高等数学(同济第七版下)课后习题及解答

2023年12月17日发(作者：六上北师大版数学试卷)

1.设u=a-b+2c，v=-a+3b-c.试用a，b，c表示2u-3v.解2u-3v=2（a-b+2c）-3（-a+3b-c）=5a-11b+7c.2.如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形.证如图8-1，设四边形ABCD中AC与BD交于M，已知AM=MC，DM故MCDMDC.即AB//DC且｜AB|=|DC|，因此四边形ABCD是平行四边形．3.把△ABC的BC边五等分，设分点依次为分点与点A连接.试以AB=c,BC=a表向量证如图8-2，根据题意知D1，D2，D3，D4，再把各4D1A,D2A,D3A,DA.1515BD1D3D415a,15a,D1D2a,D2D3a,故D1A=-（AB1BD1）=-a-c52D2A=-（ABBD2）=-a-c53D3A=-（ABBD3）=-a-c54DA=-（ABBD4）=-a-c.544.已知两点M1（0，1，2）和M2（1，-1，0）.试用坐标表示式表示向量M1M2及-2M1M2.解M1M2=（1-0，-1-1，0-2）=（1，-2，-2）.-2M1M2=-2（1，-2，-2）=（-2，4，4）.5.求平行于向量a=（6，7，-6）的单位向量.解向量a的单位向量为aa，故平行向量a的单位向量为aa其中=111（6，7，-6）=676,,1111112，a6272(6)11.6.在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？A（1，-2，3），B（2，3，-4），C（2，-3，-4），D（-2，-3，1）.解A点在第四卦限，B点在第五卦限，C点在第八卦限，D点在第三卦限.7.在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置：A（3，4，0），B（0，4，3），C（3，0，0），D（0，-1，0）.解在坐标面上的点的坐标，其特征是表示坐标的三个有序数中至少有一个为零，比如xOy面上的点的坐标为（x0，y0，0），xOz面上的点的坐标为（x0，0，z0），yOz面上的点的坐标为（0，y0，z0）.在坐标轴上的点的坐标，其特征是表示坐标的三个有序数中至少有两个为零，比如x轴上的点的坐标为（x0，0，0），y轴上的点的坐标为（0，y0，0），z轴上的点的坐标为（0，0，z0）.A点在xOy面上，B点在yOz面上，C点在x轴上，D点在y轴上.8.求点（a，b，c）关于（1）各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标原点的对称点的坐标.解（1）点（a，b，c）关于xOy面的对称点（a，b，-c），为关于yOz面的对称点为（-a，b，c），关于zOx面的对称点为（a，-b，c）.（2）点（a，b，c）关于x轴的对称点为（a，-b，-c），关于y轴的对称点为（-a，b，-c），关于z轴的对称点为（-a，-b，c）.（3）点（a，b，c）关于坐标原点的对称点是（-a，-b，-c）.分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出各9.自点P0x0，y0，z0（）垂足的坐标.解设空间直角坐标系如图8-3，根据题意，P0F为点P0关于xOzP0关于xOy面的垂面的垂线，垂足F坐标为线，垂足D坐标为；P0D为点(x0，0，z0）(x0，y0，0）；P0E为点P0关于yOz面的垂线，垂足E坐标为(0，y0，zo).；P0B为点P0A为点P0关于x轴的垂线，垂足A坐标为(xo，0,0）P0关于y轴的垂线，垂足B坐标为垂线，垂足C坐标为(0,0,z0).(0,y0,0)；P0C为点P0关于z轴的分别作平行于z轴的直线和平行于xOy面的10.过点P0x0，y0，z0）（平面，问在它们上面的点的坐标各有什么特点？解如图8-4，过P0且平行于z轴的直线l上的点的坐标，其特.点是，它们的横坐标均相同，纵坐标也均相同而过点P0且平行于xOy面的平面它们的竖坐标均相同.上的点的坐标，其特点是，11.一边长为a的正方体放置在xOy面上，其底面的中心在坐标原点，底面的顶点在x轴和y轴上，求它各顶点的坐标.解如图8-5，已知AB=a，故OA=OB=22a，于是各顶点的坐22，Da，0，0）标分别为A(（0，-220，0)，B（(0,a，2222），C（-a，0）22a，0），E（22a，0，a），F（0，22a，a），G（-22a，0，a），H（0，-a，a）.12.求点M（4，-3，5）到各坐标轴的距离.解点M到x轴的距离为d1=(3)25234，点M到y轴的距离为d2=d3=425241，点M到z轴的距离为42(3)2255.13.在yOz面上，求与三点A（3，1，2），B（4，-2，-2），C（0，5，1）等距离的点.解所求点在yOz面上，不妨设为P（0，y，z），点P与三点A，B，C等距离，PA(y232)22(y1)22(z2),2PBPC42(z2),2(y5)(z1).由PA32PB(y1)5)2222PC知，(z2)2242(y2)2(z2)2(y即(z1)，(z(z2)2)2299(y1)(y1)16(y(y5)22)2(z22),2(z1).解上述方程组，得y=1，z=-2.故所求点坐标为（0，1，-2）.14.试证明以三点A（4，1，9），B（10，-1，6），C（2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形.证由ABACBC知形.(104)(24)2(11)(41)22(69)(39)227,7,2(210)22(41)22(36)229872ABAC及BCABAC.故△ABC为等腰直角三角15.设已知两点为M1（4，的模、方向余弦和方向角.解向量，M2（3，0，2），计算向量M1M22，1）M1M2其模=（3-4，0-2，2，2-1）=（-1，-2，-1）22M1M2（-1）（-2）142.其方向余弦分别为cos=-方向角分别为12，cos=-22，cos=12..=0；（2）cos=1；（3）2,33,431）cos16.设向量的方向余弦分别满足（cos=cos解yOz面.（2）由cos（3）由cos=1得知=cos=0，问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？=0得知，故向量与x轴垂直，平行于（1）由cos2=0，故向量与y轴同向，垂直于xOz面.，故向量垂直于x轴和y轴，=0知2即与z轴平行，垂直于xOy面.17.设向量r的模是4，它与u轴的夹角为解已知｜r|=4，则Prjur=|r|cos，求r在u轴上的投影.3=4?cos3=4×=2.1218.一向量的终点在点B（2，-1，7），它在x轴、y轴和z轴上的投影依次为4，-4和7，求这向量的起点A的坐标.解设A点坐标为（x，y，z），则，AB=（2-x，-1-y，7-z）由题意知2-x=4，-1-y=-4，7-z=7，故x=-2，y=3，z=0，因此A点坐标为（-2，-3，0）.19.设m=3i+4j+8k，n=2i-4j-7k和p=5i+j-4k.求向量a=4m+3n-p在x轴上的投影及在y轴上的分向量.解a=4m+3n-p=4（3i+5j+8k）+3（2i-4j-7k）-（5i+j-4k）=13i+7j+15k，a在x轴上的投影为13，在y轴上的分向量为7j.1.设a（1）a余弦.解3ij2k,bi2jk，求b及ab；（-2a）3b及a2b；（2）（3）a,b的夹角的（1）ab（3，-1，-2）（1,2，-1）31（-1）2（-2）（-1）3，ij12k2=（5,1,7）.1ab31（2）(2a)3b2(ab)abab36(ab)2(5,1,7)3263(10,2,14)18a2b（3cos(a,b)3(1)32212(2)21222(1)21462.设a,b,c为单位向量，满足解故（a即已知abc1,abc0,求abbc0,）（a2c）0.a2bc22ab2bc12（a2b22ca20.因此32abbccac）-3.已知M1（1，-1，2），M2（3,3,1）M3（3,1,3）.求与同时垂直的单位向量.解M1M2,M2M3M1M2=（3-1,3-（-1）,1-2）=（2，4，-1）M2M3=（3-3,1-3,3-1）=（0，-2，2）由于取为M1M2M2M3与M1M2,M2M3同时垂直，故所求向量可（M1M2M1M2iM2M3）M2M3j422a，k1=（6，-4，-4），22由M1M2M2M3=20M1M2知aM2M316(4)((4),2268,217).217217(6,4,4)317174.设质量为100kg的物体从点M1（3,1,8）沿直线移动到点M2（1,4,2），计算重力所作的功（坐标系长度单位为解m，重力方向为z轴负方向）.M1M2=（1-3,4-1,2-8）=（-2，3，-6）F=（0,0，-100×9.8）=（0,0，-980）（-2,3，-6）=5880（J）.W=F?M1M2=（0,0，-980）?5.在杠杆上支点O的一侧与点O的距离为x1的点P1处，有一与成角1的力OP1F1作用着；在O的另一侧与点O的距离为x2的点P2处，2的力有一与OP2成角（图8-6），问F2作用着x2，1x1，1，2，F,F2符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡？解如图8-6，已知有固定转轴的物体的平衡条件是力矩的代数和为零，又由对力矩正负符号的规定可得杠杆保持平衡的条件为F1x1sin即11F2x2sinF2x2sin220，.F1x1sin6.求向量解7.设aa（4，-3,4））在向量b（2,2,1上的投影．Prjbaabb(4,3,4)(2,2,1)226322122.(3,5,2),bb与z轴垂直？(2,1,4)，问与有怎样的关系，能使a解ab=（3,5，-2）＋（2,1,4）=（3要2,5aa,2b）4）．ab与z轴垂直，即要（（（0,0,1），即b）?（0，0,1）=0，4时能使）?（0,0,1）=0，亦即故（（32,5）=0，因此,2224ab与z轴垂直．8.试用向量证明直径所对的圆周角是直角．证只要证明如图8-7，设AB是圆O的直径，C点在圆周上，要证∠ACB=，2ACBC0即可.由ACBC=(AOOC)(BOOC)=AO=故,∠ACB为直角．9.已知向量（1）(a解a2i3jk,b（2）(aij3k和ci2j，计算：b)cb)c(ac)b（1）ab)(bc)8，8，（3）(ab(2,3,1)(1,1,3)(2,3,1)(1,2,0)ac(ab)c(ac)b8(1,2,0)8i（2）a8(1,1,3)(0,8,24)24k.b=（2，-3,1）+（1，-1,3）=（3，-4,4），）+（1，-2,0）=（2，-3,3），bc=（1，-1,3ij43k43(ab)(bc)32(0,1,1)jk.2（3）(a31132.20b)c1110.已知OA解i3k,OBj3k，求△OAB的面积．由向量积的几何意义知1S=OAOB，2△OABiOAOB1j0k332(3,3,1)，01OAOB11.已知a(3)2(3)119(ax,ay,az),b(bx,by,bz),c2(cx,cy,cz)，试利用S△OAB19行列式的性质证明：(ab)c(bc)aaxaybycy(ca)bazbz,(bc)aczbxcxaxbycyaybzczaz证因为(ab)cbxcxcx(ca)baxbx而由行列式的性质知cyaybyczaz，bzaxbxcxaybycyazbzczbxcxaxbycyaybzczazcx=axcyaybyczazbz，故bx(ab)c(bc)a(ca)b.12.试用向量证明不等式：a12a2a2a32b12b22b32a1b1a2b2a3b3，其中a1,a2,a3,b1,b2,b3为任意实数.并指出等号成立的条件．证由a设向量（a1,a2,a3），b（b1,b2,b3）．babcos(a,b)a2b2a3b3a1ab，从而2a1b1a22a32b12b22b3，2当a1,a2,a3与b1,b2,b3成比例，即a1b1a2b2a3b3时，上述等式成立．1.求过点（3,0，-1）且与平面程.解所求平面与已知平面3x7y3x7y5z125z120平行的平面方0平行.因此所求平面的法向量可取为n=（3，-7，5），设所求平面为3x7y5zD0.将点（3，0，-1）代入上式得D=-4.故所求平面方程为3x7y5z40.M0的线段OM0垂2.求过点M0（2，9，-6）且与连接坐标原点及点直的平面方程.解OM0(2,9,6）.所求平面与OM0垂直，可取2x9y6zD0.n=OM0，设所求平面方程为将点M0（2，9，-6）代入上式得D=-121.故所求平面方程为2x9y6z1210.3.求过（1，1，-1），（-2，-2，2）和（1，-1，2）三点的平面方程.x1解由y111z10，得x3y21112121212z0，即为所求平面方程.注设M（x,y,z）为平面上任意一点，Mi(xi,yi,zi)(i0,即1,2,3)为平面上已知点.由M1M(M1M2M1M3)xx2x3x1x1x1yy2y3y1y1y1zz2z3z1z1z10,它就表示过已知三点Mi（i=1,2,3）的平面方程.4.指出下列各平面的特殊位置，并画出各平面：（1）x=0;（3）2x-3y-6=0;（5）y+z=1;（7）6x+5y-z=0.解（1）—（7）的平面分别如图8—8（a）—（g）.（2）3y-1=0;（4）x-3y=0;（6）x-2z=0;（1）x=0表示yOz坐标面.（2）3y-1=0表示过点（0,,0）且与31y轴垂直的平面.（3）2x-3y-6=0表示与z轴平行的平面.（4）x-3y=0表示过z轴的平面.（5）y+z=1表示平行于x轴的平面.（6）x-2z=0表示过y轴的平面.（7）6x+5y-z=0表示过原点的平面.5.求平面解2x2yz50与各坐标面的夹角的余弦.xOy，平面的法向量为n=（2，-2，1），设平面与三个坐标面1yOz，zOx的夹角分别为,2,3.则根据平面的方向余弦知cos1cosnknknininjnj(2,2,1)(0,0,1)22(2)21123,21,3cos2cos(2,2,1)(1,0,0)31(2,2,1)(0,1,0)31cos3cos23.6.一平面过点（1，0，-1）且平行于向量试求这个平面方程.解所求平面平行于向量a(2,1,1)和b(1,1,0)，a和b，可取平面的法向量k1(1,1,3).inab21j110故所求平面为1(x1)1(y0)xy3z40.z1,2xy3(z1)0，即7.求三平面交点.解x3yz0,x2y2z3的联立三平面方程x2xx解此方程组得3yy2y1,zz1,z0,2z3.1，-1，3）.x1,y3.故所求交点为（8.分别按下列条件求平面方程：（1）平行于xOz面且经过点（2，-5，3）；（2）通过z轴和点（-3，1，-2）；（3）平行于x轴且经过两点（4，0，-2）和（5，1，7）.解（1）所求平面平行于xOz面，故设所求平面方程为ByD0.将点（2，-5，3）代入，得5BD0，即D5B.因此所求平面方程为By5B0，即0.将点（-3，1，（2）所求平面过z轴，故设所求平面为-2）代入，得3A因此所求平面方程为B0，即3Ay0，即x3y0.（3）所求平面平行于x轴，故设所求平面方程为ByCzD0.将点（4，0，-2）及（5，1，7）分别代入方程得2CD0及2,B92D.因此，所求平面方程为92DyD2zD0，即9yz20.9.求点（1,2,1）到平面x2y2z100的距离.解利用点M0(x0,yo,zo)到平面AxByCz的距离公式dAx0By0Cz0DA2B2C2122211.0D1.求过点（4，-1，3）且平行于直线解x32y1z1的直线方程.5所求直线与已知直线平行，故所求直线的方向向量s(2,1,5)，直线方程即为x422.求过两点解y1z315M1(3,2,1)和M2(1,0,2)的直线方程..取所求直线的方向向量sM1M2(13,0(2),21)x34y2yyzz1,4.2z11(4,2,1)，因此所求直线方程为.3.用对称式方程及参数方程表示直线x2x解根据题意可知已知直线的方向向量is12j1k111yyzz1,4.解得(2,1,3).取x=0，代入直线方程得y32,z52.这35样就得到直线经过的一点（0,,）.因此直线的对称式方程为22x02参数方程为y1xyz32z352.2t,3t,253t.2.注由于所取的直线上的点可以不同，因此所得到的直线对称式方程或参数方程得表达式也可以是不同的4.求过点（2，0，-3）且与直线x3x垂直的平面方程.解2y5y4z70,02z1根据题意，所求平面的法向量可取已知直线的方向向量，即ins13故所求平面方程为j25k42(16,14,11),16(x2)14(y0)11(z3)16x14y11z650.2x3x2y8yz0.即5.求直线5x3x3y2y3z900,z1与直线230,0z18的夹角的余弦.解两已知直线的方向向量分别为is153j32k31(3,4,1),s2i23j28k11(10,5,10),因此，两直线的夹角的余弦cos(coss1,s2)s1s2s1s23104511036.证明直线行.证已知直线的方向向量分别是24zy2(1)7,2102(5)3x2x21020.8,x2y2xz7与直线6yy3zz0平is112由s2j21k11.i(3,1,5),s232j61k31(9,3,15),3s1知两直线互相平行7.求过点（0,2,4）且与两平面方程.解可取x2z1和y3z2平行的直线所求直线与已知的两个平面平行，因此所求直线的方向向量isn1n210故所求直线方程为j01k23(2,3,1),x02注y23z41.则可本题也可以这样解：由于所求直线与已知的两个平面平行，视所求直线是分别与已知平面平行的两平面的交线，为不妨设所求直线xy将点（0，2，4）代入上式，得2z3za,b.a2z3z8,b8,10.10.故所求直线为xy8.求过点（3，1，-2）且通过直线解为利用平面束方程，过直线x5x5y44y2y233z的平面方程.1z的平面束方程1x54y23将点（3，1，-2）代入上式得x54y23211.因此所求平面方程为2011y3(z)0,202(3z)0,即8x9y22z590.9.求直线xy3z0,xyz0与平面xyz10的夹角.ijk解已知直线的方向向量s113(2,4,2),平面111的法向量n(1,1,1).设直线与平面的夹角为,则sincos(n,s)sn214(1)(2)(1)sn2242(2)212(1)2(1)2即0.10.试确定下列各组中的直线和平面间的关系；（1）x3y4z273和4x2y2z3；（2）xyz327和3x2y7z8；（3）x2y2z3314和xyz3.解设直线的方向向量为s，平面的法向量为n，直线与平面的夹角为,且sincos(n,s)snsn.（1）s(2,7,3),n(4,2,2),0,sin则(2)4(7)(2)(2)23(2)(2)2(7)23242(2)20,0.故直线平行于平面或在平面上，现将直线上的点A（-3，-4，0）代入平面方程，方程不成立.故点A不在平面上，因此直线不在平面上，直线与平面平行.（2）s(3,2,7),n22(3,2,7),由于s77(2)222n或2sin知（3）s33(2)(2)32(2)7371,，故直线与平面垂直.(3,1,4),n22(1,1,1),由于sn22220或0,sin知3111(4)131(4)1110,将直线上的点A（2，-2，3）代入平面方程，方程成立，即点A在平面上.故直线在平面上.11.求过点（1,2,1）而与两直线xx的方程.解2yyz1z100,和2xxyyzz00,平行的平面两直线的方向向量为is111j21k11(1,2,3),s2i21jk(0,1,1),1111i取j21k31(1,1,1),ns1s210则过点（1,2,1），以n为法向量的平面方程为1(x1)1(y即2)1(z1)0.0,xyxz12.求点（-1,2,0）在平面解2yz10上的投影..该直线与平面的交作过已知点且与已知平面垂直的直线点即为所求.根据题意，过点（-1,2,0）与平面直的直线为x2yz10垂x1y2z0,121将它化为参数方程x1t,y22t,zt,代入平面方程得1t整理得t投影为（2(22t)(t)10,2yz10上的2.从而所求点（-1,2,0）在平面x3522,,）.333x2xiyyj11z1zk1113.求点P（3，-1，2）到直线0,40的距离.解直线的方向向量s12(0,3,3).在直线上取点（1，-2，0），这样，直线的方程可表示成参数方程形式x1,y23t,z3t.（1）又，过点P（3，-1，2），以s(0,3,3)为法向量的平面方程为0,（2）3(y1)即3(z2)yz10.将式（1）代入式（2）得t故所求距离为113，于是直线与平面的交点为（1,，,）222d(31)2(112)2(232)2322.14.设M0是直线L外一点，M是直线L上任意一点，且直线的方向向量为s，试证：点M0到直线L的距离d证M0Mss.如图8-9，点M0到直线L的距离为d.由向量积的几何意义知M0MM0Mss表示以M0Ms表示以，s为邻边的平行四边形的面积.而s为边长的该平面四边形的高，即为点M0到直线L的距离.于是dM0Mss.15.求直线影直线的方程.解2x3x4yyz0,02z9在平面4xyz1上的投作过已知直线的平面束，在该平面束中找出与已知平面垂直.的平面，该平面与已知平面的交线即为所求设过直线2x3x4yyz2z0,90的平面束方程为2x经整理得由得4yz(3x(4y)y2z9)0,0.(23)x(12)z9(23)4(41311.代入平面束方程，得)(1)(12)10,17x31y因此所求投影直线的方程为37z1170.17x4x31yyz37z1171..0,16.画出下列各平面所围成的立体的图形（1）x0,y0,z0,x2,y1,3x4y2z120;（2）x解0,z0,x1,y2,zy.4（2）如图8-10（b）.（1）如图8-10（a）；1.一球面过原点及A（4，0，0），B（1，3，0）和C（0，0，-4）三点，求球面的方程及球心的坐标和半径解设所求球面的方程为.(xa)2(yb)2(zc)2R，2将已知点的坐标代入上式，得a(a22b22c22R,R,c2222（1）（2）4)22b(b(4c3)c)22(a1)a2R,2（3）（4）bR，联立（1）（2）得a2,联立（1）（4）得c2,将a2代入（2）（3）并联立得b=1，故R=3.因此所求球面方程为(x其中球心坐标为2)2(y1)3.2(z2)29,(2,1,2),半径为2.建立以点（1，3，-2）为球心，且通过坐标原点的球面方程解.设以点（1，3，-2）为球心，R为半径的球面方程为(x1)球面经过原点，故2(y3)2(z2)2R,2R2(01)(x1)22(0(y3)3)2z22(0(z2)2)2214,14.从而所求球面方程为3.方程2x2y2z2x24y0表示什么曲面？22解将已知方程整理成(x1)(y2)2(z1)(6),所以此方程表示以（1，-2，-1）为球心，以6为半径的球面.4.求与坐标原点O及点（2,3,4）的距离之比为1:2的点的全体所组成的曲面的方程，它表示怎样的曲面？解设动点坐标为（，根据题意有x,y,z）(x0)(x化简整理得22(y(y0)3)22(z0)(z4)42)322122)22)3,(x它表示以（(y1)432(z2322(29).3.23,1,）为球心，以29为半径的球面5.将xOz坐标面上的抛物线转曲面的方程.解以z25x绕x轴旋转一周，求所生成的旋2y2z代替抛物线方程z(y225x中的z，得z)y2225x，5x.即注xOz面上的曲线z2F(x,z)z)220绕x轴旋转一周所生成的旋转0.9绕z轴旋转一周，求所生成的旋222曲面方程为F(x,y26.将xOz坐标面上的圆转曲面的方程.解以xz2x2y代替圆方程x(xy22222z9中的x，得9,y)z22z9.即x7.将xOy坐标面上的双曲线4x29y.236分别绕x轴及y轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程解以y2z2代替双曲线方程4x29y236中的y，得该双曲线绕x轴旋转一周而生成的旋转曲面方程为4x即以229(9(y2y2z)22236,4xz)4x222236.9y22x2z2代替双曲线方程36中的x，得该双曲线绕y轴旋转一周而生成的旋转曲面方程为4(即x22z)29y36,4(xz)9y36.8.画出下列各方程所表示的曲面：（1）(x2a2)2y2a2();2（4）（2）x42y921;2x（3）9解z421;y2z0;（5）z2x.（1）如图8-11（a）；（2）如图8-11（b）；（3）如图8-11（c）；（4）如图8-11（d）；（5）如图8-11（e）.9.指出下列方程在平面解析几何中和在空间解析几何中分别表示什么图形：（1）x（3）x解22;y2（2）yx1;24;（4）xy21.（1）x2在平面解析几何中表示平行于yOz面平行的平面.y轴的一条直线，在空间解析几何中表示与（2）yx1在平面解析几何中表示斜率为1，y轴截距也为1的一条直线，在空间解析几何中表示平行于（3）x2z轴的平面.2的y24在平面解析几何中表示圆心在原点，半径为z轴，准线为圆，在空间解析几何中表示母线平行于xz2y024,的圆柱面.（4）x2y21在平面解析几何中表示以x轴为实轴，y轴为虚轴z轴，准线为的双曲线，在空间解析几何中表示母线平行于xz2y021,的双曲柱面.10.说明下列旋转曲面是怎样形成的：x（1）4（3）x解2y9y222z9z221;1;（2）x2y4a)2z21;y.22（4）(z2x22x（1）4y92z921表示xOy面上的椭圆x4y9221绕x2轴旋转一周而生成的旋转曲面，或表示xOz面的椭圆x轴旋转一周而生成的旋转曲面.（2）x2xz4291绕y24z21表示xOy面上的双曲线x2y旋转一周而生成的旋转曲面，或表示yOz面的双曲线绕y轴旋转一周而生成的旋转曲面.（3）x242y4yx21绕y轴z21y2z21表示xOy面上的双曲线x21绕x轴z2旋转一周而生成的旋转曲面，或表示x轴旋转一周而生成的旋转曲面.（4）(zxOz面的双曲线21绕a)2x2y表示xOz面上的直线z2xa或yOz面的直.z线zxa绕z轴旋转一周而生成的旋转曲面，或表示ya或zya绕z轴旋转一周而生成的旋转曲面11.画出下列方程所表示的曲面：（1）4x2y2z24;（2）x2y24z24;（3）zx2y2349.解（1）如图8-12（a）；（2）如图8-12（b）；（3）如图8-12（c）；12.画出下列各曲面所围立体的图形：（1）z0,z3,xy0,x3y0,x2y21（在第一卦限内）；（2）x0,y0,z0,x2y2R2,y2z2R2（在第一卦限内）.解（1）如图8-13所示；（2）如图8-14所示.1.画出下列曲线在第一卦限内的图形；（1）xy1,2;（2）zxy4x0;2y,2（3）xx22yz2a,a.222解（1）如图8-15（a）；（2）如图8-15（b）；（3）如图8-15（c）.2.指出下列方程组在平面解析几何中与在空间解析几何中分别表示什么图形：（1）yy5x1,2x3;yy5x1,2x3x（2）2y249y3.1,解（1）在平面解析几何中表示两直线的交点..在空间解析几何中表示两平面的交线，即空间直线x（2）2y249y31,在平面解析几何中表示椭圆x2y2491与其切线yy23的交点，即切点1与其切平面y.在空间解析几何中表示椭圆柱面x2493的交线，即空间直线.3.分别求母线平行于x轴及y轴而且通过曲线的柱面方程.解在2xx22yz22zy2216,02xx22yz22zy22216,0z2中消去x，得3y16,即为母线平行于x轴且通过已知曲线的柱面方程.在2xx22yz22zy2216,03x中消去y，得222z16,.xOy面上的投即为母线平行于y轴且通过已知曲线多的柱面方程4.求球面x2y2z29与平面xz1的交线在影的方程.解在xxx22y22z29,中消去z，得2z1y(1x)9,即2x2xz222xy2y28,它表示母线平行于z轴的柱面，故2x08,表示已知交线在xOy面上的投影的方程.5.将下列曲线的一般方程化为参数方程：（1）x2yx;2z29,y(x1)（2）z0.2y2(z1)24,解（1）将yx代入x2x22yz22z9,29,得取x3cost,则z23sint,从而可得该曲线的参数方程3xcost,23ycost,2z3sint（2）将z=0代入(x（0t?2）1)2y22(z1)y224,得(x1)取x3,13cost,则y3sint,从而可得该曲线的参数方程x1yz0xacos,6.求螺旋线3cost,3sint,（0t?2）yzasin,在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标bacos,yasin得x2方程.解由xyxz22a,故该螺旋线y22在xOy面上的投影曲线的直角坐标方程为a,20yOz面上由yasin,zb得yzasin，故该螺旋线在b的投影曲线的直角坐标方程为yxasin,b0z由xacos,zb得x上的投影曲线的直角坐标方程为acos,故故该螺旋线在bzxacos,by0.y与圆柱体x22zyOz面7.求上半球0za2x2y2ax(a>0)的公共部分在xOy面和xOz面上的投影.解而由如图8-16.所求立体在xOy面上的投影即为x2y2ax，zx得z线z222ay2x2y,22axaaax.故所求立体在xOz面上的投影为由x轴，z轴及曲ax所围成的区域.8.求旋转抛物面zx2y(02z4)在三坐标面上的投影解联立zzx422y2，得x2y24.故旋转抛物面在xOy面上的投影为xzy0.24,如图8-17.联立2zxx02y,得z2y,故旋转抛物面在yOz面上的投.2影为zy及z4所围成的区域zyx2同理，联立2y,20得zx,故旋转抛物面在xOz面上.2的投影为zx及z4所围成的区域