张数+增加的张数)＝１20，把相关数值代入求得正数解即可．【解答】解:设每张贺年卡应降价x元，现在的利润是（０．３﹣x)元，则商城多售出1０0x÷0．1=１000x张.(0．3﹣ｘ)(500+１0０0x)=1２0，解得x１＝﹣0.3(降价不能为负数，不合题意，舍去），ｘ２=0.１．答：每张贺年卡应降价0.1元．【点评】考查一元二次方程的应用；得到每降价x元多卖出的贺年卡张数是解决本题的难点；根据利润得到相应的等量关系是解决本题的关键. ２６．(10分)如图,Ｐ1、Ｐ2是反比例函数(k＞０)在第一象限图象上的两点，点A1的坐标为(２，0)，若△Ｐ1OA1与△Ｐ２A１Ａ２均为等边三角形．(１）求此反比例函数的解析式;（２）求A2点的坐标.【考点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质．【分析】（１)首先作P1B⊥ＯA1于点B,由等边△Ｐ1OA1中,ＯA1=2，可得ＯＢ＝1,Ｐ1Ｂ=解析式；（2）首先作P２Ｃ⊥A１A2于点C,由等边△Ｐ2A１A2,设A1C＝a,可得P２C=＝２+a,然后把P２点坐标（2+a,点的坐标．【解答】解:(１）作P1B⊥OA1于点B，∵等边△P1OA1中，OA1=2,∴OB＝１,P1B＝把P１点坐标（1,解得：∴；,，)代入，)代入,ＯC，继而求得点P1的坐标,然后利用待定系数法即可求得此反比例函数的，继而求得ａ的值,则可求得Ａ2(2）作Ｐ2C⊥A1Ａ2于点C，∵等边△Ｐ２Ａ1A２,设A１C=a，则P2C=,OC=2＋a,）代入，，（舍去),,把P2点坐标(2+ａ,即：解得∴ＯA2＝2+2a=∴A2(，0)．,【点评】此题考查了待定系数法求反比例函数的解析式以及等边三角形的性质.此题难度适中，注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想与方程思想的应用. 27．（1２分)如图,在△ＡBＣ中,ＡＢ＝5,BＣ=3,ＡC＝4,动点E(与点A，Ｃ不重合)在AC边上，EF∥AB交BC于F点.(1)当△ECF的面积与四边形EAＢF的面积相等时,求CE的长;（2）当△ＥCＦ的周长与四边形ＥAＢF的周长相等时,求CE的长；(３)试问在AＢ上是否存在点Ｐ，使得△EFP为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由;若存在，请求出EＦ的长.【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】压轴题.【分析】（１）因为EF∥AB，所以容易想到用相似三角形的面积比等于相似比的平方解题;（２)根据周长相等，建立等量关系,列方程解答；（3)先画出图形,根据图形猜想Ｐ点可能的位置，再找到相似三角形，依据相似三角形的性质解答．【解答】解：（1)∵△ＥＣＦ的面积与四边形ＥABF的面积相等∴Ｓ△ECF:S△ACB=1：2 又∵EF∥AＢ∴△ECＦ∽△AＣB =∵AC=4，∴CE＝;=(２)设CE的长为x∵△ECＦ∽△ＡCB∴=∴CF＝由△ECＦ的周长与四边形EABF的周长相等，得x+EF+ｘ=(４﹣x）＋５+（3﹣x)＋ＥF解得∴CE的长为；（3）△EFP为等腰直角三角形，有两种情况:①如图1,假设∠PEＦ=90°，ＥP=ＥF由AB=５，BＣ=3，ＡC＝４,得∠C=9０°∴Rt△ACB斜边ＡＢ上高CD=设EP=ＥF=x,由△ECF∽△ACＢ，得：=即＝解得ｘ=,即EF=;当∠EFP´=90°，EF=ＦＰ′时,同理可得EＦ=②如图２，假设∠EＰＦ=90°,PE=PF时，点P到EF的距离为EF设ＥF=ｘ，由△ECF∽△ACB,得:＝，即＝解得x=，即ＥF＝或ＥＦ=综上所述，在AB上存在点P,使△ＥFP为等腰直角三角形,此时EF=．【点评】此题考查了相似三角形的性质,有一定的开放性，难点在于作出辅助线就具体情况进行分类讨论.期末试卷（2)一、选择题（每小题3分,共42分)1．（３分）计算a7•（）2的结果是( ）A.aＢ．a5C.ａ6ﻩD．a８2．（3分）要使分式有意义，则x的取值范围是（ ）A.x≠1ﻩB.ｘ＞１C.ｘ＜1D．x≠﹣１3.（3分)下列手机屏幕解锁图案中不是轴对称图形的是（ ）A.ﻩB.ﻩC．ﻩＤ.4.(3分）根据下列已知条件,能唯一画出△AＢC的是( ）=２,BC＝4,AＣ=7B．ＡB=５，BC＝3，∠Ａ＝3０°D.∠C=90°，AB=6,,（ｘ﹣ｙ)中，是分式的共有（ )C．∠Ａ=６０°,∠Ｂ=45°，ＡC=45．(3分)下列各式：，,A.1个ﻩB．2个ﻩＣ．３个ﻩD.4个6.（3分）若(x+３）（x﹣4）=x2＋px+ｑ,那么p、q的值是（ ）A．p=１,q=﹣12Ｂ.p=﹣1，q=﹣１２C．p=7，q＝１２D．p=7,ｑ=﹣１２7.(3分）下列能判定△ABC为等腰三角形的是（ ）A．AＢ＝AC=3，BC=6Ｂ．∠A＝4０°、∠B＝7０°Ｃ．AB＝3、BC＝8，周长为16ﻩD.∠A=４0°、∠B=50°8．（3分)若一个多边形的每一个外角都是40°,则这个多边形是（ )A.六边形ﻩB.八边形ﻩＣ.九边形Ｄ．十边形９．（3分)如图，四边形ABCD中，BC∥AD，ＡB＝ＣD,BE=DF,图中全等三角形的对数是（ ）A．5B.6Ｃ．3ﻩD.4１0．（3分）如图，直线ａ∥b,点B在直线ｂ上，且AB⊥BＣ,∠2＝65°，则∠１的度数为( ）A.６5°B．25°C．35°D．45°11．(3分)已知y2+１０y+ｍ是完全平方式,则ｍ的值是( )Ａ．2５ﻩB．±25C.5ﻩD．±512.（3分)如图，若∠Ａ＝２7°，∠Ｂ=５0°,∠C=38°,则∠BFE等于（ )Ａ．65°B.１15°C．1０5°13．（３分）若分式方程A.﹣2B.0ﻩＣ.1D.2Ｄ．7５°无解，则m的值为（ )14．(3分)若m=2100，n=375，则m,n的大小关系为( ）Ａ.m＞ｎﻩB.m 二、填空题(本大题满16分,每小题4分)１5．(4分)计算:= .１6．(4分)一个矩形的面积为（6ab2＋４a2b)cｍ2,一边长为２abcm，则它的周长为 cm.1７．(4分)等腰三角形一个顶角和一个底角之和是100°,则顶角等于 .18.(4分）下列图形中对称轴最多的是 ． 三、解答题（本大题满分６2分)１9.（10分)计算:（1）(ab2）2•(﹣a3b）３÷（﹣5ａb） （2）[（x+y)2﹣(x﹣y）2］÷（2xｙ）20．(1０分)把下列多项式分解因式：（１）４ｘ２y2﹣４ （2）2pm2﹣1２pm+1８p.21．（１0分)如图,已知△AＢC的三个顶点的坐标分别为：A（﹣2，3）、B(﹣6，0）、Ｃ(﹣1，0).(1)将△ＡBＣ沿y轴翻折,画出翻折后的△A1B1Ｃ１，点A的对应点A１的坐标是 .（2）△ＡBC关于x轴对称的图形△Ａ2B２C2,直接写出点A2的坐标 ．（3）若△DBＣ与△ABＣ全等（点D与点A重合除外），请直接写出满足条件点D的坐标. 2２．（10分)如图,△ＡBC中,AB＝AC，AD⊥ＢＣ，CE⊥AB，AＥ=ＣＥ.求证:（１)△ＡEF≌△ＣEB;(2）AF＝2CD.23．（10分）有两块面积相同的试验田,分别收获蔬菜900kg和1500kg,已知第一块试验田每亩收获蔬菜比第二块少3０0kg，求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克？２4.（12分）(1）如图１,在四边形ABCＤ中，AＢ=AD,∠BAD=１20°,∠Ｂ=∠ADＣ=9０°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠ＥAF=60°，延长ＦＤ到点Ｇ,使DG＝ＢE,连接AG，先证明△ABE≌△ADＧ，再证明△AEＦ≌△AGF，可得线段BE、EF、FＤ之间的数量关系为 ．(2)如图２,在四边形ABＣＤ中，AＢ=AD,∠B+∠D=1８0°,E、Ｆ分别是ＢC、CD上的点,且∠EAＦ=∠BAD，线段BE、EF、ＦD之间存在什么数量关系，为什么？(3)如图3,点A在点Ｏ的北偏西30°处，点B在点O的南偏东70°处，且AＯ＝BO，点Ａ沿正东方向移动2４9米到达Ｅ处,点Ｂ沿北偏东50°方向移动334米到达点Ｆ处,从点O观测到E、F之间的夹角为7０°，根据(２）的结论求E、F之间的距离. 参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分,共42分）1.(3分)计算a7•()2的结果是（ ）Ａ.aﻩB．a5C．ａ6Ｄ．a8【考点】分式的乘除法．【分析】首先利用分式的乘方计算）2,再计算乘法即可．【解答】解:原式=a7•故选：B.【点评】此题主要考查了分式的乘法和乘方,关键是掌握运算顺序,应先把各个分式进行乘方运算,再进行分式的乘除运算,即“先乘方,再乘除”. ２.（3分）要使分式A.x≠1ﻩB.x>1有意义,则ｘ的取值范围是( ）=a５，Ｃ．x＜1ﻩD.x≠﹣１【考点】分式有意义的条件．【分析】分式有意义的条件是分母不等于零.【解答】解:∵分式∴x﹣1≠0.解得：x≠１.故选:Ａ.【点评】本题主要考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 3．(3分）下列手机屏幕解锁图案中不是轴对称图形的是( )有意义，Ａ．B．C．D.【考点】轴对称图形.【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解:A、不是轴对称图形,故本选项正确;B、是轴对称图形,故本选项错误;C、是轴对称图形,故本选项错误；Ｄ、是轴对称图形,故本选项错误．故选A.【点评】本题考查了轴对称图形的概念:轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合． 4.(3分)根据下列已知条件，能唯一画出△ＡBC的是( ）A．AB＝2,BC＝4，AC＝7ﻩ＝5,ＢC=３,∠A=３0°C.∠Ａ＝6０°,∠B=45°,AC=４D．∠C=90°，ＡB=6【考点】全等三角形的判定.【分析】判断是否符合所学的全等三角形的判定定理及三角形的三边关系即可．【解答】解:A、不符合三角形三边之间的关系,不能构成三角形,错误;B、∠Ａ不是已知两边的夹角,无法确定其他角的度数与边的长度，不能画出唯一的三角形，错误;Ｃ、符合全等三角形判定中的AＳA，正确；D、只有一个角和一个边，无法作出一个三角形,错误；故选C．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定及三角形的作图方法等知识点;能画出唯一三角形的条件一定要满足三角形全等的判定方法,不符合判定方法的画出的三角形不唯一． ５.（３分）下列各式:Ａ．1个ﻩＢ．2个ﻩC.3个【考点】分式的定义.,,D．４个,,（x﹣y）中,是分式的共有（ )【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式,如果不含有字母则不是分式.【解答】解:故选:C．【点评】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以分式，是整式. 6.（3分)若（x+３)（x﹣４)=x2＋px+q,那么ｐ、q的值是（ ）A.p=1，ｑ=﹣12ﻩB．p=﹣1，q=﹣１2C．p=7,q=１2ﻩD.p=7，ｑ=﹣1２【考点】多项式乘多项式．【专题】计算题;整式.【分析】已知等式左边利用多项式乘以多项式法则计算,再利用多项式相等的条件求出p与ｑ的值即可．【解答】解:已知等式整理得:x2﹣x﹣１２＝x２+ｐｘ＋ｑ，则p=﹣1，q=﹣12,故选B【点评】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 7．（３分)下列能判定△ABC为等腰三角形的是( )=AC=3，ＢＣ=6ﻩB．∠A＝4０°、∠B=70°Ｃ.AB=3、BC=8,周长为1６ﻩD.∠A=40°、∠Ｂ=50°【考点】等腰三角形的判定.【分析】根据等腰三角形判定,利用三角形内角定理对4个选项逐一进行分析即可得到答案.【解答】解:Ａ、ＡB＝AC=3，BＣ＝6,不能组成三角形，错误;B、∠Ａ=４0°、∠B＝70°，可得∠C=７0°，所以是等腰三角形,正确；C、AB=3、BC=8,周长为１６,ＡC＝16﹣8﹣3=5,不是等腰三角形,错误;不是,，（x﹣y）是分式，Ｄ、∠A=40°、∠B=50°,可得∠C＝9０°，不是等腰三角形，错误;故选B【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理的理解和掌握,解答此题的关键是熟练掌握三角形内角和定理. 8．（3分）若一个多边形的每一个外角都是40°，则这个多边形是( ）Ａ.六边形B.八边形C.九边形ﻩD.十边形【考点】多边形内角与外角.【分析】根据任何多边形的外角和都是360度，利用３60除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．【解答】解：360÷40=９,即这个多边形的边数是9,故选Ｃ．【点评】本题考查多边形的内角和与外角和之间的关系，根据外角和的大小与多边形的边数无关,由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握. 9．(3分)如图，四边形ABCＤ中,ＢC∥AD，AB=CＤ,ＢＥ＝DF，图中全等三角形的对数是( ）Ａ.5ﻩＢ.6Ｃ．３ﻩD．4【考点】全等三角形的判定.【分析】先找出图中所有的三角形，根据直觉判断全等，再根据判定方法寻找条件验证.【解答】解:在四边形ABＣD中，BC∥AD⇒∠ＡBＤ=∠CDB.又AB=CＤ，BD＝ＤB,∴△ＡＢD≌△CDＢ；∠ＡＢD=∠CDB，AＢ=ＣD,又BE=DF⇒△ABE≌△CＤF；ＢE＝DＦ⇒BＦ=DE.∵BＣ=ＤＡ，CF=AE，∴△BCF≌△DAE．故选Ｃ.【点评】本题考查平行四边形的性质和三角形全等的判定方法，做题时要从已知条件开始结合图形利用全等的判定方法由易到难逐个寻找． １0.(3分)如图，直线ａ∥b，点B在直线b上，且AB⊥BＣ，∠2＝６5°，则∠1的度数为（ )A．65°B．25°ﻩC．３5°D.45°【考点】平行线的性质．【专题】探究型．【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数,再由平角的定义即可得出结论．【解答】解：∵直线a∥ｂ,∠2=６５°，∴∠３=∠2=6５°,∵AB⊥BC,∴∠ABＣ=９0°，∴∠１=180°﹣∠３﹣∠ABC=１80°﹣65°﹣９０°=２5°．故选B.【点评】本题考查的是平行线的性质,用到的知识点为:两直线平行,同位角相等． 11.(3分)已知y２+１０ｙ+m是完全平方式，则m的值是( ）A.２５B．±25C．５D．±5【考点】完全平方式．【分析】直接利用完全平方公式求出m的值．【解答】解：∵y２＋10y+ｍ是完全平方式,∴y2+10y＋m=(y+5）2=y2+10y+2５,故m＝2５．故选：A.【点评】此题主要考查了完全平方公式，熟练应用完全平方公式是解题关键． 12.（３分)如图,若∠Ａ＝2７°，∠Ｂ=5０°，∠Ｃ＝３8°,则∠BFＥ等于( ）Ａ．６5°B.1１5°Ｃ．１０5°ﻩＤ.75°【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质.【分析】根据三角形外角的性质,可得∠AEB＝∠A+∠C＝６5°，再根据三角形的内角和定理，求得∠BFE的度数即可.【解答】解：∵∠A=２7°,∠C＝3８°,∴∠ＡEB=∠A＋∠C=65°,∵∠B=5０°,∴△BEF中，∠ＢＦE＝1８０°﹣(65°+50°)＝65°,故选：A．【点评】此题主要考查了三角形外角的性质以及三角形内角和定理,关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 13.（3分)若分式方程A．﹣２ﻩB．0ﻩC.1ﻩD．２【考点】分式方程的解.【专题】计算题;分式方程及应用.【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到x+2=0，求出x的值,代入整式方程即可求出m的值．【解答】解：去分母得:ｘ＝m,由分式方程无解,得到x+2=0，即x＝﹣２,把x=﹣2代入得:ｍ＝﹣2,故选A【点评】此题考查了分式方程的解，将分式方程转化为整式方程是本题的突破点． １4．（３分）若ｍ=2100,n=３７5,则ｍ，ｎ的大小关系为（ ）Ａ.m>nＢ．m 无解，则ｍ的值为（ )二、填空题(本大题满16分，每小题4分)15．(４分）计算:【考点】分式的加减法．【分析】应用同分母分式的加减运算法则求解即可求得答案，注意要化简.【解答】解：故答案为:﹣1.【点评】此题考查了同分母分式的加减运算法则．题目比较简单，解题需细心． 1６.(4分)一个矩形的面积为(６ａb2＋４a2b)cm2，一边长为2aｂcm,则它的周长为 ４ab＋4a+６b cｍ．【考点】整式的除法;单项式乘多项式．【专题】计算题；几何图形问题.【分析】先根据矩形的面积公式求出另一边的长，再根据矩形的周长=2×(长+宽）列式，通过计算即可得出结果．【解答】解:(6ab２+4a2b)÷2ab=３b＋2ａ，2×（2aｂ＋3ｂ+2a）＝4ab＋4a+6b．故答案为:4ab＋4a+6b.【点评】此题考查了多项式除以单项式、单项式乘多项式在实际中的应用．求出矩形的另一边长是解题的关键.用到的知识点:矩形的面积=长×宽,矩形的周长＝2×(长＋宽)．多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 1７.(４分)等腰三角形一个顶角和一个底角之和是1０0°，则顶角等于 2０° ．【考点】等腰三角形的性质．【分析】已知给出了两角的和,可根据三角形内角和定理求出另一个底角，再相==﹣１．= ﹣1 ．减即可求出顶角.【解答】解:依题意得：等腰三角形的顶角和一个底角的和是１00°即它的另一个底角为180°﹣100°=80°∵等腰三角形的底角相等故它的一个顶角等于１00°﹣８0°=20°．故答案为：20°.【点评】本题考查了三角形内角和定理以及等腰三角形的性质;本题思路比较直接，简单，属于基础题. 18.（4分)下列图形中对称轴最多的是 圆 ．【考点】轴对称图形．【分析】直接得出各图形的对称轴条数，进而得出答案.【解答】解:正方形有4条对称轴;长方形有2条对称轴;圆有无数条对称轴；线段有2条对称轴．故对称轴最多的是圆.故答案为:圆．【点评】此题主要考查了轴对称图形,正确得出各图形对称轴条数是解题关键． 三、解答题(本大题满分6２分）1９.(1０分)计算:（1）(ａb２）2•（﹣a3b)3÷(﹣5aｂ) (2)[(x＋y)2﹣（ｘ﹣ｙ)2]÷(２xｙ）【考点】整式的混合运算.【分析】(1)先算乘方，再算乘除即可．（2）先算括号里面的,最后算除法即可． 【解答】解:(1)原式=a2b4•（﹣a９ｂ3）÷（﹣5ab）＝ａ10ｂ6．（2)原式＝[ｘ２＋2xｙ＋y2﹣x2+2ｘy﹣y2]÷2xｙ=4xy÷2xy=2.【点评】本题考查了完全平方公式,整式的混合运算的应用,注意运算顺序． 2０．（10分）把下列多项式分解因式：(１）４x２ｙ２﹣４ (2)２pm2﹣12ｐm＋18p．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【专题】计算题；因式分解．【分析】（１)原式提取4，再利用平方差公式分解即可；（2)原式提取２p，再利用完全平方公式分解即可.【解答】解：(1)原式=4（x2ｙ２﹣1)=４（xy+1)(xy﹣1);(2）原式=2ｐ(ｍ2﹣6m+９)=2p（m﹣3)２．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 21.（10分)如图,已知△AＢC的三个顶点的坐标分别为:A（﹣２,３）、Ｂ(﹣6,０)、Ｃ（﹣１，0).（1）将△ＡBＣ沿y轴翻折，画出翻折后的△Ａ1B1C1,点Ａ的对应点Ａ１的坐标是 （２,3) .（2)△ＡＢC关于x轴对称的图形△Ａ２B2C2，直接写出点A2的坐标 ３) ．（3)若△DＢC与△AＢＣ全等(点D与点Ａ重合除外)，请直接写出满足条件点(﹣３，﹣ D的坐标.【考点】翻折变换(折叠问题）;作图-轴对称变换.【分析】(１）直接利用关于ｙ轴对称点的性质得出对应点位置；（2)直接利用关于ｘ轴对称点的性质得出对应点位置；(3)直接利用全等三角形的判定方法得出对应点位置．【解答】解：(1)翻折后点A的对应点的坐标是：（２，3）;故答案为：（２,３）;（2)如图所示:△A1B1Ｃ1,即为所求，A1（﹣２,﹣３);(3)如图所示:Ｄ（﹣2，﹣3）或(﹣５，3）或(﹣5,﹣3）.【点评】此题主要考查了轴对称变换以及全等三角形的判定与性质,正确得出对应点位置是解题关键． 22.（10分)如图,△AＢC中，ＡＢ=ＡＣ,ＡＤ⊥ＢC，CＥ⊥AＢ,ＡE=CE．求证：(1）△ＡEF≌△CEＢ;(2)AＦ=2ＣD.【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．【专题】证明题.【分析】(1)由AＤ⊥BC，CE⊥AB,易得∠ＡFE=∠B,利用全等三角形的判定得△AEＦ≌△CEB；(2）由全等三角形的性质得AＦ=BC,由等腰三角形的性质“三线合一”得ＢC=２CＤ,等量代换得出结论.【解答】证明：（1）∵AD⊥BＣ，CE⊥AB，∴∠BCE＋∠CFD=90°,∠BＣＥ＋∠Ｂ=９0°，∴∠CFＤ=∠B，∵∠CFＤ＝∠ＡＦE，∴∠AＦＥ=∠B在△AEF与△CＥB中，，∴△ＡEF≌△CEＢ（AAＳ）；（2)∵ＡB=ＡC，ＡＤ⊥BC，∴BC＝２CD，∵△AEF≌△CＥB，∴AＦ=BC,∴AF＝2CD.【点评】本题主要考查了全等三角形性质与判定,等腰三角形的性质,运用等腰三角形的性质是解答此题的关键. 23.（10分）有两块面积相同的试验田，分别收获蔬菜900kg和1500kg，已知第一块试验田每亩收获蔬菜比第二块少3０0kg，求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克?【考点】分式方程的应用．【分析】首先设第一块试验田每亩收获蔬菜x千克,则第二块试验田每亩收获蔬菜(x＋３０0）千克,根据关键语句“有两块面积相同的试验田”可得方程，再解方程即可.【解答】解：设第一块试验田每亩收获蔬菜x千克，由题意得：=，=解得:x＝450,经检验：x=４50是原分式方程的解，答：第一块试验田每亩收获蔬菜45０千克.【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意,抓住题目中的关键语句,列出方程. 24．(12分)（１)如图１,在四边形ABCD中,ＡＢ=AD,∠BAD=１20°,∠Ｂ＝∠ADC=90°，Ｅ、Ｆ分别是BC、CD上的点，且∠ＥAF＝６０°，延长FD到点G,使DG=BE，连接AＧ，先证明△ABＥ≌△ADG，再证明△AEF≌△AＧF，可得线段BＥ、EF、FD之间的数量关系为 EF=BE+DF .（2)如图2,在四边形ABCD中,ＡB=ＡD，∠Ｂ+∠D=180°,E、F分别是BC、CD上的点，且∠ＥAF=∠BAD,线段BE、EＦ、FD之间存在什么数量关系，为什么?(3)如图3，点A在点O的北偏西30°处,点B在点O的南偏东7０°处，且ＡO＝BO,点A沿正东方向移动249米到达E处,点B沿北偏东５０°方向移动３34米到达点F处，从点O观测到E、F之间的夹角为70°,根据(２）的结论求E、F之间的距离.【考点】全等三角形的判定与性质；全等三角形的应用.【分析】（１)根据全等三角形对应边相等解答;(２）延长FD到G，使DG=BE,连接ＡG，根据同角的补角相等求出∠B＝∠ADＧ,然后利用“边角边”证明△ABE和△AＤG全等，根据全等三角形对应边相等可得AE＝AG，∠BAE＝∠DＡG，再求出∠ＥＡＦ=∠ＧAF,然后利用“边角边”证明△AＥＦ和△ＧＡF全等,根据全等三角形对应边相等可得EF=GF,然后求解即可；(3)连接EF,延长AE、BF相交于点C,然后求出∠EＡF＝∠AＯB，判断出符合探索延伸的条件，再根据探索延伸的结论解答即可.【解答】解：（1）ＥF=BE＋DF;证明:如图1，延长FD到Ｇ，使DG=BＥ，连接AG，在△ABE和△ADG中，，∴△ＡBE≌△ADG(SＡＳ）,∴AＥ=AG，∠BAＥ＝∠DAG，∵∠ＥAＦ＝∠BAD,∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠ＤＡＦ=∠BAＤ﹣∠EＡＦ=∠EAF,∴∠EＡＦ=∠GAF,在△AEF和△GAF中,，∴△AＥF≌△GAF(SAS)，∴ＥＦ=FG，∵FG=ＤＧ+DＦ＝BE+ＤF，∴EＦ＝BE+DF;故答案为:EF=BE+DＦ;（２）EF=BE+DＦ仍然成立．证明:如图2,延长FＤ到Ｇ，使ＤＧ＝BE，连接AＧ,∵∠Ｂ+∠ＡDC＝180°，∠AＤC+∠ADＧ=180°,∴∠Ｂ＝∠ＡDＧ,在△ABＥ和△ＡＤG中，，∴△ABE≌△ＡDG（SAS),∴AE=AG,∠BＡE=∠ＤAＧ，∵∠ＥAＦ＝∠ＢAD，∴∠GAＦ=∠DAG+∠DＡF＝∠BAE+∠DAF=∠BＡＤ﹣∠EＡF=∠ＥAF,∴∠EAF=∠GAF,在△AEＦ和△ＧAF中,，∴△AEF≌△GAF(SAS）,∴EＦ＝FG,∵FG=DG+ＤＦ=BＥ+DＦ，∴ＥF＝BE+DＦ；（3)如图3，连接EF，延长ＡＥ、BF相交于点Ｃ,∵∠AＯB＝20°＋9０°+（90°﹣60°）=140°，∠ＥOF=70°,∴∠EOF=∠AOＢ,又∵ＯA=ＯB,∠OAC+∠OBＣ=（90°﹣２０°）+（6０°＋５0°）=180°,∴符合探索延伸中的条件，∴结论EＦ=ＡE+BF成立,即ＥF＝583米．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，读懂问题背景的求解思路，作辅助线构造出全等三角形并两次证明三角形全等是解题的关键，也是本题的难点.
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