上海市交通大学附属中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题

2023年12月20日发(作者：洛阳高新区小升初数学试卷)

上海交通大学附属中学2020-2021学年第一学期

高一数学期中考试试卷

(满分150分,120分钟完成.答案一律写在答题纸上)

一、填空题(1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分)

1. 已知全集U0,1,2,3,4，集合A{1,2}，B{2,3}，则A2. 函数yax2020B= ．

2022(a0,a1)的图像恒过定点 .

3. 已知幂函数yn22n2xn23n(nZ)的图像关于y轴对称，且在(0,)上是严格函数，则n的值为 ．

4. 函数y13x的图像的对称中心是____________．

2x12log1x53325. 函数y的定义域是_______．

6. 实数a满足(2a1)(a1)，则实数a的取值范围是 ．

32x24x47. 已知x6，求的最大值 ．

x68. 设logca、logcb是方程x5x30的两个实根，则logbc_______________．

a29. 著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，用反证法研究猜想，应假设的内容是______________________________．

10. 若关于x的方程2____________.

2xa2x2a10(aR)有实根，则实数a的取值范围是

11. 已知函数ylg(x21ax)的定义域为R，则实数a的取值范围是______________.

12. 若实数x,y满足4x4y2x12y+1，则S22的取值范围____________.

二、选择题(每小题5分，共20分)

13. 已知a,bR，则“33”是“ab”的 （ ）

A．充分非必要条件

必要条件

x14.已知函数yloga(xb)的大致图像如右图所示，其中为a,b常数，则函数yab的xyab33B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非大致图

像是（

）.

yy21–2–1O2112x–1–2–1O12x–1A

yB

y

22112x

–2

1–1O–2–1O12x–1–1

C D

15．由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪．直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理\"的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N,且满足MNQ，MN，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称M,N为戴德金分割,试判断，对于任一戴德金分割M,N，下列选项中,不可能成立的是（

）．

A．M没有最大元素，N有一个最小元素

B．M有一个最大元素，N有一个最小元素

C．M有一个最大元素，N有一个最小元素

D．M有一个最大元素,

N没有最小元素

16.设函数f(x)的定义域D，若对任意的x1D，总存在x2D，使得f(x1)f(x2)1，则称函数f(x)具有性质M.下列结论：

①函数y3具有性质M；

x

①函数yxx具有性质M；

①若函数ylog8(x2)，x0,t具有性质M，则t510；

其中正确的个数是（ ）

3A．

0个 B．

1个 C．

2个 D．3个

三、 解答题：（共5题，满分76分）

17.（本题满分14分，其中第1小题满分6分，第2小题满分8分）

已知函数yf(x)满足f(x)xax2a1.

2（1）当a2时，求不等式f(x)4的解集；

（2）若f(x)4恒成立，求实数a的取值范围.

18.（本题满分14分，其中第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分）

有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速1xvloglgx0，单位是km/min，其中x表示候鸟每分钟耗氧量度可以表示为函数32100的单位数，常数x0表示测量过程中候鸟没分钟的耗氧偏差.

（1）若x05，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？

（2）若雄鸟的飞行速度为1.5km/min，雌鸟的飞行速度为1km/mim，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍？

19.（本题满分14分，其中第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分）

柯西不等式具体表述如下：对任意实数a1,a2,都有：a12a22,an和b1,b2,,bn(nZ,n2)，

anbn

2an2b12b22bn2a1b1a2b2当且仅当a1a2b1b2an时取等号.

bna2b2(ab)2（1）请用柯西不等式证明：对任意正实数a,b,x,y，不等式成立，（并xyxy指出等号成立条件）；

（2）请用柯西不等式证明：对任意正实数x1,x2,,xn，且x1x2xn1，

x12x22求证：1x11x2

xn21（并写出等号成立条件）

1xnn120.（本题满分16分，其中第1小题满分2分，第2小题满分6分,第3小题满分8分）

x已知函数yf(x)的表达式为f(x)a(a0,a1)且f(2)1.

4（1）函数f(x)的解析式；

（2）若log2(m(f(x))4f(x))0在区间0,2有解，求实数m的取值范围；

2

（3）已知1k1，若方程f(x)1k0的解分别为x1,x2(x1x2)，方程3f(x)1k0的解分别为x3,x4(x3x4)，求x1x2x3x4的最大值.

2k1

21.（本题满分18分，其中第1小题满分4分，第2小题满分4分,第3小题满分8+2=10分）

对于集合Aa1,a2,个元素ai(i1,2,两个集合，满足B为“可分集合”.

（1）判断集合1,2,3,4和1,3,5,7,9,11,13是否是“可分集合”（不必写过程）；

（2）求证：五个元素的集合Aa1,a2,a3,a4,a5一定不是“可分集合”；

（3）若集合Aa1,a2,,an(nZ,n3)，其中每个元素均为正整数如果任意去掉其中一,n)，并且Ai都能分成,n)之后，剩余的所有元素组成集合Ai(i1,2,C，BCAi，其中B和C的所有元素之和相等，就称集合A,an(nZ,n3)是“可分集合”.

①证明：n为奇数；

①求集合A中元素个数的最小值.

上海交通大学附属中学2020-2021学年第一学期

高一数学期中考试试卷

(满分150分,120分钟完成.答案一律写在答题纸上)

出卷：丁淑艳，林小萍 审卷：侯磊，杨逸峰

二、填空题(1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分)

1.已知全集U0,1,2,3,4，集合A{1,2}，B{2,3}，则AB= ．

【解析】A2函数yaB{1,2}{0,1,4}={1}.

x20202022(a0,a1)的图像恒过定点 .

【解析】函数yax20202022(a0,a1)恒过定点(2020,2023).

3.已知幂函数yn2n2x函数，则n的值为 ．

2n23n(nZ)的图像关于y轴对称，且在(0,)上是严格【解析】因为yn2n2x2n23n(nZ)是幂函数，所以n22n21，

解得n1或n3，当n1时，yx2满足题意，

当n3时，yx18，不满足在(0,)上是严格减函数，所以n1.

4.函数y13x的图像的对称中心是____________．

2x13x63x773，

2x2x2x【解析】因为y

看做反比例函数y7向左平移2个单位，向下平移3个单位所得函数，

x所以对称中心为(2,3).

5.函数y12log1x53的定义域是_______．

【解析】由题意得log1220log101，解得x7， ，所以1x5x533 所以定义域为7,.

32326.实数a满足(2a1)(a1)，则实数a的取值范围是 ．

32【解析】由(2a1)32(a1)得1(2a1)31(a1)3，

所以02a1a1，解得1a2.

2x24x47.已知x6，求的最大值 ．

x6x24x4(t8)264t16264160， 【解析】令tx60，则x6ttx24x4 当且仅当t8时取等号，所以的最大值为0.

x68.设logca、logcb是方程x5x30的两个实根，则logbc_______________．

a2【解析】由韦达定理得logcalogcb5,logcalogcb3，

由换底公式得logbca1logcba1，

logcblogca2111 所以logbc，

2logbloga37logcblogca4logcalogcbcca2 所以logbca37.

379.著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，用反证法研究猜想，应假设的内容是______________________________．

【解析】存在一个大于2的偶数，不可以表示为两个素数的和.

2xx10.若关于x的方程2a22a10(aR)有实根，则实数a的取值范围是____________.

2xx2【解析】令t2x(0,)，则22a2a10可化为tat2a10，

t21(t2)24(t2)55(t2)4425，

所以at2t2t2 当且仅当t52时取等号，所以实数a的范围是,425.

11.已知函数ylg(x21ax)的定义域为R，则实数a的取值范围是______________.

22【解析】由题意得x1ax0恒成立，即x1ax恒成立，

所以1a2x210恒成立，所以1a20，所以1a1，

所以实数a的范围是1,1.

12.若实数x,y满足442xyx12y+1，则S2x2y的取值范围____________.

【解析】由4x4y2x12y1得2x22y222x2y，

所以2x2yy222x2y22x2y，

设S22，则S2S222，又0222x2xyxy2x2y22S2，

2S2 所以0S2S，解得2S4.

22

二、选择题(每小题5分，共20分)

13.已知a,bR，则“33”是“ab”的 （ C ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

ab33x14.已知函数yloga(xb)的大致图像如右图所示，其中为a,b常数，则函数yab的大致图像是（ B

）.

y

2

1

–2–1O12x

–1

A

y

2

1

–2–1O12x

–1

C

yy2121–2–1O12x–1–2–1O12x–1 B

y21–2–1O12x–1

D

【解析】由图像得a,b(0,1)，故选B.

15．由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪．直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理\"的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N,且满足MNQ，MN，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称M,N为戴德金分割,试判断，对于任一戴德金分割M,N，下列选项中,不可能成立的是（ C

）．

A．M没有最大元素，N有一个最小元素

B．M有一个最大元素，N有一个最小元素

C．M有一个最大元素，N有一个最小元素

D．M有一个最大元素,

N没有最小元素

∣x0},N{xQ∣x0}，则M没有最大元素，N有一个最小【解析】A.取M{xQ元素，故A正确；

∣x B.取M{xQ2},N{xQ∣x2}，则M没有最大元素，N没有最小元素，故B正确；

C.显然不正确；

∣x0},N{xQ∣x0}，则M有一个最大元素，N没有最小 D.取M{xQ元素，故D正确；

故选C.

16.设函数f(x)的定义域D，若对任意的x1D，总存在x2D，使得f(x1)f(x2)1，则称函数f(x)具有性质M.下列结论：

①函数y3具有性质M；

x①函数yxx具有性质M；

①若函数ylog8(x2)，x0,t具有性质M，则t510；

其中正确的个数是（ C ）

3A．

0个 B．

1个 C．

2个 D．3个

11x1(0,)，

fx13【解析】对于①，f(x)3x(0,)，所以fx2 所以对任意x1D，总存在x2D，使得fx1fx21；

对于①，f(x)x3x的值域为R，当fx10时，不存在x2，

使得fx1fx21，故①错误；

对于①，当x[0,t]时，ylog8(x2),log8(t2)，

13若满足fx1fx21，则log8(t2)1，解得t510，故①正确；

13故选C.

四、 解答题：（共5题，满分76分）

17.（本题满分14分，其中第1小题满分6分，第2小题满分8分）

已知函数yf(x)满足f(x)xax2a1.

2（1）当a2时，求不等式f(x)4的解集；

（2）若f(x)4恒成立，求实数a的取值范围.

【解析】（1）当a2时，f(x)x4|x3|，

当x4时，x4x34，解得x11，

2 当3x4时，4xx314，无解，

当x3时，4x3x4，解得x3，

2 所以f(x)4的解集为,2311,；

222 （2）由三角不等式得f(x)xa|x2a1||a2a1|(a1)，

2 所以(a1)24，解得a1或a3，

所以实数a的取值范围是,13,.

18.（本题满分14分，其中第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分）

有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数v1xlog3lgx0，单位是km/min，其中x表示候鸟每分钟耗氧量2100的单位数，常数x0表示测量过程中候鸟没分钟的耗氧偏差.

（1）若x05，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？

（2）若雄鸟的飞行速度为1.5km/min，雌鸟的飞行速度为1km/mim，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍？

【解析】（1）把x05,v0代入函数解析式，得01xlog3lg5，

2100 所以log3x2lg52(1lg2)20.701.40，

100 所以x31.44.66，所以x466，

100 所以候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量是466个单位；

（2）设雄鸟每分钟的耗氧量为x1个单位，雌鸟每分钟的耗氧量为x2个单位，

x111.5loglgx03xx112100 则，两式相减，得log31，所以13，

x222x211logx2lgx301002 所以雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的3倍.

19.（本题满分14分，其中第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分）

柯西不等式具体表述如下：对任意实数a1,a2,都有：a1a2,an和b1,b2,,bn(nZ,n2)，

22an2b12b22an时取等号.

bnbn2a1b1a2b2anbn

2当且仅当a1a2b1b2a2b2(ab)2（1）请用柯西不等式证明：对任意正实数a,b,x,y，不等式成立，（并xyxy指出等号成立条件）；

（2）请用柯西不等式证明：对任意正实数x1,x2,,xn，且x1x2xn1，

x12x22求证：1x11x2xn21（并写出等号成立条件）

1xnn1【解析】（1）对任意正实数a,b,x,y，由柯西不等式得

a2b2

(xy)(ab)2，

yxa2b2(ab)2xy 当且仅当时取等号，所以；

xyxyab （2）因为x1x2xn1，所以n11x11x22xn(n1)

1xn1xn，

2x12x2 又1x1x122x12x2

1x11x22xn1x11x21xn1xn

x1x2xn1，

1时取等号，

n2 当且仅当x1x2xn2x12x2 所以1x11x22xn1.

1xnn120.（本题满分16分，其中第1小题满分2分，第2小题满分6分,第3小题满分8分）

已知函数yf(x)的表达式为f(x)a(a0,a1)且f(2)x1.

4（1）函数f(x)的解析式；

（2）若log2(m(f(x))4f(x))0在区间0,2有解，求实数m的取值范围；

2（3）已知1k1，若方程f(x)1k0的解分别为x1,x2(x1x2)，方程3f(x)1k0的解分别为x3,x4(x3x4)，求x1x2x3x4的最大值.

2k11，所以a2(a0,a1)，

4【解析】（1）因为f(2)a2 所以f(x)2x；

（2）若g(x)log2mf(x)4f(x)在[0,2]上存在零点，

2 等价于mf2(x)4f(x)1在[0,2]上有解，

则mf2(x)4f(x)12x242x1，

x22 令tf(x)21,4，则yt4t1(t2)33,1，

所以实数m的取值范围是[3,1]；

（3）由|f(x)1|k0得|f(x)1|k，即f(x)1k或f(x)1k，

xx 所以211k,221k，

由|f(x)1|kk0得|f(x)1|，

2k12k1即f(x)1kk或f(x)1，

2k12k1kk1x4k3k1,21，

2k12k12k12k1所以231x

所以2x2x11kx4x33k1,2，

1kk1所以2x2x1x4x33k143，

1k1k因为143k14k1，所以33，即2x2x1x4x333，

31k1k1k所以x2x1x4x3log23，

所以x1x2x3x4x2x1x4x3log23.

21.（本题满分18分，其中第1小题满分4分，第2小题满分4分,第3小题满分8+2=10分）

对于集合Aa1,a2,个元素ai(i1,2,成两个集合，满足B为“可分集合”.

（1）判断集合1,2,3,4和1,3,5,7,9,11,13是否是“可分集合”（不必写过程）；

（2）求证：五个元素的集合Aa1,a2,a3,a4,a5一定不是“可分集合”；

（3）若集合Aa1,a2,①证明：n为奇数；

,an(nZ,n3)，其中每个元素均为正整数如果任意去掉其中一,n)，并且Ai都能分,n)之后，剩余的所有元素组成集合Ai(i1,2,其中B和C的所有元素之和相等，就称集合AC，BCAi，,an(nZ,n3)是“可分集合”.

①求集合A中元素个数的最小值.

【解析】（1）集合{1,2,3,4}不是“可分集合”，集合{1,3,5,7,9,11,13}是“可分集合”；

（2）设a1a2a3a4a5，

将集合a1,a3,a4,a5分成两个交集为空集的子集，且这两个子集的元素之和

相等，则a1a5a3a4①或a5a1a3a4①，

将集合a2,a3,a4,a5分成两个交集为空集的子集，且这两个子集的元素之和

相等，则a2a5a3a4①或a5a2a3a4①，

由①①得a1a2，矛盾，由①①得a1a2，矛盾，

由①①得a1a2，矛盾，由①①得a1a2，矛盾，

所以五个元素的集合Aa1,a2,a3,a4,a5一定不是“可分集合”；

（3）①设集合Aa1,a2,,an所有元素之和为M，

由题意得Mai(i1,2,,n)均为偶数，所以ai(i1,2,,n)的奇偶性相同，

,n)也为奇数，

若M为奇数，则ai(i1,2, 由于Ma1a2an为奇数，所以n为奇数，

若M为偶数，则ai(i1,2, 此时设ai2bi，则b1,b2,,n)也为偶数，

,bn也是“可分集合”，

重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“可分集合”，

此时各项之和也为奇数，所以n为奇数；

①当n3时，显然集合a1,a2,a3不是“可分集合”，

当n5时，由（2）得不是“可分集合”，

当n7时，存在集合A{1,3,5,7,9,11,13}是“可分集合”，

所以集合A中元素个数的最小值为7.