整体思想在高中数学解题中的应用

2024年3月14日发(作者：数学试卷图片已做图)

想方法1

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2021年第3期

中学数学教学参考（下旬>

体思想

在高中数学解题中的应用

王立嘉(广东省惠州市东江高级中学）

摘要：整体思想是指从问题的整体结构和形式出发，整体把握内部各要素之间的关联，从而达到有效解

题和高效教学的一种思维方式。整体思想既能让教师全局性地把握授课内容，也能让学生建立知识框架、

抓住问题本质和提高数学思维能力。因此，探讨整体思想在高中数学解题中的应用尤为重要。

关键词：整体思想；高中数学；解题

文章编号：1002-2171 (2021)3-0037-03

1整体思想

性质，如单调性、最值和奇偶性等，那么学生就可以在

大脑中形成研究一般函数的基本出发点，从而该类型

高中学生在解题过程中常出现无从下手的感觉，

问题便能迎刃而解。

究其原因，除了数学知识掌握不到位之外，往往是由

构建整体思想，学生在解决实际问题时便能找到

于缺乏整体思想，未能整体把握题目的主线.只在零

主线做到有的放矢，然后顺藤摸瓜各个击破。整体思

碎的条件和知识中徘徊不前，这也是解题能力难以得

想覆盖高中数学的各个知识点，是高中数学的重要思

到提升的重要原因。整体思想贯穿了高中数学教学

想，教学中需注重培养学生用整体思想解题的意识和

的整个过程—教师采取从整体辐射到局部的授课

能力。

方式，先让学生整体建构知识框架，再引导学生丰富

解题过程中，我们常用综合法或者分析法构建题

框架内各部分的内容，从而促进学生构建整体思想。

目已知条件和问题的“桥梁”，求解过程中又会专注于

在题目中快速找到问题本质和解题思路，灵活运用所

“支解”各个条件及问题，这样会使一些问题不易求

学知识各个攻破，最终快而准地解出题目。例如，函

解。而整体思想为我们在解题中提供更广阔的“视

数/U)

COS X~TX

在区间[-7C，7T]上的图像大

野”。如题目：若角^满足，

1 — cos a

=5,求i+.

sin

M

a

Sa的

致为（ ）。

值。一般思路是由已知条件得sin a = 5(l — cos a)，

从方程角度出发联立sin2a+C〇s2a = l求解出sina和

cos a的值，最后代入求解。但计算过程烦琐，若用整

体思想将两个式子,

1 —

Sma

cos

a sin a

分别看成一个

整体，观察

1

发

— cos

现

a

.

丄

十

fln

cos

°

a

= 1 (1 + cos a关

该函数不是基本初等函数.对于第一次接触该类

型题目的学生来说可能会无从下手，抓不住问题的核

0)，得到^

sin

^

a

= 5。通过对比两种方法发现，整体

心。但是，教师在讲授函数的基本性质时，如果能先

思想的应用简化了解题过程，减少了计算量，大大提

从整体角度讲解如何研究函数的变化规律即函数的

高了解题效率和准确率。

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期

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2整体思想的应用

整体思想在实际解题应用中的方式多种多样.主

要包括整体换元、整体构造、整体补形和整体代人等，

无论何种方式都是从整体的视角仔细观察、分析和

思考。

2. 1整体换元

整体换元是将题目中的一些量看成一个整体，记

以新的符号元素，将分散的条件联系起来或者将隐藏

的条件呈现出来，将原本的问题转化成熟悉或者易解

的问题，起到化难为易、化繁为简的作用。在三角函

数内容中，如，题@ :求/U^sir^4：^晋)在区间

上的单调递减区间。若从函数/(i) =

sin(4:r + D的图像切人分析，不使用辅助工具，直接

用笔手动作出图像进而分析在指定区间上的单调性

显然是有困难的’但是用整体思想将〇+晋看成一

个整体，令？ = 4x+-|■，原问题转换成“求;y = sirW，？6

-f，穿]的单调区间”。显然，函数j==sini的图像

我们是非常熟悉的，这样结合图像求单调性问题便能

快速解决。整体换元法将一个陌生的问题转换成我

们熟悉的问题，为我们的解题开拓新的思路。

进一步，用同样的方法对该题的变式，求/Cr) =

Sin(4：c+晋）在区间[—晋，子]上的单调递增区间、

最值我们都能求解。同时，对于函数/(：r)=ASin (axr+

在某个区间求解相关问题的这一类题型我们

都能轻松解决，如，2018年高考数学全国卷n理科第

10 题：若 /(I) = cos :r —sin I 在区间[ — <2,a]上是减

函数，则a的最大值是（ ）。

A. +

4

B•吾

2

C.孕

4

D. 7r

当然，在换元的过程中要特别注意等价性及所换

元的取值范围。

2.2整体构造

整体构造是通过挖掘题目的隐藏条件，观察式子

的结构特征，用整体构造的方法转变成新的式子和问

r

2

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题进而求解。整体构造需要仔细观察题目条件.特别

是一些条件之间的联系、条件与已学知识之间的联系

等。教材中等比数列求和公式的推导过程就是很好

的例子，对于等比数列}的前r?项和5„=〜+七+

a3 +…+a„，由通项公式得

Sn=ai -^-a^q + a^q2 H-------hqy-10

①

两边同乘公比得

qSn

=

axq

-~

ax(f

H

----

hqf

0

②

①式减去②式得到（1 一g)S„ = ^ — aw”，化简得

敗1，9= 1 〇

在此过程中，把原等式看成一个整体，通过原等

式两边同乘公比g整体构造出另一个式子，减去相同

的项，巧妙地求出等比数列的求和公式。

整体构造大大提高了题目求解的效率，数学问题

常常用到此方法。例如，求:r + ^^(x> —2)的最

值，将;r + 2(i+2>0)看成一个整体，通过构造得

+ 2 + ^ —2U>_2)，再用基本不等式求解。

2.3整体补形

高中立体几何的学习需要较好的空间想象能力

和逻辑思维能力，学生学习起来较为吃力，不能还原

出立体几何图形，找不到相关的线、面及位置关系等。

整体补形能帮助学生快速找到解题切人口。

在三视图还原的相关题目中，当三视图不易还原

成立体几何图形时，可以将其整体补形成我们熟悉的

几何体再用切割等方法处理。如图1还原该三视图，

显然直接还原是有困难的，可以整体补形，将三视图

均补成一个正方形，再利用三视图中的虚实线等进行

切割构图，最终还原成三棱锥（如图2)。在三视图还

原中，整体补形往往是很好的工具，为我们打开求解

的大门。

中

小

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整体补形在立体几何中的应用大大提高了我们

的解题效率，在求解立体几何外接球类型题时亦是如

此。常见的长方体、圆锥和圆柱等我们很容易直接构

造出其外接球，但是其他的几何体却未必，如求解对

棱相等的三棱锥的外接球等。但是，我们可以利用长

方体对棱相等的特征，将此三棱锥整体补形成长方

体，这就将原三棱锥外接球问题转化成我们熟悉的长

方体外接球问题。当然我们需要注意原图形的所有

顶点都在补形后的图形的顶点上。

2.4整体代入

整体代人是指将原条件中的式子看成一个整体，

直接或者间接应用所求的式子进行求解的一种方法。

整体代人可以避免常规化的烦琐计算，灵活应用题目

条件中的式子作为“跳板”达到快速求解的目的。如，

题目：已知长方体面积为11，所有棱长之和为24,求

该长方体对角线的长度。可以设长方体的长、宽、高

分别为 a，6，c。由条件得 2(a6+ac+6c) = ll 及 4(a+6+

c) = 24,求对角线长度vV+62+c2,按照常规思

路联立条件中两个等式求解出再将其代人待

求式显然难以完成。若将条件中的两个式子分别看

成一个整体，则 d

=

vV+62+c2 =

v\"(a + 6+c)2-2(a6+ac+6c)=50 此过程中将题目

式子整体代人求解为我们解题开辟了一个新天地。

整体代人常常应用在数学解题过程中，常见的有解析

几何求解中“设而不求”的方法，由方程的韦达定理得

到两根之和而+x2与两根之积，所求式子由上

述两个式子整体代人求解,避开了每个元素求解的烦琐

过程，如 d+jJ = 〇1 +：C2)2 — ZjTiXz，i i

X Xi X J

土了二，

〇

2

等等。

因此，整体思想在高中数学解题中起着至关重要

的作用。在教学过程中，教师需要合理地渗透整体思

想，使学生熟练地运用整体思想构建知识框架，进而

提高数学解题的效率。

(上接第29页）

次教学是笔者基于核心素养的一次大胆改革，侧重以

对话的形式展开教学，更重视细节上的处理，在一问

一答中深化知识理解，训练学生的思维能力，发展数

学抽象和逻辑推理素养。这种改变不是随心所欲的，

而是建立在对课标的完全解读、对教材的透彻分析及

对学生能力全面了解的基础上。创新点主要体现在

以下几个方面：

(1)放弃了以生活情境抽象出定义的做法。

在小学，学生对“平行四边形”已有初步的认识，

本节课的内容是对小学内容的深化，所以教学应该

有别于其他新内容的教授。课程内容设计应建立在

学生已有的知识和经验之上，学生对于生活中存在

的平行四边形并不陌生，课堂伊始若还是以生活实

例引人，多少会有些“多余”的感觉。所以第二次教

学，笔者让学生根据小学的认识，画一个平行四边

形，并对比、归纳出平行四边形的定义。之前以生活

情境引人多考虑发展学生从现实生活抽象数学图形

的能力，但平行四边形不像方程、函数这类概念。平

行四边形属于平面几何内容，应主要发展学生的逻

辑推理素养，并在定义的深度分析中发展数学抽象

素养。

(2)第二次教学把重点放在定义的深入理解和分

析上。

平行四边形的定义就是简单的一句话，很少有教

师在定义上花时间进行研究，更多的时间用于性质的

探究和证明。笔者的第一次教学也是基于这样的教

学设计，但是第二次教学，笔者通过一问一答的方式，

让学生加深对定义的理解，整个教学围绕平行四边形

的定义展开，从平行四边形的定义出发，突出体现发

现和推理论证性质的过程。同时也为第二节“判定方

法”的教学提供了方向。这是一个更具有“几何味”的

探究过程，我们不能把平面几何的教学上成代数课的

“味道”。

当然，教学时刻需要改进，我们可以将第一次教

学和第二次教学再次融合，寻找更适合学生的呈现方

式，既可以凸显教学的宏观把控，又能真正落实核心

素养，这是我们一线教师需要努力的方向。