2023长沙市中考数学试题

2023年12月4日发(作者：5021高考数学试卷)

2023年湖南省长沙市中考数学一模试卷一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．本题共10个小题，每小题3分，共30分）1．比较实数0，A．0，2，﹣1.7的大小，其中最小的实数为（B．C．2）D．﹣1.7）﹣2．人体中红细胞的直径约为0.0000077m，用科学记数法表示数的结果是（A．7.7×106m3．下列运算正确的是（A．（﹣3a）2＝6a2C．a2•a3＝a6B．0.77×106m﹣C．7.7×105m﹣D．7.7×106m）B．（a2）2＝a5D．（﹣a）3÷（﹣a）＝a2）4．下列生活垃圾分类标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（A．B．C．D．5．将不等式x﹣2＜1与4x≥﹣8的解集表示在同一数轴上正确的是（A．）B．C．D．6．某篮球代表队16名队员的年情况如下表：年龄/岁3536384044人数533）32则这些队员年龄的众数和中位数分别是（A．36，36B．35，38C．35，37D．5，387．已知一次函数y＝ax﹣1（a≠0）的函数值y随x值的增大而增大，则一次函数y＝﹣ax+2（a≠0）的图象大致是（）A．B．C．D．8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，根据尺规作图保留的痕迹，下列结论错误的是（）A．AD是∠BAC的平分线C．AC＝2CDB．AD＝BDD．S△ABD＝2S△ACD9．如图，AB为⊙O的弦，点P在弦AB上，BP＝9，AP＝3，点O到AB的C距离为5，则OP长为（）A．7B．8C．D．10．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中：①b2＜4ac；②abc＜0；③2a+b＜0；④（a+c）2＜b2；其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分）11．分解因式：x2y﹣4y＝12．若式子．．在实数范围内有意义，则x的取值范围是13．如图，直线m∥n，△ABC的顶点B，C分别在直线n，m上，且∠ACB＝90°，若∠1＝40°，则∠2等于度．14．一个不透明的箱子中有4个红球和若干个黄球，若任意摸出一个球，摸出红球的概率是，则黄球个数是个．在矩形ABCD中，E在AD边上，将△ABE沿BE折叠，点A恰好落在矩形ABCD15．如图，的对称中心O处，若AB＝3，则BC的长为．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝2，将Rt△ABC绕直角顶点C逆时针旋转，当点A的对应点A\'首次落在AB边上时即停止转动，则点B经过的路径长为．三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23每小题6分，第24、25每小题6分，共72分，解答需写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．计算：18．解不等式组：．．19．长沙电视塔位于岳麓山峰顶（如图），此峰顶距地面高度MN＝270m．电视塔集广播电视信号发射和旅游观光功能于一身．如右图所示，小明同学在地面点A处测得峰顶N处的仰角为15°，由点A往前走640m至点B处，测得电视塔顶P处仰角为45°，请求出电视塔的高度NP．（假设图中A、B、M三点在一条直线上，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）20．2022年10月12日“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲并直播，神舟十四号三位航天员相互配合，生动演示了微重力环境下的四个实验：毛细效应实验；水球变“懒”A．B．实验；C．太空趣味饮水；D．会调头的扳手．某校九年级数学兴趣小组成员为研究“九年级学生对这四个实验中最感兴趣的是哪一个？”随机调查了本年级的部分学生，并绘制了两幅不完整的统计图，请根据图中的信息回答下列问题：（1）本次被调查的学生有为；人；扇形统计图中D所对应的圆心角的度数（2）请补全条形统计图；（3）该校九年级共有650名学生，请估计该校九年级学生中对B．水球变“懒”实验最感兴趣的学生大约有多少人？（4）李老师计划从小明、小刚、小兰、小婷四位学生中随机抽取两人参加学校的微重力模拟实验，请用树状图法或列表法求出恰好抽中小刚、小兰两人的概率．21．如图，在▱ABCD中，G是BC的中点，点F在CD上，FG的延长线与AB的延长线交于点E，连接BF，CE．（1）求证：四边形CEBF是平行四边形；（2）若AD＝6，∠A＝60°，∠AEC＝90°，①试求GF的长度；②四边形CEBF的面积．22．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，任务取得圆满成功．航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“天宫”模型的成本比“神舟”模型低20%，同样花费320元，购进“天官”模型的数量比“神舟”模型多4个．（1）“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？（2）该航模店计划购买两种模型其100个，且每个“神舟”模型的售价为34元，“天官”模型的售价为26元．设购买“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元．①求w与a的函数关系式（不要求写出a的取值范围）；②若购进“神舟”模型的数量不超过“天官”模型数量的一半，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？23．如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为点E，OF⊥AC，垂足为点F，BE＝OF．（1）求证：AC＝CD；（2）若BE＝4，CD＝8，求阴影部分的面积．24．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（b≠0）的顶点为A，与y轴交于点C．过点A作线段AB垂直y轴交于点B，过点C作线段CD垂直抛物线的对称轴交于点D，我们称矩形ABCD为抛物线y＝ax2+bx+c（b≠0）的“伴随矩形”．（1）请根据定义求出抛物线y＝2x2+4x﹣2的“伴随矩形”ABCD的面积；（2）已知抛物线y＝﹣x2﹣3x+2的“伴随矩形”为矩形ABCD，若矩形ABCD的四边与直线y＝mx﹣m+1共有两个交点，且与双曲线y＝无交点，请直接写出m的取值范围；（3）若对于开口向上的抛物线y＝ax2+bx+（b≠0），当y＝0时，方程ax2+bx+＝0的两个根为x1，x2，且满足下列条件：①该抛物线的“伴随矩形”ABCD为正方形；②1≤SABCD≤9（其中SABCD表示矩形ABCD的面积）；③值为﹣20t．请求出满足条件的t值．++的最小25．如图1，在⊙O中，AB为直径，点C在圆上，tan∠A＝，AB＝，D是AB上一动点（与点A、B不重合），DE平分∠CDB交边BC于点E，EF⊥CD，垂足为点F．（1）当点D与圆心O重合时，如图2所示，则DE＝；（2）若CD2＝CE•CB，试探究△BDE与DEF有何面积关系，并证明；（3）当△CEF与△ABC相似时，求cos∠BDE的值．参考答案一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．本题共10个小题，每小题3分，共30分）1．比较实数0，A．0，2，﹣1.7的大小，其中最小的实数为（B．C．2）D．﹣1.7【分析】先计算8的立方根，再比较各数的大小．解：∵﹣＝﹣2，∴﹣2＜﹣1.7＜0＜2．故选：B．【点评】本题考查了实数的大小比较，掌握实数大小的比较方法是解决本题的关键．2．人体中红细胞的直径约为0.0000077m，用科学记数法表示数的结果是（A．7.7×106mB．0.77×106m﹣）﹣C．7.7×105m﹣D．7.7×106m【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．解：0.0000077＝7.7×10﹣6m．故选：D．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．下列运算正确的是（A．（﹣3a）2＝6a2C．a2•a3＝a6）B．（a2）2＝a5D．（﹣a）3÷（﹣a）＝a2【分析】分别根据幂的乘方与积的乘方法则，同底数幂的乘法与除法法则对各选项进行分析即可．解：A、（﹣3a）2＝9a2，原计算错误，不符合题意；B、（a2）2＝a4，原计算错误，不符合题意；C、a2•a3＝a5，原计算错误，不符合题意；D、（﹣a）3÷（﹣a）＝（﹣a）2＝a2，符合题意．故选：D．【点评】本题考查的是同底数幂的除法与乘法，幂的乘方与积的乘方法则，熟知以上知识是解题的关键．4．下列生活垃圾分类标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．解：A、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不合题意；B、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项符合题意；C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不合题意；D、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不合题意．故选：B．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．5．将不等式x﹣2＜1与4x≥﹣8的解集表示在同一数轴上正确的是（A．）B．C．D．【分析】分别求出每一个不等式的解集可得答案．解：由x﹣2＜1，得：x＜3，由4x≥﹣8，得：x≥﹣2，表示在数轴上如下：故选：A．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．6．某篮球代表队16名队员的年情况如下表：年龄/岁人数355363383）C．35，37D．5，38403442则这些队员年龄的众数和中位数分别是（A．36，36B．35，38【分析】先把原数据按由小到大排列，然后根据众数、中位数的定义求解．解：这组数据中35出现5次，次数最多，所以这组数据的众数是35；把这些数据从小到大排列，中位数是第8、第9个数的平均数，所以这组数据中位数为（36+38）＝37；故选：C．【点评】本题考查了众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．7．已知一次函数y＝ax﹣1（a≠0）的函数值y随x值的增大而增大，则一次函数y＝﹣ax+2（a≠0）的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据一次函数y＝ax﹣1（a≠0）的函数值y随x的增大而增大，可以得到a＞0，然后即可得到函数y＝﹣ax+2的图象经过哪几个象限，从而可以解答本题．解：∵一次函数y＝ax﹣1（a≠0）的函数值y随x的增大而增大，∴a＞0，∴﹣a＜0，∴函数y＝﹣ax+2的图象经过第一、二、四象限，故选：C．【点评】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，根据尺规作图保留的痕迹，下列结论错误的是（）A．AD是∠BAC的平分线C．AC＝2CDB．AD＝BDD．S△ABD＝2S△ACD【分析】由尺规作图痕迹可知，AD为∠BAC的平分线，则可得∠CAD＝∠BAD＝30°，进而可得AD＝BD，在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，可得AD＝2CD，则BD＝2CD，，即可得出答案．解：由尺规作图痕迹可知，AD为∠BAC的平分线，故A选项正确，不符合题意；∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠BAC＝60°，∵AD为∠BAC的平分线，∴∠CAD＝∠BAD＝30°，∴∠BAD＝∠B，∴AD＝BD，故B选项正确，不符合题意；在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，∴AD＝2CD，故C选项错误，符合题意；∵AD＝2CD，AD＝BD，∴BD＝2CD，∴故D选项正确，不符合题意．故选：C．【点评】本题考查作图﹣基本作图、等腰三角形、直角三角形，熟练掌握角平分线的作图步骤是解答本题的关键．9．如图，AB为⊙O的弦，点P在弦AB上，BP＝9，AP＝3，点O到AB的C距离为5，则OP长为（），A．7B．8C．D．【分析】过点O作OC⊥AB，垂足为点C，根据BP＝9，AP＝3，点O到AB的距离为3，得到AB＝12，AC＝BC＝6，OC＝3，从而得到PC＝AC﹣PA＝3，根据勾股定理，得OP＝计算即可．解：过点O作OC⊥AB，垂足为点C，因为BP＝6，AP＝2，点O到AB的距离为3，所以AB＝9，AC＝BC＝6，OC＝3，所以PC＝AC﹣PA＝6﹣3＝3，所以OP＝故选：C．【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键．10．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中：①b2＜4ac；②abc＜0；③2a+b＜0；④（a+c）2＜b2；其中正确的个数是（）＝＝．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用二次函数的性质，结合图象即可一一判断．解：∵抛物线与x轴有交点，∴Δ＞0，∴b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，故①错误；∵抛物线开口向下，∴a＜0∵抛物线交y轴于正半轴，∴c＞0，∵﹣＞0，∴b＞0，∴abc＜0，故②正确；∵﹣＞1，a＜0，∴b＞﹣2a，，∴2a+b＞0，故③错误，∵x＝1时，y＞0，∴a+b+c＞0，∵x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，∴（a+b+c）（a﹣b+c）＜0，∴（a+c）2＜b2，故④正确，故选：B．【点评】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分）11．分解因式：x2y﹣4y＝y（x+2）（x﹣2）．【分析】先提取公因式y，然后再利用平方差公式进行二次分解．解：x2y﹣4y，＝y（x2﹣4），＝y（x+2）（x﹣2）．故答案为：y（x+2）（x﹣2）．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，利用平方差公式进行二次分解因式是解本题的难点，也是关键．12．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥﹣2且x≠0．【分析】根据二次根式有意义的条件可得x+2≥0且x≠0，再解即可．解：由题意得：x+2≥0且x≠0，解得：x≥﹣2且x≠0，故答案为：x≥﹣2且x≠0．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，以及分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．13．如图，直线m∥n，△ABC的顶点B，C分别在直线n，m上，且∠ACB＝90°，若∠1＝40°，则∠2等于130度．【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由∠ACB＝90°得出∠4的度数，根据补角的定义即可得出结论．解：∵m∥n，∠1＝40°，∴∠3＝∠1＝40°．∵∠ACB＝90°，∴∠4＝∠ACB﹣∠3＝90°﹣40°＝50°，∴∠2＝180°﹣∠4＝180°﹣50°＝130°．故答案为：130．【点评】本题考查的是三角形的内角和，平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．14．一个不透明的箱子中有4个红球和若干个黄球，若任意摸出一个球，摸出红球的概率是，则黄球个数是6个．【分析】设这个箱子中黄球的个数为x个，再根据概率公式求出x的值即可．解：设这个箱子中黄球的个数为x个，根据题意得，解得x＝6，经检验，x＝6是方程的解．故答案为：6．【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．在矩形ABCD中，E在AD边上，将△ABE沿BE折叠，点A恰好落在矩形ABCD15．如图，的对称中心O处，若AB＝3，则BC的长为3．＝，【分析】连接OD，由O是矩形ABCD中心，得到B，O，D共线，由翻折变换得到OB＝AB，由矩形的性质得到BD＝2OB＝2AB＝6，由勾股定理求出AD的长即可．解：连接OD，∵O是矩形ABCD中心，∴B，O，D共线，∵△ABE沿BE翻折到△OBE，∴OB＝BA，∵四边形ABCD是矩形，O是它的中心，∴BD＝2OB＝2AB＝2×3＝6，BC＝AD，∵∠BAD＝90°，∴AD＝∴BC＝AD＝3故答案为：3．．＝＝3，【点评】本题考查矩形的性质，中心对称，翻折变换，关键是掌握矩形的性质．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝2，将Rt△ABC绕直角顶点C逆时针旋转，当点A的对应点A\'首次落在AB边上时即停止转动，则点B经过的路径长为π．【分析】首先根据解直角三角形计算出BC长，再根据等边三角形的判定和性质计算出∠ACA′＝60°，进而可得∠BCB′＝60°，然后再根据弧长公式可得答案．解：∵∠B＝30°，AB＝2，∴BC＝AB•cos30°＝3，∠A＝60°，∵AC＝A′C，∴∠AA′C是等边三角形，∴∠ACA′＝60°，∴∠BCB′＝60°，∴弧长l＝故答案为：π．【点评】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，以及弧长计算，关键是掌握弧长计算公式．三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23每小题6分，第24、25每小题6分，共72分，解答需写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．计算：【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．解：＝2﹣＝3．【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地化简各式是解题的关键．18．解不等式组：．﹣2+1+3．＝π，【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．解：解不等式①，得：x＜，解不等式②，得：x＞﹣5，则不等式组的解集为﹣5＜x＜．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．19．长沙电视塔位于岳麓山峰顶（如图），此峰顶距地面高度MN＝270m．电视塔集广播电视信号发射和旅游观光功能于一身．如右图所示，小明同学在地面点A处测得峰顶N处的仰角为15°，由点A往前走640m至点B处，测得电视塔顶P处仰角为45°，请求出电视塔的高度NP．（假设图中A、B、M三点在一条直线上，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）【分析】在Rt△AMN中，根据三角函数的定义得到AM＝1000m，根据等腰直角三角形的性质得到PM＝BM＝360m，于是得到结论．解：在Rt△AMN中，∵∠AMN＝90°，MN＝270m，∠MAN＝15°，∴tanA＝tan15°＝∴AM＝1000m，∵AB＝640m，∴BM＝1000﹣640＝360（m），在Rt△BPM中，∵∠PBM＝45°，∴PM＝BM＝360m，∴PN＝PM﹣MN＝360m，答：电视塔的高度NP为360m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握仰角俯角的定义和锐角三角函数定义是解题的关键．20．2022年10月12日“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲并直播，神舟十四号三位航天员相互配合，生动演示了微重力环境下的四个实验：毛细效应实验；水球变“懒”A．B．实验；C．太空趣味饮水；D．会调头的扳手．某校九年级数学兴趣小组成员为研究“九年级学生对这四个实验中最感兴趣的是哪一个？”随机调查了本年级的部分学生，并绘制了两幅不完整的统计图，请根据图中的信息回答下列问题：＝≈0.27，（1）本次被调查的学生有36°；50人；扇形统计图中D所对应的圆心角的度数为（2）请补全条形统计图；（3）该校九年级共有650名学生，请估计该校九年级学生中对B．水球变“懒”实验最感兴趣的学生大约有多少人？（4）李老师计划从小明、小刚、小兰、小婷四位学生中随机抽取两人参加学校的微重力模拟实验，请用树状图法或列表法求出恰好抽中小刚、小兰两人的概率．【分析】（1）用对D实验最感兴趣的人数除以其所占的百分比可得本次被调查的学生人数；用360°乘以被调查的学生中对D实验最感兴趣的人数所占的百分比，即可得扇形统计图中D所对应的圆心角的度数．（2）用被调查的学生总人数分别减去对A，C，D实验最感兴趣的人数，可得对B实验最感兴趣的人数，补全条形统计图即可．（3）根据用样本估计总体，用650乘以被调查的学生中对B．水球变“懒”实验最感兴趣的人数所占的百分比，即可得出答案．（4）画树状图得出所有等可能的结果数和恰好抽中小刚、小兰两人的结果数，再利用概率公式可得出答案．解：（1）本次被调查的学生有20÷40%＝50（人）．扇形统计图中D所对应的圆心角的度数为360°×故答案为：50；36°．（2）50﹣10﹣20﹣5＝15（人）．补全条形统计图如图所示．＝36°．（3）650÷＝195（人）．∴该校九年级学生中对B．水球变“懒”实验最感兴趣的学生大约有195人．（4）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中恰好抽中小刚、小兰两人的结果有2种，∴恰好抽中小刚、小兰两人的概率为＝．【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键．21．如图，在▱ABCD中，G是BC的中点，点F在CD上，FG的延长线与AB的延长线交于点E，连接BF，CE．（1）求证：四边形CEBF是平行四边形；（2）若AD＝6，∠A＝60°，∠AEC＝90°，①试求GF的长度；②四边形CEBF的面积．【分析】（1）证△GCF≌△GBE（ASA），得FG＝EG，即可得出结论；（2）①由平行四边形的性质得BC＝AD＝6，再证平行四边形CEBF是矩形，然后由矩形的性质即可得出结论；②解直角三角形求出BE，CE，可得结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠GCF＝∠GBE，∵G是BC的中点，∴CG＝BG，在△GCF和△GBE中，，∴△GCF≌△GBE（ASA），∴FG＝EG，∴四边形CEBF是平行四边形；（2）解：①∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝6，由（1）可知，四边形CEBF是平行四边形，∵∠AEC＝90°，∴平行四边形CEBF是矩形，∴EF＝BC＝6，∴GF＝EF＝3；②∵AD∥BC，∴∠A＝∠CBE＝60°，∴BE＝BCcos60°＝3，EC＝BE＝3．，∴矩形CEBF的面积＝BE•CE＝9【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．22．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，任务取得圆满成功．航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“天宫”模型的成本比“神舟”模型低20%，同样花费320元，购进“天官”模型的数量比“神舟”模型多4个．（1）“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？（2）该航模店计划购买两种模型其100个，且每个“神舟”模型的售价为34元，“天官”模型的售价为26元．设购买“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元．①求w与a的函数关系式（不要求写出a的取值范围）；②若购进“神舟”模型的数量不超过“天官”模型数量的一半，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？【分析】（1）设“神舟”模型成本为每个x元，则“天宫”模型成本为每个（1﹣20%）列x＝0.8x（元），根据同样花费320元，购进“天官”模型的数量比“神舟”模型多4个．出方程，解方程即可，注意验根；（2）①设购买“神舟”模型a个，则购买“天宫”模型（100﹣a）个，根据总利润＝两种模型利润之和列出函数解析式即可；②根据购进“神舟”模型的数量不超过“天官”模型数量的一半求出a的取值范围，由函数的性质求最值即可．解：（1）设“神舟”模型成本为每个x元，则“天宫”模型成本为每个（1﹣20%）x＝0.8x（元），根据题意得：解得x＝20，经检验，x＝20是原方程的解，0.8x＝16（元），答：“神舟”模型成本为每个20元，“天宫”模型成本为每个16元；（2）①设购买“神舟”模型a个，则购买“天宫”模型（100﹣a）个，则w＝（34﹣20）a+（26﹣16）（100﹣a）＝4a+1000，∴w与a的函数关系式为w＝4a+1000；②∵购进“神舟”模型的数量不超过“天官”模型数量的一半，＝﹣4，∴a≤（100﹣a），解得a≤，∵w＝4a+1000，4＞0，a是正整数，∴当x＝33时，w最大，最大值为1132，答：购进“神舟”模型33个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是1132元．【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用和分式方程的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式和方程．23．如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为点E，OF⊥AC，垂足为点F，BE＝OF．（1）求证：AC＝CD；（2）若BE＝4，CD＝8，求阴影部分的面积．【分析】（1）根据AAS证明△AFO≌△CEB即可判断；（2）根据S阴＝S扇形OCD﹣S△OCD计算即可．【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，∴＝，CE＝CD，∴∠A＝∠DCB，∴OF⊥AC，∴∠AFO＝∠CEB，AF＝AC，∵BE＝OF，∴△AFO≌△CEB（AAS），∴AF＝CE，∴AC＝CD；（2）∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，∴CE＝CD＝4，设OC＝r，则OE＝r﹣4，∴r2＝（r﹣4）2+（4∴r＝8，连接OD，在Rt△OEC中，OE＝4＝OC，∴∠OCE＝30°，∠COB＝60°，∴∠COD＝120°，∵△AFO≌△CEB，∴S△AFO＝S△BCE，∴S阴＝S扇形OCD﹣S△OCD＝＝π﹣16﹣×8．×4）2【点评】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，以及扇形的面积的计算，正确求得∠COE的度数是解决本题的关键．24．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（b≠0）的顶点为A，与y轴交于点C．过点A作线段AB垂直y轴交于点B，过点C作线段CD垂直抛物线的对称轴交于点D，我们称矩形ABCD为抛物线y＝ax2+bx+c（b≠0）的“伴随矩形”．（1）请根据定义求出抛物线y＝2x2+4x﹣2的“伴随矩形”ABCD的面积；（2）已知抛物线y＝﹣x2﹣3x+2的“伴随矩形”为矩形ABCD，若矩形ABCD的四边与直线y＝mx﹣m+1共有两个交点，且与双曲线y＝无交点，请直接写出m的取值范围；（3）若对于开口向上的抛物线y＝ax2+bx+（b≠0），当y＝0时，方程ax2+bx+＝0的两个根为x1，x2，且满足下列条件：①该抛物线的“伴随矩形”ABCD为正方形；②1≤SABCD≤9（其中SABCD表示矩形ABCD的面积）；③值为﹣20t．请求出满足条件的t值．++的最小【分析】（1）求出A（﹣1，﹣4），C（0，﹣2），即可得矩形ABCD的边长分别为1和2，再求面积即可；（2）先求出“伴随矩形”为矩形ABCD的四个顶点坐标分别为A（﹣，），C（0，2），D（﹣，2），直线经过B点时m＝﹣﹣，则﹣），B（0，，直线经过D点时m＝＜m＜﹣时，矩形ABCD的四边与直线y＝mx﹣m+1共有两个交点，当，则m＜﹣时，矩形ABCD的四边与双曲线y＝无双曲线经过A点时，m＝﹣交点，故﹣＜m＜﹣时，满足题意；，﹣），B（0，﹣），（3）抛物线的“伴随矩形”ABCD的顶点分别是A（﹣C（0，），D（﹣，），由题意可得|﹣|＝|﹣|，1≤≤9，求出≤a≤1，再由Δ＝4﹣6a≥0，进一步确定≤a≤，根据韦达定理得x1+x2＝﹣，x1•x2＝，则++＝4（﹣t）2﹣4t2，当t＞3时，4（3﹣t）2﹣4t2＝﹣时，4（﹣t）2﹣4t2＝﹣20t，解得t＝﹣；当≤t≤3时，20t，解得t＝9；当t＜﹣20t＝﹣4t2，解得t＝0（舍）或t＝5（舍）；综上所述：t的值为9或﹣．解：（1）∵y＝2x2+4x﹣2＝2（x+1）2﹣4，∴A（﹣1，﹣4），当x＝0时，y＝﹣2，∴C（0，﹣2），∴伴随矩形”ABCD的面积＝2×1＝2；（2）∵y＝﹣x2﹣3x+2＝﹣（x+）2+，），B（0，），∴“伴随矩形”为矩形ABCD的四个顶点坐标分别为A（﹣，C（0，2），D（﹣，2），直线经过B点时，﹣m+1＝，解得m＝﹣，直线经过D点时，﹣m﹣m+1＝2，解得m＝﹣，∴﹣＜m＜﹣时，矩形ABCD的四边与直线y＝mx﹣m+1共有两个交点，，无交点，当双曲线经过A点时，m＝﹣∴m＜﹣∴﹣时，矩形ABCD的四边与双曲线y＝时，满足题意；）+﹣，＜m＜﹣（3）∵y＝ax2+bx+＝a（x+∴A（﹣，﹣），∴抛物线的“伴随矩形”ABCD的顶点分别是A（﹣C（0，），D（﹣，），，﹣），B（0，﹣），∵“伴随矩形”ABCD为正方形，∴|﹣|＝|﹣|，∴b＝±2，∵1≤SABCD≤9，∴1≤≤9，∵抛物线开口向上，∴a＞0，∴1≥a≥，∵方程ax2+bx+＝0的两个根为x1，x2，∴Δ＝4﹣6a≥0，∴a≤，∴≤a≤，∴x1+x2＝﹣，x1•x2＝，＝4（﹣t）2﹣4t2，∴++＝﹣2•+（2﹣t）•∵++的最小值为﹣20t，当t＞3时，4（3﹣t）2﹣4t2＝﹣20t，解得t＝9；当t＜时，4（﹣t）2﹣4t2＝﹣20t，解得t＝﹣；当≤t≤3时，﹣20t＝﹣4t2，解得t＝0（舍）或t＝5（舍）；综上所述：t的值为9或﹣．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，矩形的性质，弄清“伴随矩形”的定义是解题的关键．25．如图1，在⊙O中，AB为直径，点C在圆上，tan∠A＝，AB＝，D是AB上一动点（与点A、B不重合），DE平分∠CDB交边BC于点E，EF⊥CD，垂足为点F．（1）当点D与圆心O重合时，如图2所示，则DE＝；（2）若CD2＝CE•CB，试探究△BDE与DEF有何面积关系，并证明；（3）当△CEF与△ABC相似时，求cos∠BDE的值．【分析】（1）设BC＝8x，AC＝15x，由勾股定理得出AB＝＝，可求出BC＝4，证出∠A＝∠BDE，根据tan∠BDE可求出答案；＝17x，则17x（2）证明△DCE∽△BCD，由相似三角形的性质得出∠CDE＝∠CBD，证出DE＝BE，过点E作EG⊥DB于G，证明Rt△DEF≌Rt△DEG（HL），由全等三角形的性质得出DF＝DG，证出BD＝2DG＝2DF，根据三角形面积公式可得出答案；（3）分两种情况：①当△CEF∽△ABC时，可证得∠CDB＝90°，再根据DE平分∠②当△CEF∽△BAC可得∠BDE＝45°，再由特殊角的三角函数值即可求得答案；CDB，时，则∠ECF＝∠ABC，得出DC＝DB，再由DE平分∠CDB，可得DE⊥BC，推出∠BDE＝∠A，利用三角函数定义即可求得答案．解：（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵tan∠A＝∴，，设BC＝8x，AC＝15x，∴AB＝∴17x＝∴x＝，∴CB＝4，∵DC＝DB，DE平分∠CDB，∴DE⊥BC，CE＝BE，∴BE＝CE＝BC＝2，∵DE⊥BC，AC⊥BC，∴DE∥AC，∴∠A＝∠BDE，∴tan∠BDE＝，，＝17x，∴∴DE＝，．；故答案为：（2）S△BDE＝2S△DEF．证明：∵CD2＝CE•CB，∴，又∵∠DCB＝∠ECD，∴△DCE∽△BCD，∴∠CDE＝∠CBD，∵DE平分∠CDB，∴∠CDE＝∠BDE，∴∠EDB＝∠CBD，∴DE＝BE，过点E作EG⊥DB于G，∴DG＝BG，∵DE平分∠CDB，EF⊥CD，∴EF＝EG，∵DE＝DE，∴Rt△DEF≌Rt△DEG（HL），∴DF＝DG，∴BD＝2DG＝2DF，∵S△DEF＝DF•EF，S△BDE＝BD•EG，∴S△BDE＝2S△DEF．（3）∵EF⊥CD，∴∠CFE＝90°＝∠ACB，∵△CEF与△ABC相似，∴△CEF∽△ABC或△CEF∽△BAC，①当△CEF∽△ABC时，则∠ECF＝∠BAC，∵∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠ABC＝90°，∴∠ECF+∠ABC＝90°，∴∠CDB＝90°，∵DE平分∠CDB，∴∠BDE＝∠CDB＝×90°＝45°，∴cos∠BDE＝cos45°＝②当△CEF∽△BAC时，则∠ECF＝∠ABC，∴DC＝DB，∵DE平分∠CDB，∴DE⊥BC，∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∴DE∥BC，∴∠BDE＝∠A，∵tanA＝∴cosA＝∴cos∠BDE＝，，．或．；综上所述，cos∠BDE的值为【点评】本题是圆的综合题，考查了直角三角形性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，角平分线性质，三角形面积，锐角三角函数等知识，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质等相关知识，运用分类讨论思想和方程思想解决问题．