全国中学生数学建模竞赛

2024年3月19日发(作者：数学试卷签字在哪签)

函数的探究与学习

全国中学生数学建模竞赛论文

论文题目： 函数的探究与学习

学 校： 西 安 中 学

年 级： 高 二 年 级

姓

年2月5日

2013

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函数的探究与学习

函数的探究与学习

摘要

从初中数学到中学数学，实际上是由具体的、粗浅的数学结构上升到了严谨的

公理化体系的论述，由形象思维上升到抽象思维，由特殊到一般，由简单到复杂，

由低级到高级的一个过程。而在这一过程中函数却一直是我们的学习重点。领悟

到这一点，再结合初中数学的相关知识去学中学数学，就不会觉得艰涩难懂。站

在中学数学的角度来看初中数学的某些问题就会更深刻、更全

面。而函数作为数学学习的重点 以及它在日常生活工作中的重要应用恰恰为

我们提供了这样的一个平台和桥梁。所以

关键字：函数的对称性；单调性、最值与图像；对称性；定义域；奇偶性；周

期性

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函数的探究与学习

绪论

函数是初中和中学数学学习的主线，是数学学习的核心内容，也是数学初级教

育的基础。函数的性质是竞赛和高考的重点与热点,无论是在学习中还是在日常

生活中,函数的应用都与我们密切相关,而函数的对称性及其相关性质的应用更是

在我们的生活应用中的得到了具体的应用.例如桥梁工程,建筑工程等等.函数的

对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之

中，而且可以利用其解决日常生活中的各种问题.所以

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函数的探究与学习

一 二次函数概念浅析

在初中教材中，对函数特别是二次函数作了较详细的研究学习，由于初中阶段

学生掌握的数学知识比较少再加之学生基础薄弱， 所以其接受能力受到了限制，

进入中学以后，由于各方面的学习和要求，学生的数学学习能力有了很大的提高，

特别是函数部分（二次函数），但是就各方面的学习而言，二次函数仍然是该阶

段数学学习的重点，本章我们就函数的基本概念及常识作以介绍，帮助我们更好

的学好中学函数。

在初中阶段我们已经已经知道了狭义的函数概念，进入中学后在学习集合的基

础上又学习了映射本章我们就接着集合的概念来进一步理解函数，阐明函数。我

们知道二次函数是从一个集合A（定义域）到另一个集合B（值域）上的映射：

A—>B,使的集合B中的元素Y=aX2+bX+c(a不为0)与集合A中的元素X对

应，记作（X）=aX2+bX+c(a不为0)表示对应法则。又表示定义域中的元素 X

在值域中的像，从而使我们进一步的理解好函数，学好函数特别是二次函数。

例如如下问题：

类型一：已知（x）=2x2+2+x，求（x+1）

这里就不能把（x+1）理解为x=x+1的值，只能理解为自变量为x+1的函数值

类型二：设（x+1）=x2-4x+1 求（x）

这个问题可以理解为已知对应法则（x+1）=x2-4x+1下，定义域中的元素x+1

的象是x2-4x+1,求定义域中的元素x的象，其本质是求对应法则。

一般有两种方法：

（1） 把所给表达式表示成x+1的多项式

（x+1）=x2-4x+1=(x+1)2-6(x+1)+6,再用x+1代x得（x）=x2-6x+6

(2) 变量代换：它的适应性强，对一般函数都可适用。

令t=x+1，则x=t-1,所以（t）=(t-1)2-4(t-1)+1=t2-6t+6,所以

(x)=x2-6x+6。

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函数的探究与学习

二 二次函数的单调性、最值与图像

我们知道二次函数的单调性、最值与图像是一个严密的理论体系，三者之间关

系密贴，所以我们必须在严密理论的基础上对其进行严密的论证，与此同时，利

用函数图象的直观性更有助于我们学习二次函数。

类型三：设(x）=x2-2x-1在[t,t=1]上的最小值是g（t）。

求g(t)并画出g(t)图像。

解：(x）=x2-2x-1=(x-1)2-2在x=1时有最小值-2

当1<-[t,t+1]即t在0和1之间变化时,g(t)=-2

当t>1时，g（t）=t2-2t-1

当t<0时 ,g（t）=t2-2 -2 （0=<t<=1