2013年安徽高考数学真题及解析

2023年12月3日发(作者：数学试卷考不)

2013年安徽高考数学真题及解析

数学(理科)

本试卷分第【卷和第∏卷(非选择题)两部分，第【卷第1至第2页，第II卷第3至第4页。全卷满分

150分，考试时间为120分钟。

参考公式：

如果事件A与B互斥，那么

P(A + B) = P(A) +P(B)

如果事件A与B相互独立，那么

P(AB) = P(A)P(B)

第I卷(选择题共50分)

一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给岀的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。

(1)设是虚数单位，Z是复数Z的共辄复数，若∕=IΛ-∣∕(X)>0∣.^+2=2Z ,则Z =

(A) I+/

(C) -1+/

【答案】A

【解析】设

z = a + bi,贝IJZ = a - bi.z ・ zz + 2 = 2z => (a + bi)・(a - bi)i + 2 = (a +

(B) I-Z

(D) -1√

2a~ + b~ = 2b

2 = 2a

所以选A

(2)

如图所示，程序框图(算法流程图)的输岀结果是

a = 1

=> Z = 1 + /

b = ∖

■

1

(A)-

6

25

(B)—

24

(D)Il

12

D

(C) 2

4

【答案】D

2b)i + 2 = 2a + 2bi

【解析】・.・$ =

0

+丄+丄+丄=6 + 3 + 2=q.. S = Ii所以选

2 4 6 12 12 12

9(2)AS

(3)

在下列命题中，不是公理的是

• •

(A)

平行于同一个平而的两个平而相互平行

(B)

过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平而

(C)

如果一条直线上的两点在一个平而内，那么这条直线上所有的点都在此平而内

(D)

如果两个不重合的平而有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线

【答案】A

【解析】说法均不需证明，也无法址明，是公理：C选项可以推导证明，故是泄理。(A)

θ=O(p ∈ /?)和PCOS=2

θ=-{pe /?)和PCOS=2 (B)

所以选A

(4)

\'\'a < O\"

“是函数/(x)=∣(drl)x∣在区间(0,+S)内单调递增”的

(A)

(C)充分必要条件

【答案】C

【解析】当沪O时，

充分不必要条件

(B)必要不充分条件

(D)既不充分也不必要条件

f(x) =∣Λ∣=>y =

f(x)¢(0,+ 00)上单调递增；当GVo且x>0时，/(x) = (-OX+

1)Λ,

y = /(Λ∙)在(O, + =)上单调递增所以a ≤ 0⅛y =八力在(0, +CO)上单调递增的充分条件

相反，÷⅛y = ∕(x)在(0, + s)上单调递增=>a≤0,

=> a 5 O是y = /(;V)在(0, + CO)上单调递增的必要条件

故前者是后者的充分必要条件。所以选C

(5)

某班级有50需学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五划男生和五爼女生在某次数 学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为8694,8&92,90,五名女生的成绩分别为8&93,93.8&93•下列说法 一定正确的是

(A)

(B)

(C)

(D)

这种抽样方法是一种分层抽样

这种抽样方法是一种系统抽样

这五轲男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差

该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数

【答案】C

【解析】对A选项，分层抽样要求男女生总人数之比=男女生抽样人数之比，所以A选项错。 对B选项，系统抽样要求先对个体进行编号再抽样，所以B选项错。

对D选项，男生平均成绩为90,女生平均成绩为91。所以D选项错。

对C选项，男生方差为40,女生方差为30。所以C选项正确。

所以选C

(6)

已知一元二次不等式/(x)Vo的解集为{ΛIΛ<-1⅛>1 },则/(10)>0的解集为

2

(A) {xlx<-l⅛U>lg2 }

(C) {xlx>-lg2 }

【答案】D

【解析】由题知，一元二次不等式(x)>0⅛勺解隼为Cl丄),即・1 vK <1=>xv-ln2

v(B) {xl-I

(D) {xlx<-lg2 }

2

所以选D。

2

(7)

在极坐标系中，圆/7=2cos<9的垂直于极轴的两条切线方程分别为

(C)

θ=-{p ∈ /?)和QeOS=I

2

【答案】B

(D)

θ=0(p ∈ /?)和PCOS= 1

【解析】在极坐标系中，圆心坐标P = ∖, e = 0,半径r = l.故左切线为Θ =-或乜

2 2

右切线满足cos & =

— => pcosθ = 2・即切线方程为：θ =仝和PeOSe = 2.

P 2

所以选B

(8)函数y=f(x)的图像如图所示，在区间[a,b] ±可找到n{n ≥ 2)

个不同的数Λ∙严…兀,使得丄12 =

竺！二仏丄则n的取值范围是

召 召 ⅞

(A) {3,4}

(C) {345}

(B) {2,3,4}

(D) {2,3}

【答案】B

【解析】由题知，过原点的直线与曲线相交的个数即n的取值•用尺规作图，交点可取2,3,4.

所以选B

(9)在平面直角坐标系中，0是坐标原点，两世点A,B满足IoAl = ∣OB∣ =

OA∙OB = 2,则点集

IPl = IoPI

= λOA + μOB↑λ∖ +1∕∕∣ ≤1,Λ∕∕∈∕?!所表示的区域的面积是

(A) 2√2

(B) 2√3

(D) 4√3 (C) 4√2

【答案】D

【解析】考察三点共线向疑知识：

若人B, C三点共线,P是线外一点则顾=λPB + //PC, M中2 + // = 1.

刃・

OB=∖OA∖∙∖OB∖ ∙cos 6> = 4cos6> = 2

二> & =工•建立直角坐标系，设

AQX)). 3

B(l√3).则当2≥0√∕≥0, Λ + χ∕≤l⅛, P在三角形043内(含边界)・

根据对称性，所求区域的面积S =4χ三角形OAB的面积=

4√3

所以选D

(IO)若函数/(x)=√+bx+c有极值点Xr X2,且/(X1)=X1,则关于X的方程3(f (x^)2+2f (x)+h=O的不

同实根个数是

(A) 3

(B) 4

(A)

θ=O(p ∈ /?)和PCOS=2 (B)

θ=-{pe /?)和PCOS=2

(C) 5

【答案】A

(D) 6

【解析】使用代值法。

3

322设

/\'(Λ) = 3(x - l)(x + 2) =

3X + 3x - 6 n /(x) = x +^x -6x + c.

O

令厂(x) = O => x1 = l,x2 =

一2 => /(XI)

= xl => c = -,f(x)在(YO,-2)上单调递增

=> /(A)在(YO,-2)上单调递增，在(-2,1)上单调递减，在(1, +CO)上单调递增.

⅛∕(∕(Λ-)) = 0=> /(x) = A-I解得二个,根，f(x) = Xl解得一个根，共3个根.

所以选A

2013普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）

数 学（理科）

第II卷（非选择

共100分）

考生注意事项：

请用0.5亳米黑色墨水签字笔华等闍卡上作答，华迖耀卷£登型疋敛。

二•填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在答题卡的相应位置。

（Il）若（x +命］的展开式中F的系数为7,则实数“=—|_o

【答案】1

8-r=-

【解析】

= Cfahf

亠8_* = 4» = 3,%3 =7»

=扌

（12）设AABC的内角AbC所对边的长分别为Qbc。若b+c = 2a,则3sinA = 5sinB,则角C =

2

-π

3 —

2

【答案】二兀

3

【解析】3sin∕ = 5sinB,n3α = 5b\" + c = 2dncosC =乞土二=一丄nC = ?;T

Iab 2

3

2

所以二兀

3

(13)已知直线y = “交抛物线y = x于4 3两点。若该抛物线上存在点C ,使得ZABC为直角，则\"的

取值范围为—[1,2) _______ O

【答案】[1,+S)

【解析】根据题意不⅛⅛A(∕w,m),B(-m,m),C(XiX),MAC

丄

BC

2222(x-m.x2 一〃『)・(x + m.x2 - nr) = x2 -Hr +(x2 -Iir) = 0 => ∕π

一(2x\' +1)〃『+(x2 +x) = 0

44(∕M

-X2Xm2 -X2 一I) = On=x +1 w[l∖+∞).所以α e[l,÷oo)

22（14）如图，互不■相同的点A1A•…Xr…和牛毘•…坊….分别在角O的两条边上，所有厲咼相互平 行，且所有梯形AnBlβlι^All+l的而积均相等。设Q4” = %若旳=1√∕2 = 2,则数列匕｝的通项公式是 _____________

an = √3π - 2,

n ∈ N *

O

【答案】«„ = y∣3n-2,n ∈ N *

【解析】设AAIBiO的面积为S（）,梯ιBn+iAιι+的面积为= -）.

2Sa + S a.

=（也）2 =上也=（也F.由上面2种情况得也二=（£）2.

S0+（77+ 1）5

山+2

4 + 3〃

£+2

3/2 +1

①田

% F

»£）2（纠2纠2…（汕）2

出2」上丄…口 =丄 出2=丄

勺

a3 a4 % % 4 7 10 3/2 +1 3/2 +1

匕出

3〃

+ 1

=> 终田=J3n +1,且a】=1

=> Cln = J3〃

- 2,舁

e N *

（15）如图，正方体ABCD-AQeQ的棱长为1, P为BC的中点，Q为线段CC1 ±的动点，过点ARQ的平而截该正方体所得的截而记为SO则下列命题正确的是 （写岀所有正确命题的编号）。

① 当O

2

② 当CQ =丄时，S为等腰梯形

2

3

③ 当CQ = -时，S与GD的交点R满足G&=一

4

3

④ 当-

4

⑤ 当CQ = 1时，S的而积为近

1

3

2

【答案】①②③⑤

【解析】设截面与DD相交于则ATH PQRAT = 2PQ ^DT = 2CQ.

对①，•当0 vC0v丄时,则丄VDTV 1・所以截而S为四边形，且S为梯形•所以为真.

2

2

所以为真.

2

对②，.当C0 =丄时,DT = 1,7⅛0重合，截面S为四边形APQDIy所以AP = DiQ.截面S为等腰梯形.

3 3 Il

对(§)>

^CQ = -^.DT =QQ=-,DJ = -M用三角形相似解得CA =—・所以为貞..

4 2 4 2

对⅛-

1

3

4 2

对⑤，•当CQ = I时，Q与Cl重合,截而S与线段AQ相交于中点Gl即为菱^APClGiAM角线长度

分别恥和局的面积为孕所以沁

综上，选①②③⑤ 三•解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答写在答题卡上 的指定区域内。

(16)(本小题满分12分)

已知函数

/(x) = 4cos er.v∙ sin

(C7>0)的最小正周期为;T。

cτx +

(I )求0的值：

(II)讨论/(X)在区间［0,2］上的单调性。

【答案】(I) 1 (II) y = /(x)在［0冷］上单调递增；在［冇,彳］上单调递减.

8 8 2

【解析】(【)=> 2√2 cos 6Ar(Sin Λλv +cos 6λv) = √2(sin 2αu+cos2fur + 1) = 2sin(2iar+

ff—) + χ∕∑

4

=> -^∙ = π => ω = ∖.所以

f(x) = 2sin(2x + —) +

^j2.ω = 1

2ω 4

(∏) >-=∕(χ)m⅛⅛⅛单调递增：在G，学]上单调递减.

8 8 8 8

当X ∈ [0, —]W9(2X

+

—)

∈

[-yπ + -]9 令2Λ

+兰=兰解得X =—：

2 4 4 4 4 2 8

所以y = ∕α∙)在[0上]上单调递增；在f,兰]上单调递减.

8 8 2

(17)(本小题满分12分)

设函数f(x) = ax-(l+a)xf 其中α>0,区间/

=IΛ-∣∕(X)>O∣

12(I)

求的长度(注：区间(70)的长度立义为0 — Q)；

(II)

给定常数Are(OJ),当时，求长度的最小值。

【答案】(I) -‰-.

∖ + cr

(II) -

2

【解析】(【)f(x) = x[a-(∖ + a)x] >0^> Xe (0.—‰).所以区间长度为上=

1 + /

∖ + a ・

2(II)若kw(O,l),且IuSGSl+ k时，/ = —^ = -^-≤-=-

1 +

於 丄

1 1 + 1 2

a + —

a

且当\"=1时J取最小值丄，\"满足1以≤a≤∖ +1的最小值为丄.

2 2

(18)(本小题满分12分)

2 2

设椭圆EΛ

+

-‰ = 1的焦点在X轴上

a1 I-«

2(I)

若椭圆E的焦距为1,求椭圆E的方程：

(II)

设片,朽分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆E上的第一象限内的点，直线&P交y轴与点Q,

并且片P丄FxQ .证明：当α变化时，点\"在某定直线上。

【答案】

5

3

(II) y+ x-l = O

【解析】(I )

∙.∙ (T >l-a1t2c = 1,/=1-/

+c2 => U2 =椭圆方程为:里-+竺一=1.

8 5 3

(ID

设Fl(Y,0),巧

GO), Pgy), Q(OM),则乔=

(X-C*),亦=

(c,→n).

由

1 -α>0=>α∈ (OJ) =>

Λ ∈ (0,1),y ∈ (Oa).

2F∖P = (x + c.y∖F∖Q = (CM)•由丽〃丽,F∖P 丄車得寸〃心 _羽=VC

C(X + c) +

my = 0

=>

(X-C)(ΛT

+ C)

=

y2 => X - y =C.R⅛JΛ

-y2 =C

I2222解得

o 2

=1

一旷 +L

=>、J、——+ —2

=y∙

V——T = l=>x =(y± I). V

Λ ∈ (0J), y ∈ (OJ)

.∖x = ∖-y

χ∙ +1 ]_x- +

? 2

22所以动点P过怎直线y + x-l=O.

(19)(本小题满分13分)

如图，圆锥顶点为“。底而圆心为。，其母线与底而所成的角为22.5° O

和CD是底而圆O上的两条

平行的弦，轴

OP与平而PCD所成的角为60\',

(I)证明：平而PAB与平而PCD的交线平行于底而:

(H)求

CoS

ΛCOD o

【答案】(【)见下.

(ID 17-12j∑

【解析】(【) 设面PABC

面PCD =直线〃「・

ABIICDSLCD U 面PCD =>

AB/∕W]PCD => AB//直线川

・・・ AB U ^ABCD => 直线加//

IkiABCD .

所以,面PAB与面PCD的公共交线平行底面A BCD.（址毕）

（II

）设底面半径为八线段CD的中点为F,贝IJZoPF = 60rtI题知tan22.5° = -.

o—=> tan 60 ∙ tan 22.5 =—

,tan 60° = ,tan 45 =

2o^^2^^

PO r

l-tan 22.5

2C)I)o2CoS

ZCOD

=

2COS

~^ — 1 n tan 22.5 = √2-l,

EZfi=[仮运 _

ιj] = 3(3 - 2√Σ)

2 2

ooOZCOD

2tan22.5

oCOS

ZCoD = 17-12

所以

COS

ZCoD = 17 ・ 12、伍.(完)

（20）（本小题满分13分）

设函数九（X） = — 1 + x — — + ~r÷・・・—（X E ∈ N\"）,证明：

r V

22疋

A? 2 3

（I）

对每个neN∖存在唯一的xn∈[-,l],满足厶（兀）=0；

列仪｝满足0

【答案】（I）见下.

（II）见下-

【解析】（I）・・・当χ＞0时，y = ~为单调递增的・・・/；（X） = -I+ x + l + d + d + ∙∙∙

+ +l是

Ir 2_

y 4_

Ir

V

υ2

（II）

对任意P ∈ N,由（【）中暫构成的数兀+p

V丄。

nV

工3

24

丿

X的单调递增函数,也是n的单调递增函数.且九（0） = -IVo,£⑴n -1 +1 = 0 •

=＞存在唯一心,满^fn（Xn） = 0,且1≥ xi ＞ X2 ＞勺…心＞

0 ⅛∈(oj)M√πω≤-ι+χ÷⅛+^+^+--+≤=-ι+χ+⅛∙-^≤<-ι+χ+⅛∙-!-

2^ 2\" 2\" 2-

X

1

4 I-X 4 I-X

1 2

-O = A(Xn)≤-1÷xπ÷4 7

” - =XXn-2)(3xπ-2)≥0=>xπ∈[-,l)

2

n综上，对每个n ∈

N

9存在唯一的xn∈[-,l],满足A（ΛΠ） =0：（证毕）

2 3 4

H

X

XXX

(II)由题知In x” >

xll+p >

0,∕Π(Λ∙

Π)

= -∖ + xn +^⅛- + -^-÷-p- + -∙∙ + -^⅛- = 0

n

Λ+1

r “+\"

∕I+P

2Λ+p(£+“)=

_】 +

X卄P + -γr~ +

32

n

42 + +

---------

卜

2H2 (/?+ I)

心+p £+

+P

-- - --- HIΛ=θ

上式相减:

n n+1

^+⅛-÷-5Γ + ^-÷-+p-

=Xn

÷p+-^-+ 32

+苛+…+% • %

(n + p)2

十■心十X

~~2

Λ∙Ξ--n+p

X ∙ ÷⅛>÷⅛nv

42

n+1

∕ι+∕>

（n + p）2

!

r£+p

Λ ÷∕Λ∙P

,,r

（H+ D2

1 1 1

=一一 ---

< —=> XiI -X十 < —

n n + Pn n

1

<丄+…+亠 <（丄-丄）+•••+（」

（〃 + 〃）\'

5 + 1）・ （\" +

〃）・ //

« + 1

” +

“一1

(21)(本小题满分13分)

某髙校数学系讣划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知 该系共有\"位学生，每次活动均需该系《位学生参加(\"和R都是固左的正整数)。假设李老师和张老师分 别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到。记该系收到李老师或張 老师所发活动通知信息的学生人数为X

(I )求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；

(II)求使P(X=Hi)取得最大值的整数加。

【答案】（［）—-（-）.

Il H

2（II）当O V £ V 1 -

时，“7 = k时7S）取最大值.

n 2

当I- — <

- ≤丄时,加=2k时取最大值

2

U 2

1

IC

当—v —Vl时，当W = W时P(Tn)取最大值

2

U

【解析】(I)设事件A表示：学生甲收到李老师的通知信息，则P(Λ) = -, P(A) = I--.

H

设事件B表示：学生甲收到张老师的通知信息，则P(B) = P(A).P(B) = P(A).

n

设事件C表示：学生甲收到李老师或张老师的通知信息. 则

P(C) = I-P(A)・ P(B) = I-(I--) =—-(-).

22H n H

所以，学生甲收到李老师或张老师的通知信息为—-(-).

n n

OL L

(H)设k V

仏兄=——一(上)2,

λ e (Oa),

n n

2⅛0<-<-=>0<2<-:

H 2

当- = -=>/ = -.

4

H 2

4 数学（理科）试题参考答案

-

（1〉∣2∣ U

I 6> I） :7l It

基直幼识和基本运貢•每小題5分•満分50分.

门∙ ∖

Il

U> Il

∣9> U

ISiC

t Kh K

二•填空题：本題老些基本如识和基本运算•毎小題,分•満分邛分.I

14

Z √At∣ -2 \"S > I r4 ∙>

,三.解答題：本X8*f-小题.共?5分•屏答应写出父子说散、近腰过仪或演算步买•解答石在答JS卡上的播

定区城内.

（I6∣ I本小融湄分12分Ii •題兮代f∩l∣Γ）>∙½⅛⅛ √β嵌紋的紳«1更件耳律心：lIinIH別UMhjL •匕仕 电卅«1理it ” Khgo求唧犹刃・

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4>∙<ħl<

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-√2 (、iii2UM l∙ι∣∙2CUV I f √2 ≡2∙*tn<

2

I >√2. W∕∕rt >>l⅛Λt小疋堤期为

1T∙ Il ω>(∣.

从侗竹輕二TT・舷斛二1・

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