2023年12月5日发(作者：重庆高二数学试卷金太阳)
2016 年江苏省常州市中考数学试卷
一、选择题（共
8 小题，每小题 2 分，满分 16 分）
）
D．
）
1．﹣ 2 的绝对值是（
A．﹣ 2 B．2
C．﹣
2．计算 3﹣（﹣ 1）的结果是（
A．﹣ 4 B．﹣ 2 C．2
D．4
）
3．如图所示是一个几何体的三视图，这个几何体的名称是（
A ．圆柱体
B ．三棱锥
C．球体 D ．圆锥体
4．如图，数轴上点 P 对应的数为 p，则数轴上与数﹣
对应的点是（
）
A．点 AB．点 B C．点 C D．点 D
5．如图， 把直角三角板的直角顶点
O 放在破损玻璃镜的圆周上，
）
两直角边与圆弧分别交于点
M 、N ，
量得 OM=8cm ，ON=6cm ，则该圆玻璃镜的半径是（
A ．cm B ． 5cm C． 6cm D ．10cm
6．若 x＞ y，则下列不等式中不一定成立的是（
A ． x+1＞ y+1 B ． 2x＞ 2y
C． ＞
）
22D ．x＞ y
7．已知△ ABC 中， BC=6 ， AC=3 ，CP⊥AB ，垂足为 P，则 CP 的长可能是（
）
A．2
B．4
C．5
D．7
28．已知一次函数 y1=kx +m（ k≠ 0）和二次函数
y2=ax+bx+c（ a≠ 0）的自变量和对应函数值如表：
第1页（共 31页）
x
y1
﹣ 1
0
0
1
2
3
4
5
x
y2
﹣ 1
0
1
﹣ 4
3
0
4
5
）
D ．x＜﹣ 1 或 x＞ 4
当 y2＞ y1 时，自变量 x 的取值范围是（
A ． x＜﹣ 1
B ． x＞ 4 C ．﹣ 1＜ x＜ 4
二、填空题（共
9．化简：﹣
10．若分式
10 小题，每小题
=______．
2 分，满分 20 分）
有意义，则 x 的取值范围是 ______．
3211．分解因式： x﹣ 2x+x=______ ．
12．一个多边形的每个外角都是
60°，则这个多边形边数为 ______．
13．若代数式 x﹣ 5 与 2x ﹣ 1 的值相等，则 x 的值是 ______．
14．在比例尺为 1： 40000 的地图上，某条道路的长为
15．已知正比例函数 y=ax（ a≠ 0）与反比例函数 y=
则另一个交点坐标是 ______．
16．如图，在⊙ O 的内接四边形
7cm，则该道路的实际长度是 ______km ．
（ k≠0）图象的一个交点坐标为（﹣
1，﹣ 1），
ABCD 中，∠ A=70 °，∠ OBC=60 °，则∠ ODC=______ ．
xy17．已知 x、y 满足 2?4=8，当 0≤ x≤ 1 时， y 的取值范围是 ______．
18．如图，△ APB 中， AB=2 ，∠ APB=90 °，在 AB 的同侧作正△ ABD 、正△ APE 和正△ BPC，则四边形 PCDE 面积的最大值是 ______．
第2页（共 31页）
三、解答题（共
10 小题，满分 84 分）
19．先化简，再求值（ x﹣ 1）（ x﹣ 2）﹣（ x+1），其中 x=
2．
20．解方程和不等式组：
（1）
+
=1
（2）
．
21．为了解某市市民晚饭后
1 小时内的生活方式，调查小组设计了
“阅读 ”、 “锻炼 ”、 “看电视 ”和 “其
它 ”四个选项，用随机抽样的方法调查了该市部分市民，并根据调查结果绘制成如下统计图．
根据统计图所提供的信息，解答下列问题：
（ 1）本次共调查了 ______名市民；
（ 2）补全条形统计图；
（
3）该市共有 480 万市民，估计该市市民晚饭后1
22
．一只不透明的袋子中装有
（
1）搅匀后从袋子中任意摸出
（
2）搅匀后从袋子中任意摸出
小时内锻炼的人数．
1 个红球、 1 个黄球和
1 个白球，这些球除颜色外都相同
1 个球，求摸到红球的概率；
1 个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出
1 个球，求两次都
摸到红球的概率．
23．如图，已知△ ABC 中， AB=AC ， BD 、 CE 是高， BD 与 CE 相交于点 O
（ 1）求证： OB=OC ；
（ 2）若∠ ABC=50 °，求∠ BOC 的度数．
第3页（共 31页）
24．某超市销售甲、乙两种糖果，购买
3 千克甲种糖果和 1 千克乙种糖果共需 44 元，购买 1 千克甲
种糖果和 2 千克乙种糖果共需
38 元．
（ 1）求甲、乙两种糖果的价格；
（ 2）若购买甲、乙两种糖果共
25
．如图， 在平面直角坐标系
20
千克，且总价不超过
xOy
y=
中，一次函数
﹣
240
元，问甲种糖果最少购买多少千克？
x 1
x
y
A
B
+
的图象与
轴、
轴分别交于点
、
，
把 Rt△ AOB 绕点 A 顺时针旋转角 α（ 30°＜ α＜ 180°），得到△
AO′B′．（ 1）当 α=60°时，判断点 B 是否在直线 O′B′上，并说明理由；
（ 2）连接 OO′，设 OO ′与 AB 交于点 D ，当 α为何值时，四边形
ADO ′B′是平行四边形？请说明理
由．
26．（ 1）阅读材料：
教材中的问题，如图
1，把 5 个边长为
1 的小正方形组成的十字形纸板剪开，使剪成的若干块能够
5 个小正方形的总面积为
5，
拼成一个大正方形，小明的思考：因为剪拼前后的图形面积相等，且
所以拼成的大正方形边长为
______，故沿虚线 AB 剪开可拼成大正方形的一边，请在图
1 中用虚线
补全剪拼示意图．
（ 2）类比解决：
如图 2，已知边长为 2 的正三角形纸板
ABC ，沿中位线 DE 剪掉△ ADE ，请把纸板剩下的部分 DBCE
剪开，使剪成的若干块能够拼成一个新的正三角形．
① 拼成的正三角形边长为
______；
② 在图 2 中用虚线画出一种剪拼示意图．
（ 3）灵活运用：
如图 3，把一边长为
60cm 的正方形彩纸剪开，用剪成的若干块拼成一个轴对称的风筝，其中∠
BCD=90 °，延长 DC 、 BC 分别与 AB 、 AD 交于点 E、 F，点 E、 F 分别为 AB 、AD 的中点，在线段
AC 和 EF 处用轻质钢丝做成十字形风筝龙骨，在图
3 的正方形中画出一种剪拼示意图，并求出相应
轻质钢丝的总长度．（说明：题中的拼接都是不重叠无缝隙无剩余）
第4页（共 31页）
27．如图， 在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数
2y=x 与二次函数 y=x+bx 的图象相交于 O、A 两点，
点 A（ 3， 3），点 M 为抛物线的顶点．（ 1）求二次函数的表达式；
（ 2）长度为 2
的线段 PQ 在线段 OA （不包括端点）上滑动，分别过点
P、Q 作 x 轴的垂线交抛
物线于点 P1、 Q1，求四边形
PQQ1P1 面积的最大值；
（ 3）直线 OA 上是否存在点 E，使得点 E 关于直线 MA 的对称点
F 满足 S△AOF =S△AOM ？若存在，
求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由．
28．如图，正方形 ABCD 的边长为 1，点 P 在射线 BC 上（异于点
B、 C），直线 AP 与对角线 BD
及射线 DC 分别交于点
F、 Q
（ 1）若 BP=
，求∠ BAP 的度数；
（ 2）若点 P 在线段 BC 上，过点 F 作 FG⊥ CD ，垂足为 G，当△ FGC≌△ QCP 时，求 PC 的长；
（ 3）以 PQ 为直径作⊙ M ．
① 判断 FC 和⊙ M 的位置关系，并说明理由；
② 当直线 BD 与⊙ M 相切时，直接写出
PC 的长．
第5页（共 31页）
第6页（共 31页）
2016 年江苏省常州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共
8 小题，每小题 2 分，满分 16 分）
）
D．
1．﹣ 2 的绝对值是（
A．﹣ 2 B．2
【考点】绝对值．
C．﹣
【分析】根据绝对值的定义，可直接得出﹣
2 的绝对值．
【解答】解： | ﹣ 2| =2．
故选 B．
【点评】本题考查了绝对值的定义，关键是利用了绝对值的性质．
2．计算 3﹣（﹣ 1）的结果是（
）
A．﹣ 4 B．﹣ 2 C．2
D．4
【考点】有理数的减法．
【分析】减去一个数等于加上这个数的相反数，所以
3﹣（﹣ 1） =3+1=4．
【解答】解： 3﹣（﹣ 1） =4，
故答案为： D．
【点评】本题考查了有理数的减法，属于基础题，比较简单；熟练掌握减法法则是做好本题的关键．
3．如图所示是一个几何体的三视图，这个几何体的名称是（
）
A ．圆柱体
B ．三棱锥
C．球体 D ．圆锥体
【考点】由三视图判断几何体．
第7页（共 31页）
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【解答】解：由于主视图和左视图为长方形可得此几何体为柱体，
由俯视图为圆可得为圆柱体．
故选 A．
【点评】本题考查了由三视图来判断几何体，还考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时
也体现了对空间想象能力．
4．如图，数轴上点 P 对应的数为 p，则数轴上与数﹣
对应的点是（
）
A．点 AB．点 B C．点 C D．点 D
【考点】数轴．
【分析】根据图示得到点
【解答】解：如图所示，点
故选： C．
P 所表示的数，然后求得﹣
P 表示的数是
1.5，则﹣
的值即可．
=0.75＞﹣ 1，则数轴上与数﹣
对应的点是 C．
【点评】本题考查了数轴，根据图示得到点
P 所表示的数是解题的关键．
5．如图， 把直角三角板的直角顶点
O 放在破损玻璃镜的圆周上，
）
两直角边与圆弧分别交于点
M 、N ，
量得 OM=8cm ，ON=6cm ，则该圆玻璃镜的半径是（
A ．
cm B ． 5cm C． 6cm D ．10cm
【考点】圆周角定理；勾股定理．
【分析】如图，连接
MN ，根据圆周角定理可以判定
MN 是直径，所以根据勾股定理求得直径，然
后再来求半径即可．
【解答】解：如图，连接
MN ，
∵∠ O=90 °，
第8页（共 31页）
∴ MN 是直径，
又 OM=8cm ， ON=6cm ，
∴ MN=
=
=10 （ cm）．
∴该圆玻璃镜的半径是：
MN=5cm ．
故选： B．
【点评】本题考查了圆周角定理和勾股定理，半圆（或直径）所对的圆周角是直角，
90°的圆周角所
对的弦是直径．
6．若 x＞ y，则下列不等式中不一定成立的是（
A ． x+1＞ y+1 B ． 2x＞ 2y
C． ＞D ．x
【考点】不等式的性质．
）
2＞ 2
y
【分析】根据不等式的基本性质进行判断，不等式的两边加上同一个数，不等号的方向不变；不等
式的两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
【解答】解：（ A ）在不等式 x＞ y 两边都加上 1，不等号的方向不变，故（
A ）正确；
（ B）在不等式 x＞ y 两边都乘上 2，不等号的方向不变，故（
B）正确；
C）正确；
（ C）在不等式 x＞ y 两边都除以 2，不等号的方向不变，故（
22（ D）当 x=1 ， y=﹣ 2 时， x＞ y，但 x＜y，故（ D ）错误．故选（ D）
【点评】本题主要考查了不等式的性质，应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向．
7．已知△ ABC 中， BC=6 ， AC=3 ，CP⊥AB ，垂足为 P，则 CP 的长可能是（
）
A．2
B．4
C．5
D．7
【考点】垂线段最短．
【分析】根据垂线段最短得出结论．
第9页（共 31页）
【解答】解：如图，根据垂线段最短可知：
PC＜ 3，
∴ CP 的长可能是 2，故选 A．
【点评】本题考查了垂线段最短的性质，正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这
条直线所作的垂线段最短；本题是指点 C 到直线 AB 连接的所有线段中， CP 是垂线段，所以最短；在实际问题中涉及线路最短问题时， 其理论依据应从 “两点之间， 线段最短 ”和“垂线段最短 ”这两个中去选择．
28．已知一次函数 y1=kx +m（ k≠ 0）和二次函数
y2=ax+bx+c（ a≠ 0）的自变量和对应函数值如表：
x
﹣ 1
0
0
1
2
3
4
5
y1
x
y2
﹣ 1
0
1
﹣ 4
3
0
4
5
）
D ．x＜﹣ 1 或 x＞ 4
当 y2＞ y1 时，自变量 x 的取值范围是（
A ． x＜﹣ 1
B ． x＞ 4 C ．﹣ 1＜ x＜ 4
【考点】二次函数与不等式（组）．
【分析】先在表格中找出点，用待定系数法求出直线和抛物线的解析式，用
y2＞ y1 建立不等式，求
解不等式即可．
【解答】解：由表可知，（﹣
1，0），（ 0， 1）在直线一次函数
y1=kx +m 的图象上，
∴
，
∴
∴一次函数
y1=x +1，
2由表可知，（﹣ 1， 0），（ 1，﹣ 4），（ 3， 0）在二次函数
y2=ax+bx+c（a≠ 0）的图象上，
第 10 页（共 31 页）
∴
，
∴
∴二次函数
y2=x
2
2x﹣ 3
﹣2﹣2当 y2＞ y1 时，∴ x x﹣ 3＞x+1，∴（ x﹣ 4）（ x+1）＞ 0，
∴ x＞ 4 或 x＜﹣ 1，故选 D
【点评】此题是二次函数和不等式题目，主要考查了待定系数法，解不等式，解本题的关键是求出直线和抛物线的解析式．
二、填空题（共
9．化简：﹣
10 小题，每小题
2 分，满分
20 分）
=
．
【考点】二次根式的加减法．
【分析】先把各根式化为最简二次根式，再根据二次根式的减法进行计算即可．
【解答】解：原式 =2
﹣
=
．
故答案为：．
【点评】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键．
10．若分式
有意义，则
x 的取值范围是
x≠﹣ 1
．
【考点】分式有意义的条件．
【分析】根据分式有意义的条件列出关于
x 的不等式，求出 x 的取值范围即可．
【解答】解：∵分式
有意义，
∴ x+1≠ 0，即 x≠﹣﹣ 1
第 11 页（共 31 页）
故答案为： x≠﹣ 1．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键．
32211．分解因式： x﹣ 2x+x= x（x﹣ 1）
．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】首先提取公因式
x，进而利用完全平方公式分解因式即可．
3222【解答】解： x﹣ 2x+x=x （ x﹣ 2x+1） =x （x﹣ 1） ．
2故答案为： x（ x﹣ 1）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关键．
12．一个多边形的每个外角都是
【考点】多边形内角与外角．
60°，则这个多边形边数为
6
．
【分析】利用外角和除以外角的度数即可得到边数．
【解答】解： 360÷ 60=6．
故这个多边形边数为
6．
故答案为： 6．
【点评】此题主要考查了多边形的外角和，关键是掌握任何多边形的外角和都
360°．
13．若代数式 x﹣ 5 与 2x ﹣ 1 的值相等，则 x 的值是
﹣ 4 ．
【考点】解一元一次方程．
【分析】根据题意列出方程，求出方程的解即可得到
x 的值．
【解答】解：根据题意得：
x﹣ 5=2x﹣ 1，
解得： x= ﹣ 4，
故答案为：﹣ 4
【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．在比例尺为 1： 40000 的地图上，某条道路的长为
7cm，则该道路的实际长度是
2.8 km．
【考点】比例线段．
【分析】根据比例尺
=图上距离：实际距离，依题意列比例式直接求解即可．
第 12 页（共 31 页）
【解答】解：设这条道路的实际长度为
x，则：
，
解得 x=280000cm=2.8km ．
∴这条道路的实际长度为
2.8km ．
故答案为： 2.8
【点评】此题考查比例线段问题，能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的转换．
15．已知正比例函数 y=ax（ a≠ 0）与反比例函数 y=
（ k≠0）图象的一个交点坐标为（﹣
则另一个交点坐标是
（1， 1）
．
1，﹣ 1），
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
【解答】解：∵反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，
∴另一个交点的坐标与点（﹣
1，﹣ 1）关于原点对称，
∴该点的坐标为（ 1，1）．
故答案为：（ 1， 1）．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，要求同学们要熟练掌握关于原点对称的两
个点的坐标的横、纵坐标都互为相反数．
16．如图，在⊙ O 的内接四边形 ABCD 中，∠ A=70 °，∠ OBC=60 °，则∠ ODC= 50° ．
【考点】圆内接四边形的性质．
【分析】根据圆内接四边形的对角互补求得∠ C 的度数，利用圆周角定理求出∠ BOD 的度数，再根据四边形内角和为 360 度即可求出∠ ODC 的度数．【解答】解：∵∠ A=70 °
∴∠ C=180 °﹣∠ A=110 °，
∴∠ BOD=2 ∠ A=140 °，
第 13 页（共 31 页）
∵∠ OBC=60 °，
∴∠ ODC=360 °﹣110°﹣ 140°﹣ 60°=50°，
故答案为： 50°．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补以及圆周角定理是解答
此题的关键．
17．已知 x、y 满足 2 ?4 =8，当 0≤ x≤ 1 时， y 的取值范围是
x y
1≤y≤
．
【考点】解一元一次不等式组；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【分析】首先把已知得到式子的两边化成以
2 为底数的幂的形式，然后得到
x 和 y 的关系，根据 x
的范围求得 y 的范围．
xy【解答】解：∵
2?4=8，
x2yx+2y3∴ 2?2=23
，即 2 =2，
∴ x+2y=3 ．
∴ y=
，
∵ 0≤ x≤ 1，
∴ 1≤ y≤
．
故答案是： 1≤ y≤
．
【点评】本题考查了幂的乘方和同底数的幂的乘法法则，理解幂的运算法则得到
x 和 y 的关系是关
键．
18．如图，△ APB 中， AB=2 ，∠ APB=90 °，在 AB 的同侧作正△ ABD 、正△ APE 和正△ BPC，则四
边形 PCDE 面积的最大值是
1
．
【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
第 14 页（共 31 页）
【分析】先延长
EP 交 BC 于点 F，得出 PF⊥ BC，再判定四边形
CDEP 为平行四边形，根据平行四
边形的性质得出：四边形
22CDEP 的面积 =EP× CF=a× b= ab，最后根据 a +b=4 ，判断
ab 的最大
值即可．
【解答】解：延长
EP交 BC 于点 F，
∵∠ APB=90 °，∠ AOE= ∠BPC=60 °，
∴∠ EPC=150 °，
∴∠ CPF=180 °﹣ 150°=30°，
∴ PF 平分∠ BPC ，又∵ PB=PC ，
∴ PF⊥ BC，
设 Rt△ ABP 中， AP=a， BP=b ，则
CF= CP=
b， a2+b2=22=4，
∵△ APE 和△ ABD 都是等边三角形，
∴ AE=AP ，AD=AB ，∠ EAP= ∠ DAB=60 °，
∴∠ EAD= ∠PAB ，
∴△ EAD ≌△ PAB （ SAS），
∴ ED=PB=CP ，
同理可得：△ APB ≌△ DCB （ SAS），
∴ EP=AP=CP ，
∴四边形 CDEP 是平行四边形，
∴四边形 CDEP 的面积 =EP×CF=a×
b=
ab，
222又∵（ a﹣ b）=a﹣ 2ab+b≥ 0，
22∴ 2ab≤ a+b=4，
∴ ab≤ 1，
即四边形 PCDE 面积的最大值为
1．
故答案为： 1
第 15 页（共 31 页）
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线构造平行四边形的高线．
三、解答题（共
10 小题，满分 84 分）
．
219．先化简，再求值（ x﹣ 1）（ x﹣ 2）﹣（ x+1），其中 x=
【考点】多项式乘多项式．
【分析】根据多项式乘以多项式先化简，再代入求值，即可解答．
2【解答】解：（
x﹣ 1）（ x﹣ 2）﹣（ x+1），
22=x ﹣2x﹣ x+2﹣x﹣ 2x ﹣1
=﹣ 5x+1
当 x= 时，
原式 =﹣ 5× +1
=﹣
．
【点评】本题考查了多项式乘以多项式，解决本题的关键是熟记多项式乘以多项式．
20．解方程和不等式组：
（1）
+
=1
（2）
．
【考点】解分式方程；解一元一次不等式组．
【分析】（ 1）先把分式方程化为整式方程求出
x 的值，再代入最简公分母进行检验即可；
（ 2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解：（ 1）原方程可化为 x﹣ 5=5﹣ 2x，解得 x=，
第 16 页（共 31 页）
把 x=
代入 2x﹣5 得， 2x﹣5=
是原分式方程的解；
﹣ 5=
≠ 0，
故 x=
（ 2）
，由 ① 得， x≤ 2，由 ② 得， x＞﹣ 1，
故不等式组的解为：﹣
1＜ x≤ 2．
【点评】本题考查的是解分式方程，在解答此类题目时要注意验根．
21．为了解某市市民晚饭后
1 小时内的生活方式，调查小组设计了
“阅读 ”、 “锻炼 ”、 “看电视 ”和 “其
它 ”四个选项，用随机抽样的方法调查了该市部分市民，并根据调查结果绘制成如下统计图．
根据统计图所提供的信息，解答下列问题：
（ 1）本次共调查了
2000
名市民；
（ 2）补全条形统计图；
（ 3）该市共有 480 万市民，估计该市市民晚饭后
1 小时内锻炼的人数．
【考点】条形统计图；总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体；扇形统计图．
【分析】 （ 1）根据 “总人数 =看电视人数÷看电视人数所占比例
”即可算出本次共调查了多少名市民；
“锻炼人
（ 2）根据 “其它人数 =总人数×其它人数所占比例
”即可算出晚饭后选择其它的市民数，再用
数 =总人数﹣看电视人数﹣阅读人数﹣其它人数 ”即可算出晚饭后选择锻炼的人数，依此补充完整条形统计图即可；
（ 3）根据 “本市选择锻炼人数 =本市总人数×锻炼人数所占比例 ”即可得出结论．【解答】解：（ 1）本次共调查的人数为： 800÷ 40%=2000 ，
故答案为： 2000．
（ 2）晚饭后选择其它的人数为： 2000× 28%=560 ，
晚饭后选择锻炼的人数为： 2000﹣ 800﹣ 240﹣ 560=400．
第 17 页（共 31 页）
将条形统计图补充完整，如图所示．
（ 3）晚饭后选择锻炼的人数所占的比例为：
400÷2000=20% ，
480× 20%=96 （万）．
该市市民晚饭后
1 小时内锻炼的人数为：
答：该市共有 480 万市民，估计该市市民晚饭后
1 小时内锻炼的人数为 96 万．
【点评】本题考查了条形统计图、扇形统计图以及用样本估计总体，解题的关键是：（
1）根据数量
1 小
关系算出样本容量；（
2）求出选择其它和锻炼的人数；（
3）根据比例关系估算出本市晚饭后
时内锻炼的人数．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，熟练掌握各统计图的有关知识是关键．
22．一只不透明的袋子中装有
1 个红球、 1 个黄球和
1 个白球，这些球除颜色外都相同
1 个球，求摸到红球的概率；
1 个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出
1 个球，求两次都
（ 1）搅匀后从袋子中任意摸出
（ 2）搅匀后从袋子中任意摸出
摸到红球的概率．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】计算题．
【分析】（ 1）直接利用概率公式求解；
（ 2）先利用画树状图展示所有
9 种等可能的结果数，再找出两次都摸到红球的结果数，然后根据概
率公式求解．
【解答】解：（ 1）摸到红球的概率 =
；
（ 2）画树状图为：
共有 9 种等可能的结果数，其中两次都摸到红球的结果数为
1，
所以两次都摸到红球的概率
=
．
第 18 页（共 31 页）
【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出
n，再
从中选出符合事件
A 或 B 的结果数目 m，然后根据概率公式求出事件
A 或 B 的概率．
23．如图，已知△ ABC 中， AB=AC ， BD 、 CE 是高， BD 与 CE 相交于点 O
（ 1）求证： OB=OC ；
（ 2）若∠ ABC=50 °，求∠ BOC 的度数．
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】（ 1）首先根据等腰三角形的性质得到∠ ABC= ∠ACB ，然后利用高线的定义得到∠ ECB= ∠
DBC ，从而得证；
（ 2）首先求出∠ A 的度数，进而求出∠ BOC 的度数．
【解答】（ 1）证明：∵ AB=AC ，
∴∠ ABC= ∠ACB ，
∵ BD 、CE 是△ ABC 的两条高线，
∴∠ DBC= ∠ECB ，
∴ OB=OC ；
（ 2）∵∠ ABC=50 °， AB=AC ，
∴∠ A=180 °﹣2× 50°=80 °，
∴∠ BOC=180 °﹣80°=100 °．
【点评】 本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；
关键是掌握等腰三角形等角对等边．
24．某超市销售甲、乙两种糖果，购买
3 千克甲种糖果和 1 千克乙种糖果共需 44 元，购买 1 千克甲
种糖果和 2 千克乙种糖果共需
38 元．
（ 1）求甲、乙两种糖果的价格；
（ 2）若购买甲、乙两种糖果共
20 千克，且总价不超过
240 元，问甲种糖果最少购买多少千克？
【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．
第 19 页（共 31 页）
【分析】（ 1）设超市甲种糖果每千克需
x 元，乙种糖果每千克需
y 元．根据 “3 千克甲种糖果和
1
38 元 ”列出方程组并解答；
千克乙种糖果共需
44 元，购买 1 千克甲种糖果和 2 千克乙种糖果共需
（ 2）设购买甲种糖果 a 千克，则购买乙种糖果（
20﹣ a）千克，结合
“总价不超过
240 元”列出不等
式，并解答．
【解答】解：（ 1）设超市甲种糖果每千克需
x 元，乙种糖果每千克需 y 元，
依题意得：
，
．
10 元，乙种糖果每千克需 14 元；
解得
答：超市甲种糖果每千克需
（ 2）设购买甲种糖果 a 千克，则购买乙种糖果（ 20﹣ a）千克，依题意得： 10a+14（ 20﹣a）≤ 240，
解得 a≥ 10，
即 a
最小值 =10 ．
答：该顾客混合的糖果中甲种糖果最少10 千克．
【点评】本题考查了一元一次不等式和二元一次方程组的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的数量关系．
25．如图， 在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y= ﹣
x+1 的图象与 x 轴、 y 轴分别交于点
A、B ，
把 Rt△ AOB 绕点 A 顺时针旋转角 α（ 30°＜ α＜ 180°），得到△
AO′B′．（ 1）当 α=60°时，判断点 B 是否在直线 O′B′上，并说明理由；
（ 2）连接 OO′，设 OO ′与 AB 交于点 D ，当 α为何值时，四边形
ADO ′B′是平行四边形？请说明理
由．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；平行四边形的判定；坐标与图形变化
-旋转．
【分析】（ 1）首先证明∠ BAO=30 °，再求出直线
O′B′的解析式即可解决问题．
第 20 页（共 31 页）
（ 2）如图 2 中，当 α=120°时，四边形 ADO ′B′是平行四边形． 只要证明∠ DAO ′=∠ AO ′B′=90°，∠ O′AO=
∠ O′AB ′=30°，即可解决问题．【解答】解；（ 1）如图 1 中，
∵一次函数 y=﹣
x+1 的图象与 x 轴、 y 轴分别交于点
A、∴ A（ ，0）， B（0， 1），
∴ tan∠BAO=，
∴∠ BAO=30 °，AB=2OB=2 ，
∵旋转角为
60°，
∴B′（
，2
）， O′（
，
），
设直线 O′B′解析式为
y=kx +b，
∴，
，解得
，
∴直线 O′B′的解析式为 y=
x+1，
∵ x=0 时， y=1，
∴点 B （ 0， 1）在直线
O′B′上．
（ 2）如图 2 中，当 α=120°时，四边形
ADO ′B′是平行四边形．第 21 页（共 31 页）
，
B
理由：∵ AO=AO ′，∠ OAO ′=120°，∠ BAO=30 °，
∴∠ DAO ′=∠ AO ′B′=90°，∠ O′AO= ∠O′AB ′=30°，
∴ AD ∥ O′B′， DO′∥ AB ′，∴四边形 ADO ′B′是平行四边形．
【点评】本题考查一次函数图象上的点的特征、平行四边形的性质和判定、旋转变换等知识，解题的关键是利用性质不变性解决问题，属于中考常考题型．
26．（ 1）阅读材料：
教材中的问题，如图
1，把 5 个边长为
1 的小正方形组成的十字形纸板剪开，使剪成的若干块能够
5 个小正方形的总面积为
5，
拼成一个大正方形，小明的思考：因为剪拼前后的图形面积相等，且
所以拼成的大正方形边长为
，故沿虚线 AB 剪开可拼成大正方形的一边，请在图
1 中用虚线
补全剪拼示意图．
（ 2）类比解决：
如图 2，已知边长为 2 的正三角形纸板
ABC ，沿中位线 DE 剪掉△ ADE ，请把纸板剩下的部分 DBCE
剪开，使剪成的若干块能够拼成一个新的正三角形．
① 拼成的正三角形边长为
；
② 在图 2 中用虚线画出一种剪拼示意图．
（ 3）灵活运用：
如图 3，把一边长为
60cm 的正方形彩纸剪开，用剪成的若干块拼成一个轴对称的风筝，其中∠
BCD=90 °，延长 DC 、 BC 分别与 AB 、 AD 交于点 E、 F，点 E、 F 分别为 AB 、AD 的中点，在线段
AC 和 EF 处用轻质钢丝做成十字形风筝龙骨，在图
3 的正方形中画出一种剪拼示意图，并求出相应
轻质钢丝的总长度．（说明：题中的拼接都是不重叠无缝隙无剩余）
第 22 页（共 31 页）
【考点】四边形综合题．
【分析】（ 1）依题意补全图形如图
1，利用剪拼前后的图形面积相等，得出大正方形的面积即可；
（ 2） ① 先求出梯形 EDBC 的面积，利用剪拼前后的图形面积相等，结合等边三角形的面积公式即可；
② 依题意补全图形如图
3 所示；
4，根据剪拼的特点，得出
AC 是正方形的对角线，点
E， F 是正方形两
（ 3）依题意补全图形如图
邻边的中点，构成等腰直角三角形，即可．
【解答】解：（ 1）补全图形如图 1 所示，
由剪拼可知， 5 个小正方形的面积之和等于拼成的一个大正方形的面积，
∵ 5 个小正方形的总面积为
5
∴大正方形的面积为
5，
，
∴大正方形的边长为
故答案为：
；
（2）① 如图 2，
第 23 页（共 31 页）
∵边长为 2 的正三角形纸板 ABC ，沿中位线 DE 剪掉△ ADE ，
∴ DE= BC=1， BD=CE=1
过点 D 作 DM ⊥BC，
∵∠ DBM=60 °
∴ DM=
∴S
梯形
，
=
EDBC
DE
BC
DM=
（
+
）×
1 2
（+）×
=
，
由剪拼可知，梯形
EDBC 的面积等于新拼成的等边三角形的面积，
a，
设新等边三角形的边长为
∴
a=
2，
∴ a= 或 a=﹣ （舍），
∴新等边三角形的边长为，
故答案为：；
② 剪拼示意图如图 3 所示，
（ 3）剪拼示意图如图 4 所示，
∵正方形的边长为
60cm，
由剪拼可知， AC 是正方形的对角线，
∴ AC=60cm，
由剪拼可知，点
E，F 分别是正方形的两邻边的中点，
∴ CE=CF=30cm ，
∵∠ ECF=90 °，
根据勾股定理得， EF=30
cm；
第 24 页（共 31 页）
∴轻质钢丝的总长度为
AC +EF=60
+30
=90
cm．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，剪拼的特点，解本题的关键是根据题意补全图形，难点是剪拼新正三角形和筝形．
27．如图， 在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数
2y=x 与二次函数 y=x+bx 的图象相交于 O、A 两点，
点 A（ 3， 3），点 M 为抛物线的顶点．（ 1）求二次函数的表达式；
（ 2）长度为 2
的线段 PQ 在线段 OA （不包括端点）上滑动，分别过点
P、Q 作 x 轴的垂线交抛
物线于点 P1、 Q1，求四边形
PQQ1P1 面积的最大值；
（ 3）直线 OA 上是否存在点 E，使得点 E 关于直线 MA 的对称点
F 满足 S△AOF =S△AOM ？若存在，
求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
2【分析】（ 1）把点 A （ 3，3）代入 y=x +bx 中，即可解决问题．
（ 2）设点 P 在点 Q 的左下方，过点
P 作 PE⊥ QQ1 于点 E，如图 1 所示．设点
P（ m， m）（ 0＜ m
22＜ 1），则 Q（ m+2， m+2）， P1（ m， m﹣ 2m）， Q1（m+2， m+2m），构建二次函数，利用二次函数性质即可解决问题．
（ 3）存在，首先证明 EF 是线段 AM 的中垂线，利用方程组求交点
E 坐标即可．
2【解答】解：（
1）把点 A（ 3， 3）代入 y=x +bx 中，
得： 3=9 +3b，解得： b=﹣ 2，
∴二次函数的表达式为
2y=x ﹣ 2x ．
（ 2）设点 P 在点 Q 的左下方，过点
P 作 PE⊥ QQ1 于点 E，如图 1 所示．
第 25 页（共 31 页） ∵PE⊥ QQ1， QQ
1⊥ x 轴，
∴PE∥ x 轴，
∵直线 OA 的解析式为
y=kx ，
∴∠ QPE=45 °，
∴ PE=PQ=2．
设点 P（ m， m）（ 0＜ m＜ 1），则 Q（ m+2， m+2）， P1（ m， m2﹣ 2m）， Q1m2+2m），∴PP1=3m﹣ m2， QQ1 =2﹣ m2﹣ m，
=
PP QQ
PE=
2m
2
2m
2=
2
∴+
（
1
1） ?
﹣
+
+
﹣
+
，
∴当 m= 时，
取最大值，最大值为
．
（ 3）存在．
如图 2 中，点 E 的对称点为 F， EF 与 AM 交于点 G，连接 OM、 MF 、 AF 、OF．
∵
S△AOF
=S，
△AOM
∴ MF∥OA ，
∵EG=GF，
=
，
∴ AG=GM ，
∵ M （1，﹣ 1）， A （ 3， 3），∴点 G（2， 1），
∵直线 AM 解析式为 y=2x ﹣ 3，
第 26 页（共 31 页）
m+2，
（
∴线段 AM 的中垂线 EF 的解析式为 y= ﹣ x+2，
由
解得
，
∴点 E 坐标为（
，
）．
【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法、平行线的性质、一次函数、面积问题等知识，解题的关键是灵活应用待定系数法确定函数解析式，学会构建二次函数，利用二次函数性质解决最值问题，学会利用方程组求两个函数的交点，属于中考压轴题．
28．如图，正方形 ABCD 的边长为 1，点 P 在射线 BC 上（异于点
B、 C），直线 AP 与对角线 BD
及射线 DC 分别交于点
F、 Q
（ 1）若 BP=
，求∠ BAP 的度数；
（ 2）若点 P 在线段 BC 上，过点 F 作 FG⊥ CD ，垂足为 G，当△ FGC≌△ QCP 时，求 PC 的长；
（ 3）以 PQ 为直径作⊙ M ．
① 判断 FC 和⊙ M 的位置关系，并说明理由；
② 当直线 BD 与⊙ M 相切时，直接写出
PC 的长．
【考点】圆的综合题．
【分析】（ 1）在直角△ ABP 中，利用特殊角的三角函数值求∠
BAP 的度数；
，代入列
（ 2）设 PC=x，根据全等和正方形性质得：
QC=1﹣ x， BP=1﹣ x，由 AB ∥DQ 得
PC 的长；
方程求出 x 的值，因为点 P 在线段 BC 上，所以 x＜1，写出符合条件的
（ 3） ① 如图 2，当点 P 在线段 BC 上时， FC 与⊙ M 相切，只要证明
FC⊥ CM 即可，先根据直角三
角形斜边上的中线得
CM=PM ，则∠ MCP= ∠MPC ，从而可以得出∠
MCP +∠ BAP=90 °，再证明△ ADF
≌△ CDF ，
第 27 页（共 31 页）
得∠ FAD= ∠ FCD，则∠ BAP= ∠ BCF，所以得出∠
MCP +∠ BCF=90 °， FC⊥CM ；
如图 3，当点 P 在线段 BC 的延长线上时，
FC 与⊙ M 相切，同理可得∠
MCD +∠ FCD=90 °，则 FC⊥
CM，FC 与⊙ M 相切；
② 当点 P 在线段 AB 上时，如图
4，设⊙ M 切 BD 于 E，连接 EM 、 MC ，设∠ Q=x ，根据平角 BFD
HN ，得∠ BHP=30 °，在 Rt△ BHP
中求出 BP 的长，则得出 PC=
列方程求出
x 的值，作 AP 的中垂线
1
P
C
BC
﹣ ；当点
在点
的右侧时（即在线段
的延长线上），如图
5
PC=
，同理可得：
1
+ ．
【解答】解：（ 1）∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠ ABP=90 °，
∴ tan∠BAP=
=
=
，
∵ tan30°=，
∴∠ BAP=30 °；
（ 2）如图 1，设 PC=x，则 BP=1 ﹣ x，
∵△ FGC ≌△ QCP，
∴ GC=PC=x ， DG=1 ﹣x，
∵∠ BDC=45 °，∠
FGD=90 °， ∴△ FGD 是等腰直角三角形， ∴ FG=DG=CQ=1
﹣ x，
∵AB ∥DQ，
∴
，
∴
，
∴ x= （ 1﹣ x）2，
解得： x
=
1
x =
1
＞ （舍去），
2
，
∴PC=
；
（ 3） ① 如图 2，当点 P 在线段 BC 上时， FC 与⊙ M 相切，理由是：
取 PQ 的中点 M ，以 M 为圆心，以 PQ 为直径画圆，连接
CM ，
∵∠ PCQ=90 °， PQ 为直径，
∴点 C是圆M 上，
第 28 页（共 31 页）
∵△ PCQ 为直角三角形，
∴ MC=PM ，
∴∠ MCP= ∠MPC ，
∵∠ APB= ∠ MPC ，
∴∠ MCP= ∠APB ，
∵∠ APB +∠ BAP=90 °，
∴∠ MCP +∠ BAP=90 °，
∵ AD=DC ，∠ ADB= ∠CDB ， FD=FD ，
∴△ ADF ≌△ CDF ，
∴∠ FAD= ∠ FCD，
∵∠ BAP +∠ FAD= ∠ BCF+∠ FCD ，
∴∠ BAP= ∠BCF ，
∴∠ MCP +∠
BCF=90 °， ∴
FC⊥CM ，
∴FC 与⊙ M 相切；
如图 3，当点 P 在线段 BC 的延长线上时， FC 与⊙ M 也相切，理由是：
取 PQ 的中点 M ，以 M 为圆心，以
PQ 为直径画圆，连接
CM ，
同理得∠ AQD= ∠ MCQ ，点 C 是圆 M 上，
∵ AD=DC ，∠ BDA= ∠CDB=45 °， DF=DF ，
∴△ ADF ≌△ CDF ，
∴∠ FAD= ∠ FCD， ∵∠
AQD +∠ FAD=90 °， ∴∠
MCD +∠ FCD=90 °，
∴ FC⊥MC ，
∴ FC 与⊙ M 相切；
② 当点 P 在线段 AB 上时，如图
4，
设⊙M 切 BD 于 E，连接 EM、MC，
∴∠ MEF= ∠ MCF=90 °，
∵ ME=MC ，MF=MF ，
∴△ MEF ≌△ MCF ， 第 29 页（共 31 页）
∴∠ QFC= ∠QFE ，
∵∠ BAP= ∠Q= ∠ BCF，
设∠ Q=x ，则∠ BAP= ∠ BCF=x ，∠ QFE= ∠QFC=45 °+x，∠ DFC=45 °+x，
∵∠ QFE +∠ QFC+∠ DFC=180 °，
∴ 3（ 45+x）=180 ，
x=15 ，
∴∠ Q=15 °，
∴∠ BAP=15 °，
作 AP 的中垂线 HN ，交 AB 于 H，交 AP 于 N，
∴ AH=AP ， ∴∠
BHP=30 °，
设 BP=x ，则 HP=2x ，HB= x， ∴
2x+ x=1，
x=2﹣ ，
∴PC=BC ﹣BP=1 ﹣（ 2﹣
） =
﹣1；
当点 P 在点 C 的右侧时（即在线段
BC 的延长线上），如图PC=
1
同理可得：
+
；
综上所述： PC=
﹣
1 或
+1．
第 30 页（共 31 页）5，
【点评】本题是圆的综合题，综合考查了正方形、圆及切线、全等三角形的性质及判定；同时利用
特殊的三角函数值求角的度数，本题还是动点问题，难度较大，尤其是第（
3）问，因为不确定点是在线段 BC 上还是在延长线上，有此情况存在，所以都要分情况进行讨论，从而分别证出结论或
求出 PC 的长．
第 31 页（共 31 页）
P
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