数学教育哲学讲座

2023年12月31日发(作者：阜阳统考2023数学试卷)

数学教育哲学讲座

一、

数学哲学正处于Kuhn的范式革命之中。两千多年来，数学一直处在绝对主义范式的统治下，这种认识范式视数学本体上是不可误的、数学是客观真理、且数学远离人类事务和价值。当今越来越多的哲学家和数学家对此提出了异议，如Laktaos(1976)、Davis与Hersh(1980)、Tymoczko(1986),他们认为数学是可误的，像其它知识一样，数学是人类创造的产物。

这一变化的意义（放弃数学的可靠性）：

——导致人类根本没有可靠的结论；

——放弃数学与生俱来的伪安全性；

——若数学是不可误的客观知识，则数学不必承担任何社会责任；

——若数学是可误的社会建构，则数学就是一个探究和认识的过程，是人类不断创造和发明的广阔天地，是不会终结的产物。

如此动态的数学观对教育的影响举足轻重：

——数学教学的目的应包括使学生获得自我创造数学知识的能力；

——数学至少在学校要更新形式，以便所有社会群体易于接受其概念，并容易得到由它带来的财富和权利；

——再不可理所当然地把数学活动及其应用的涵义置之一边，而对数学的潜在价值作出深入的分析。

在教学领域与数学观相联系的一些基本问题：

——学习的本质：数学学习理论的基础由哪些哲学假说或可能隐含的假说所构成？应采纳何种认识论和学习论？

——教育目的：数学教育的目的是什么？谁提出的目的？为谁提出的目的？建立在什么价值标准上的目的？这个目的使谁受益，谁受损？

——数学的本质：数学教学依据什么哲学假说或可能的隐含假说？这些假说可靠吗？为达到数学教育目的应采取何种方法？这些方法和目的一致吗？

事实上，无论人们的意愿如何，一切数学教学法根本上都出于某一数学哲学，即引言

便是很不规范的教学法也如此。（Thom,1971）

问题并不在于教学的最好方式是什么，而在于数学到底是什么。┄┄如果不正视数学的本质问题，便解决不了关于教学上的争议。（Hersh,1979）

教师专业数学思想的形成与他们表达数学内容的典型方式存在着一致性，这有力说明了教师的数学观、数学信仰和爱好的确影响着他们的教学活动。

二、 绝对主义观和可误主义观

数学哲学是哲学的一个分支。它的任务是反思并解释数学的本质。

1．数学哲学 数学知识是由具有证明的一组命题所构成的，由于数学证明仅依据推理而不求助于经验材料，因此认为数学知识是所有知识中最为可靠的知识。数学哲学传统上把自己的任务看作为数学知识的可靠性提供基础，即构建一个系统。在这系统中能够编排数学知识从而能系统地建立起数学的真理性。这样做取决于或明或暗地广泛承认的下列假设：数学哲学的任务是为数学知识，也可以说是为了数学真理奠定一个系统的并且绝对可靠的基础。这个假设是基础主义的依据，也就是这样一个信条：数学哲学的作用是否为数学知识奠定可靠的基础。基础主义与数学知识的绝对观密切相关，因为基础主义把验证数学知识的绝对性这一任务视为数学哲学的中心任务。

2．数学知识的本质

传统上，数学知识一直作为可靠知识的范式。Newton的《原理》和Spinozn的《伦理学》都采用了Euclid的《几何原本》的形式（公理化思想）。长期以来，数学一直作为人类所知的最可靠知识的源泉。

知识的本质是什么？其哲学标准答案是，知识是已判定为合理的信念。更准确地说，命题型知识由得到承认（即得到相信）的命题所组成，并有充分根据判定这些命题。

知识可以按照对它进行论证的依据进行分类。先验知识由仅仅根据推理而判定的那些命题所组成，而不依赖于对现实世界的观察。数学知识属于先验知识，因为它只由基于推理而断定的命题所组成。推理包括演绎逻辑和所用的定义，连同我们所假定的数学公理或公设，构成了推断数学知识的基础。因此数学知识的基础，即确定数学命题真理性的依据，是由演绎证明所组成的。

在证明中往往用到两种类型的假设：数学的和逻辑的。逻辑假设即推理规则（整个证明理论的一部分）和逻辑句法，被认为是逻辑的基本组成部分，也是推理运用过程的组成部分。因此我们认为，逻辑毫无疑问是知识判定的依据。数学假设即数学公理或公设，是数学证明依赖的数学基础（数学假设的合理性又由谁来保证呢？）。事实上，非欧几何证明了，Euclid公理和平行公设被人们不再看作是基本的或无可争辩的真理，不再认为任何这种真理之一遭否定或拒绝时都会引起矛盾。现代数学知识包括了很多依赖于公理系假设的分支学科，而这些公理不可看作为基本的普遍真理，如群论公理或集合论公理。

3．数学知识的绝对主义观

绝对主义数学观：认为数学真理是绝对可靠的,数学是一种而且也许是唯一的一种确定的、不容置疑的客观知识领域。很多现代和传统的哲学家都持有数学知识的绝对主义观。

演绎法为数学知识的断定提供了保证。所以断定数学（和逻辑）提供绝对可靠知识即真理的依据如下：首先，证明中的基本陈述视其为真，数学公理假定为真，以便这样考虑使系统得到发展，数学定义令其为真，逻辑公理认其为真。其次，逻辑推理规则保持着真理性，即只承认由真理推导出来真理。以上述两事实为基础，可知演绎证明所确定，可知演绎证明中的每个陈述包括它的结论都真。于是，由于数学真理都是由演绎证明所确定，因此它们都是可靠真理。这就是许多哲学家所断言的数学真理都是可靠真理的基础。

这种数学知识的绝对主义观是建立在以下两种假设基础上：涉及公理和定义假设的数学假设，以及涉及公理假设、推理规则和形式语言及其句法的逻辑假设。20世纪初，当许多悖论和矛盾在数学中出现时，数学知识的绝对观就遇到了问题。如罗素悖论（Russel通过定义“不是自身的一个元素”这一特性，提出了这个悖论。Frege规则允许这一特性的外延作为一个集合。但这样一来，这个集合是自身的一个元素当且仅当它不是自身的一个元素，这就是一个矛盾。）。集合论和函数论中也出现了其他一些矛盾。这些矛盾的发现自然对数学知识的绝对主义观是潜在的致命威胁。因为，如果数学是可靠的，则它的所有定理都是可靠的，那么它的理论怎么会出现矛盾呢？既然这虚张声势矛盾的出现并无错误，那么必定在数学基础中出现了问题。这些危机带来的结果是，数学哲学的一些学派发展起来，

其目的是解释数学知识的本质并重建它们的可靠性。三大学派分别是逻辑主义、形式主义、构造主义（直觉主义）。

A．逻辑主义

逻辑主义是把纯数学作为逻辑基本构成成分的思想学派。主要倡导者有Leibniz、Frege、Russel等人。Russel的观点最为显明。主要有两个论点：（1）所有数学概念最终都可以归结为逻辑概念；（2）所有数学真理都可以单作凭公理和逻辑推演规则得到证明。

Russel等人（1910-1913）用一系列的定义确立了上述第一论点，但是在第二点上失败了。数学需要非逻辑公理如无穷公理（所有自然数的集合都是无穷的）和选择公理。因此不是所有的数学定理（真理）都能单纯从逻辑公理导出。许多重要的数学公理确实是独立的，并且无论采用这些公理还是否定这些公理都不会引起矛盾。后来逻辑主义想了许多方法来改进，但后来都失败了，因此把数学知识的确定性归结为逻辑的确定性这一逻辑主义纲领已在原则上失败了。逻辑不能为数学知识提供可靠的基础。

B．形式主义

通俗地说，形式主义是如下观点：数学是按规则在纸上用符号所做的一种无意义的形式游戏。Hilbert的形式主义纲领旨在把数学转化为不予解释的形式系统。Hilbert借助一种有限制然而有意义的元数学，通过导出所有数学真理的形式的对应产物来说明他的形式系统适合于数学，并通过相容性证明说明该形式系统对数学是可靠的。

但Godel的不完全理论（1931）证明了这是一个无法实现的纲领。其第一个定理证明了甚至不是所有算术定理都能由Peano公理（或任意一个更大的递归公理系统）导出。第二个定理证明了对所要研究的系统而言，证明其相容性需要比维持系统的“自我完善”更强的元数学，所以也就根本无所谓系统的“自我完整”可言。（形式系统无法保证自身的可靠性）

C．构造主义

构造主义纲领是数学知识的一种重建（数学活动的改革），以防止数学意义的丧失或陷入矛盾。最著名的构造主义者是直觉主义者Brouwer.

持构造主义观点的数学家的共同观点是，经典数学或许靠不住，需要用“构造”

的方法和推理重建数学。他们主张数学真理和数学对象的存在性这两者都必须由构造的方法加以确定。这即是说，证实真理性和存在性，就需要数学地加以改造。这和利用矛盾加以证明的反证法相对立（他们也不承认逻辑上的排中律）。对于构造主义者来说，知识必须通过构造主义逻辑的构造性证明加以确立。数学术语或对象的意义应通过这一形式过程，使得数学术语或对象得以构造出来。

直觉主义是构造主义的代表。其不仅无法解释非构造性经典数学的实质，而且否定它的有效性。既没有证实经典数学所面临的无法回避的问题，也没有说明经典数学的非协调性和非真实性。事实上，其纲领提出后，经典的纯粹和应用数学的走势越来越强，因此直觉主义遭到人们的拒绝。

由上述可以看到，三大学派试图为数学知识寻找可靠基础的纲领都失败了。

4．可误主义观

对数学知识的绝对主义观的否定，使之相对的数学知识可误观得到认可。

可误主义观：数学真理是可误的且是可以纠正的，决不能把数学知识看作是不能纠正或更改的真理。因此其观点有两个等价形式。其反面的表达形式：数学知识不是绝对真理，它没有绝对有效性。正面的表达形式：数学知识中可纠正的且永远要接受更正。其代表人物是Lakatos。

许多数学哲学家都承认数学知识有经验基础。

三、 数学哲学的重新认识

上面我们是在这样的假设下进行思考的：数学知识是一组附有证明的命题形式的真理，而数学哲学的功能就是建立这种知识的可靠性。当我们发现这一假设站不住脚时，就不得不重新考虑数学哲学的本质。什么是数学哲学的功能和范围呢？

数学哲学不应仅考虑其“内在问题”，而应把数学放在人类思想和人类历史的大背景中来考虑。数学哲学应该全面考虑人类创造知识的环境和数学的历史根源。

如果认识论仅注重单一静态的知识形式，而忽略知识发展的动态，那么它就不能恰当地解释知识。

绝对主义观 可误主义观

注重终结的或展现了的知识，以及注重知识发生和人类对创造知识的贡献；

知识的基础和判定；

把知识看作一种客观成果的知识，常根本否定涉及知识发生的哲学合理性，并把知识发生问题推给心理学和社会科学（构造主义除外）。

数学（连同逻辑）占有作为唯一可可误主义把更多的内容纳入了数学哲学靠知识领域的地位，数学只依赖严的范围。由于数学是可误的，因此认为数格的证明，同时还否认数学与历学绝不能与物理学及其他科学的经验（因史、知识发生以及人类环境条件相而是可误的）知识相分离。可误主义注重关的内在联系，这一切助长了把数数学知识的发生及结果，从而把数学看作学当作单独的分离学科的观点。 是历史及人类实践的组成部分。数学不能脱离人类学和社会科学，或者一般地看作人类文化的一部分。数学与人类的整体知识结构相关，是其不可分割的一部分。

数学是客观存在，无所谓价值，仅数学充满着像其他知识领域或人类奋斗涉及数学本身的内在逻辑。 一样的人性价值。

能认识到出错在数学中的作用。

仅从数学内部考虑问题，因此把数通过数学历史和社会渊源，把数学与其他学当作是客观的、绝对超道德的人人类联系在一起，认为数学赋有价值，充性价值的知识。 满道德价值和社会价值，这些价值在数学应用和发展中发挥着重要作用。

因此一种合适的数学哲学标准：数学哲学应解释（1）数学知识（它的本质、判定和生成）；（2）数学对象（它们的本质和根源）；（3）数学应用（在科学、技术和其他领域中数学的有效性）；（4）数学实践（数学家的活动：现在的和过去的）。过去对数学哲学是研究数学知识的逻辑基础的错误认识掩盖了数学哲学的上述任务。

运用新标准对各哲学学派作进一步分析：

A绝对主义学派 他们的任务本应解释数学的本质，包括解释诸如数学运用和数学生成等外在的社会及历史因素。由于三大学派狭隘、排他的固有偏见，因而他们不可能以宽广的思路去构想并表达数学（直觉主义可能除外）。他们不仅不能达到自己选择的基础主义的目标，而且即使达到了，其数学哲学对于新标准来说仍是不够恰当的。

B进步绝对主义（相对形式绝对主义而言） 不同的绝对主义概念的关键在于它们对数学知识和理论采取静态还是动态观。形式主义和逻辑主义是形式绝对主义，他们承认在数学公理基础上能够发现和证明数学理论的新定理。而他们既不触及数学理论的创造或变化，也不触及非形式数学，更不用说触及人类的作用。根据他们的观点，数学不过由固定、形式的理论所组成。

进步绝对主义哲学：（1）接受公理理论的创造和变化；（2）由于需要数学直觉作为理论创造的基础，因而承认纯形式数学之外还有其他类型的数学存在；（3）承认新知识和理论创造中人类活动和活动的结果。（直觉主义或更一般的构造主义符合这三点）

C柏拉图主义 柏拉图主义观把数学对象当作某个理念领域里的真实、客观存在。数学结构和对象不依赖于人类而真实存在，做数学即是发现这些结构和对象的先验存在关系的过程。数学知识是由这些对象以及对其关系和结构的描述所组成。（真实性、客观存在性、似自主性——即数学服从于自身的内在规律和逻辑）

缺陷：（1）没有恰当地解释数学家们如何获得柏拉图王国中的知识；（2）既不内在也不可外在地恰当地解释数学。

D约定主义 数学约定主义观认为，数学知识和真理基于语言约定。特别认为逻辑和数学的真理性，可根据所涉及的术语的意义加以分析。把语言约定作为基本数学定理的根基，数学大厦建构在这一根基上。它指明了数学的基本社会性质。

E经验主义（与Lakatos的拟经验主义相区别的“朴素经验主义”） 其关于数学本质的观点是，数学真理是经验的概括。数学概念起源于经验。数学真理可用经验来判断，即数学真理来自于对物理世界的观察。

F拟经验主义 数学是数学家做的或曾经做过的事情，它具有任何人类活动或创造所固有的不完善性。拟经验主义把数学实践放在首位。

拟经验主义数学观要点：数学是处理数学问题时人与人之间的对话。数学是可误的，决不可认为数学结果（包括概念和证明）是最终的或完善的，它们可以严密性的标准的变化，或随着新的挑战、新意义的产生，而需要重新商榷。由于数学是人类的活动，因此我们就不能把它与它的历史以及在其他领域中的应用割裂开来。拟经验主义代表着“近代数学哲学中经验主义的复兴”。

拟经验主义的五个观点：（1）数学是可误的。（2）数学是假设-演绎的。这个系统重点不在于从正确前提到结论（绝对主义观）的真理转换，而在于从谬误结论到假设前提的谬性的再转换。因为公理理论是先前存在的非形式定理（除了形式矛盾之外）。这种（非形式定理）谬子的存在说明，公理化不能真正表示非形式理论，即成为它的源头。（3）历史是核心。数学哲学的认识论任务要解释已经实际存在的数学知识。数学史是数学知识演化的历史，故数学哲学与数学史不可分割地联系着的。（4）断定非形式数学的首要性。无论是实践还是结果，非形式化数学都是至关重要的。从结果看，形式数学是形式化之后的东西，非形式化数学是一切形式数学的根源。它也是形式数学潜在谬子的根源。数学实践的重要性在于它是数学史的“材料”，是数学的似经验来源。它向个体提供演绎数学的前提和结论（非形式化的公理、定义和假设）以及联系前提和结论的非形式化证明。（5）知识创造理论。数学哲学的中心问题之一是数学发现的逻辑，或者说是数学发现的“启发过程”。它是“数学的自主辩证”——数学知识发生机理的基础。个体数学家的成果（通常是一些定义、设想和非形式证明）在此过程中接受批判，于批判中再形成，如此反复地辩证循环。

数学发现或非形式化数学理论的发展有一个简单模式，它包括下列步骤：（1）最初设想；（2）证明；（3）产生“总体”反例（最初设想的反例）；（4）重新检验证明；（5）检查其他定理的证明，以便观察在这些证明中是否出现那个新发现的引理或那个新的产生于证明的概念；或许发现这个概念处于不同证明的交合处，出现这种情况带有基本重要的意义；（6）检验那些受批驳的最初设想的而迄今仍被承认的结果；（7）反例变成新例子——开辟新的研究领域。

Lakatos的数学哲学的实质在于数学知识的发生论，这是数学实践的理论，所以

也是数学历史的理论。 Lakatos未指出数学创造或发现的心理学理论，因为他没有研究个体头脑中的公理、定义和猜想的起因，而注重于将个人的创造转换成大家承认的公开的数学知识这个过程——一个主要包括批判和再形成的过程。

拟经验主义部分地论述了数学知识的本质、它的发生和判定。除传统的形式化数学知识层次以外，Lakatos还考虑了一个新的较低级的层次（非形式化数学知识的层次。在这个知识体系中他考虑了动因，不仅用于说明低层次数学知识是如何发展的，而且还用于说明两个层次间。特别地说明了知识如何从低层次水平通过形式化反映到高层次上，且在高层次上形成理想化的映象，人们视之为不可怀疑的数学真理。Lakatos把数学知识的本质解释成假设——演绎式的、拟经验的，形成了与波普尔的科学哲学极其想像的结果。Lakatos解释了数学知识中出现的错误，提出了精辟的数学知识发生理论，从而有可能解释许多数学活动及其历史。Lakatos哲学一个关键长处在于它不是规定性的而是表述性的，他努力表述数学的本来面目，而不是表述它应该如何加以实践数学。

缺陷：没有解释数学的可靠性，没有论述数学对象或其发生的本质，没有解释应用数学的本质，没有证实把数学史作为其数学哲学的实质点的这种做法的合理性。

四、

社会建构主义将数学视为社会的建构，它吸取了约定主义的思想，承认人类知识、规则和约定对数学真理的确定和判定起着关键作用。它汲取拟经验主义的可误主义认识论，其中包括数学知识和概念是发展和变化的思想。它还采纳Lakatos的哲学论点，即按照一种数学发现的逻辑，数学知识在猜想和反驳中得到发展。社会建构主义相对规定性哲学来说是一种描述性数学哲学，旨在合适的标准下解释普遍所理解的数学的本质。

之所以采用社会建构的说法，其依据是：（1）数学知识的基础是语言知识、约定和规则，而语言是一种社会建构。（2）个人的主观数学知识公布后转化为使人接受的客观数学知识，这需要人际交往的社会过程。（3）客观性本身应理解为社会的。

像拟经验主义一样，社会建构主义的核心是数学知识的生成，而不是数学知识的作为数学哲学的社会建构主义

判定。新知识可以是主观知识或客观知识，其独到之处在于同时考虑这两种知识形式，并将主观知识和客观知识循环联系起来，其中每一个促进另一个的更新。在这个循环中，新的主观知识从主观知识（个体的个人创造）开始，经发表而形成客观知识（通过主体间的审视、再形成和接受）。在数学学习过程中客观知识被个体内化和再建构，成为个体的主观知识。根据这个知识，个体创造并发表新的数学知识，从而形成循环。因此数学主观知识和客观知识彼此促成对方的产生和再产生。

知识产生的社会建构主义学说的基本假说：

（1） 个体具有主观数学知识（再建构的客观知识和新创造的主观数学知识）。

关键区别是主观和客观知识的区别。个体的数学思想（过程及其结果——数学知识）是主观思想。这主要是学到的（再建构的客观知识和新创造的主观数学知识）知识，但是，在某些方面的强有力的制约下，再创造过程使数学有独特的主观表征。进而，个体利用这种知识建构自己独有的数学成果，即新的主观数学知识的再创造。

（2） 发表是主观数学知识变成客观知识所必要的。

个体的主观数学知识成果发表后，进入公开领域，这时它有可能变成客观知识。这取决于人们对它的接受，而首先必须对它进行物质表现（印刷、电子方式、手写或者口头表达）。（这里认为，知识不仅包括陈述，而且包括对陈述的判定，特别是以非形式的证明方式对陈述作出的判定。）

（3） 发表的数学知识历经Lakatos所说的启发式过程变为客观的知识（社会性的接受）。

Lakatos所说的启发式过程是指，发表了的数学知识必须经他人的审视和评判，才有可能重新形成并成为人们接受的客观数学知识（即社会性的接受）。虽然人们对知识总持有争议，但发表了的知识若能成功地历经启发式过程，它便足以成为人们接受的（晢时性）客观知识。

（4） 启发式过程取决于客观标准（即审视、评判数学知识的标准）。

数学知识的产生过程中，客观标准具有核心作用（我们从哲学而不是历史意义上来理解、Lakatos的数学发现自律逻辑）。用这些标准可以审视评判数学知识，它们包括公认的有效推理思想和其他基本方法的假设。

（5） 评判发表了的数学知识，其客观标准是建立在客观语言知识及数学知识的基础上。

客观标准很大程度上取决于普通语言知识，即语言的约定（约定主义的知识基础观）。这些知识都社会性地被人们所接受，因而属于客观的知识，因此发表了的数学知识和作为判定客观标准根据的语言约定，都是客观知识。

（6） 数学主观知识根本上是内化了的，再建构了的客观知识。

在循环地数学创造过程中，其关键阶段是客观数学知识和语言知识的内化，即主观内在表现。通过学习语言和数学，人们建构内在表现的知识，包括建构相应的规则、制约和检验标准。这就允许创造主观数学知识，以及参与对提出的（即发表了的）数学知识进行评判并使之再形成的过程。

（7） 在数学知识的增添、再建或再现方面，个人能够发挥作用。

个人在其主观数学知识的基础上，对客观知识的积累发挥着潜在潜在作用。这些作用能够增添、再建数学知识，或者单纯地再现已有的数学知识（受制于启发式过程）。增添的知识可以是新的猜想或证明，其中或许还有新概念或新定义，或者是对已有数学的新应用。个人发挥再建作用的结果可以是新概念或新定理，它们概括先前存在的数学知识，或者把先前两部分或更多部分的知识联系起来。课本或高水平的知识讲座是个人对现有数学知识再现所发挥的典型作用。

客观知识和主观知识

客观知识和主观知识的本质

区分客观知识和主观知识的不同点。按照Popper定义的三个世界和相应的知识类型，可以澄清这一重要区别。（我们称物质世界为“第一世界”，我们的意识经验世界为“第二世界”，书本、图书馆、电脑以及类似东西中的逻辑内容为“第三世界”。）主观知识是第二世界的知识，客观知识是第三世界的知识，它包括人类思想的产物，如发表的定理、对这些定理中有关问题的讨论以及定理证明；客观知识是由人创造的、是变化的。对于客观知识是指共有的、主体间的知识，即使是隐含、未充分表达清楚的也算在其中。

客观数学知识的作用：根据社会建构主义的看法，公开了的数学，即在公开领域中用符号表现的数学有可能成为客观知识。把Lakatos的数学发现逻辑用于公开

了的数学，这是一个获得社会承认进而获得客观性的过程。数学公理、定理、猜想以及证明一旦形成并公开（即使是口头上），自动的（即社会承认的）启发即开始进行。无论这个过程还是它的结果都是为社会所接受的，因而是客观的。同样获得社会性承认的语言、逻辑约定和规则（隐含的或明确的）也是客观的，这些约定和规则是启发式过程的依据。根据约定主义观，我们断言，正是这些约定和规则构成数学知识（包括逻辑）的基础，因为它们提供了逻辑和数学定义的根据，同样也提供了逻辑和数学公理及规则的依据。

数学主观知识的作用：主观知识维持并更新着客观知识，不管是数学、逻辑或语言的知识。主观知识在社会建构主义的数学哲学中居于核心地位。（用主观知识去解释新数学知识的起因，并要根据已有理论去解释现有知识的再创造和保持问题。）

根据以上对客观知识和主观知识的理解，我们可以采用社会建构学说对数学进行恰当的哲学解释。

社会建构学说对数学的哲学解释：

A数学的客观性

——通过对绝对主义的有力批判，我们接受了数学知识的可误性。数学知识的可误性是社会建构主义的核心假说，然而，人们仍然普遍把数学知识及数学对象的客观性作为数学的特性，所以任何一个数学哲学都必须对此作出解释。我们已经明确，客观性应理解为在于公众，在于主体之间的约定，即客观性是社会的。因此数学的客观性即是说数学知识和对象是自主存在的，对于这个存在，主体间是有约定的，而与任何个体的主观知识无关。为数学客观性提供基础的基质是语言。

B数学对象——数学知识的客观性是社会性的，它建立在人们对语言规则的接受上，而语言规则是人们交流所必须的。社会性接受也是数学对象独立存在的基础。数学概念和数学对象具有客观实在性。客观的数学定义和真理明确决定数学对象的规则和性质。这就使它们具有同其他社会概念一样多的客观存在意义。正如普通语言术语具有社会存在意义一样，数学对象通过数学知识的客观性而获得了稳定性（即定义的稳定性），接着又使自己得到了永久性和客观存在性。数学对象

的客观性是不可避免地伴随着对某些论题形式的承认而来的本体论的承诺。

数学对象也有不同，从描述感知世界的自然语言中相对具体的事物，到抽象的数学理论实体，许多东西离其基础都相当远了。然而多数数学对象比某些论题中的对象现实，这些对象是社会议定的产物，而不只是某些个人想象的结果。

许多初等数学术语和概念都是在现实世界中有实例和具体的应用，因为它们是用以描述自然（社会）世界的语言的一部分，比如“1”、“2”、“10”、“直线”、“正方形”、“三角形”等，这些术语刻画了现实世界中对象或对象集合的性质。而另一些术语如“加”、“减”、“除”、“度量”、“旋转”等则描述了能作用于具体对象的动作，这些术语名称通过它们在客观现实中的具体应用而获得了“客观性”。然而，还有一些术语如“方程”、“恒等”、“不等”等是指称语言实体的。每一个这类术语集合都描述了客观现实的各个方面——无论是外在方面还是语言方面，从而为“数学的现实”提供了实在的基础。在此基础上，另外一些数学术语如“数”、“运算”、“形状”和“变换”等得到定义，它们离开具体参照物层次。层次越高的数学术语越抽象，高层次的术语应用于低层次的术语。于是通过这样的层次结构，使所有的数学术语实际上都得到了定义并用于表示低层次的对象。这些表示与客观存在的自主对象非常想像。因此用说明数学知识是客观知识的同样方式可以说明数学对象是客观的，它们是普通的语言对象，其中有些是具体的，但多数是抽象的。

以算法为例，算法准确表示动作、程序的序列，这些动作、程序就像它们所操作的算法是那个使数学术语、乃至数学对象相互联系，从而帮助隐含地对它们定义的丰富结构的一部分。

C数学知识的发生——承认数学是社会建构的，就是承认客观数学知识是人类的产物。个体的数学思想是主观思想，书写是典型的表现形式。经过公开的批判审视，一经公布的主观思想变成了客观思想，其关键在于社会的接受。数学知识发生的决定性特征是从公开表示的（主观）数学知识向客观知识的转换，即变成社会接受的数学知识。这一转换取决于能否经受公开审视和批判的过程。

D数学创造的多样性——某些知识的增加形成了内容上的增加，而另外一些知识却是现有知识的再构造或再阐述。数学家是在已经建立的数学理论下从事工作，许多工作是在理论的现有方面发展新结果，或把理论中的现有方法用于一些问

题。如果这些工作富有成果，那么就会使数学知识在整体上有所增加。数学家还把一个理论中的概念和方法用于另一个理论，或设法使以前分隔开存在的理论有所联系。这些工作使分隔的数学间形成了新的结构联系，这就形成了新的数学再构造。如果在新的联系作用下，两个理论被重新构造、重获阐述并紧密地结合起来，那么这个工作就值得考虑了。最后在某些往往是为了解决某个问题的理论研究中，会产生新的数学理论，这些可能是额外的新理论，也可能把先前的理论纳入更大的、更一般的（普遍）的理论中去，像这样逐步走向更抽象和更一般化，是数学知识再建构的主要因素。因为越一般化的理论其运用范围越广，一些专门的前期理论可以归入更一般的结构中去（如集合论）。

E数学的可应用性

——社会建构主义要成为恰当的理论，就必须解释“数学在科学中不可思议的有效性”（Wigner,1960）。社会建构主义可以从以下两个方面解释数学的（实际）可应用性：（1）数学建立在我们经验的自然语言基础上；（2）拟经验主义的数学观说明了数学与经验科学无论如何没什么多大差别。

数学知识以自然语言的法则和约定为基础。我们知道存在着丰富的、可直接应用于我们经验世界的数学词汇，而自然语言包含运用这些词汇的法则和约定。许多法则和约定既属于数学也属于科学，使们能用其分类和定量来描述世界上的对象和事件（通过设想的解释）。自然语言的日常运用和科学运用是其作用的根本特点，语言中的数学概念在这些运用中起着核心作用。因此，数学中的语言基础以及语言在数学上发挥的其他作用在数学与现实世界的现象之间架起了一座解释性的桥梁。这样，数学的语言基础提供了数学的运用。

其次，数学与经验科学的联系比较紧密。很多经验的理论完全是用数学语言来描述的，同样很多用数学语言表现的科学问题都构成了激发数学创造的因素。由于科学的进步，需要给世界一个更为适切的模式，这就会给数学提供了发展的生长点。数学与科学从而互相培植、互相渗透，但是这一事实却被绝对主义所作的先验知识和经验知识的哲学割裂所掩盖，并被神秘化。数学在其发生及发展的全过程中，往往与经验科学相伴，通过为客观世界制作模型，来保持与之联系。此外，导致数学知识一般化和一体化也保证了这种联系以及经验世界对数学的影响不仅仅是边缘性的。随着数学的再建构和再形成，数学的应用性理论被纳入到了更

普遍的理论之中。数学的可应用性以这种方式被扩大到了数学的核心抽象理论之中，而不只是处在数学理论的边缘。总之，数学和科学的密切关系维系着数学知识的可应用性。数学和科学既是知识主体又是探究领域，它们具有共同的方法和问题。数学和科学同是社会的建构，像人类的一切知识一样，它们被在物质（和社会）世界的情境中解释人类的经验这一共同的职能联系起来。

社会建构主义与主观知识

人们如何获取主观知识包括语言知识？两大要点：第一，在经验以往知识的基础上，存在着知识的主动建构，典型的有概念和假设，它们为理解打下基础，并指导未来的行为。第二，在实际行动和讲话模式中，人的经验以及物质世界的相互作用发挥了必不缺少的作用。

主观知识的获取：（1）主观知识不是被动接受的，而是由认知主体主动建构的。认知的功能是适应并应用于个人经验世界的组构；（Glasersfeld,1989）(2)这个过程解释了世界和语言（包括数学）的主观知识。（3）物质和社会的客观制约对主观知识具有塑造作用，这种作用使得主观知识与客观知识之间相一致；（4）意义只能由个体赋予，而不是由任何符号体系固有的。

数学知识的建构：

语言知识为客观数学知识提供了基础（发生的和判定的）。获取数学知识要从获得语言知识开始。从基本数学术语的自然语言记载、这些术语的日常使用知识以及术语间的联系知识，并从提供逻辑和逻辑真理基础的规则和约定中，我们看到自然语言包含数学之基础。因为数学的发生的判定基础都是通过语言获得的，因为数学概念和命题发生的基础都是通过语言获得的，因为数学概念和命题发生的基础以及命题型数学知识的判定基础都是建立在语言知识上。另外，主观数学知识的结构，特别是它的概念结构亦是通过语言获得而建立的。

数学知识的特点之一是它具有等级性和层次性，在术语和概念中尤其如此，这就是数学知识的逻辑性质，它既显现在公开展现的客观数学知识中，又显现在主观数学知识中。客观数学知识的层次性：无论科学还是数学中的概念和术语，在任何理论中都可以分为加以定义的和当作初始的、不加定义的两部分。加以定义的

术语是其他术语来定义的，经过有限次定义环节后，从一连串定义最终可以寻踪到初始的术语，不然定义就会基于或造成无限回归状态。根据术语分为初始的和加以定义的两类，我们可作出一个简单的归纳法定义，来规定层次结构中每个术语的水平。┈┉

在主观知识领域，至少从理论上我们能够把概念类似地分为初始的观察得到的概念和用其他概念的抽象概念。这样或以赋予主观数学理论的术语和概念以层次结构。较高层次的术语是用较低层次的术语定义的。┈┉

如数学客观知识一样，数学主观知识也具有层次性。个人数学上的主观概念知识是按层次排序的。主观知识的纵向过程包括概括、抽象、具体化以及概念的形成。通常情况下，这一过程包括性质、结构或结构群向客体的转换。例如我们从顺序出发合理地再现数的概念的构建，并借以说明上述纵向过程。序数“5”与含有5个对象的计数列中第5个对象相联系，它从特定计数顺序中抽象出来，成为概括的“5”，并被用作有5个对象的整个集合的形容词。形容词“5”（用于集合）具体化成一个对象“5”，它是一个名词，一个物自体的名字。此后，这种数的集合具体化为“数”集。由此我们看到，通过抽象和具体化过程，从具体运算到最后抽象的“数”概念产生（利用序数“5”）这一途径是如何形成的。

主观数学知识的逐渐增加的复杂性可归因于对概念和性质作详尽解释和澄清的横向过程。这两种过程的方向与归纳、演绎过程所涉及的方向分别类似。

主观数学知识的概念和命题的发生有如下四个结论：（1）数学概念和命题来源并植根于自然语言的概念和命题中，它伴随语言能力而被人获取（被构造）。（2）它们可分为初始的和导出的概念和命题。概念可分为基于观察、直接感知经验的概念和用其他术语和概念语言定义的或从中抽象出来的概念。同样，命题也包括由语言获得的命题和从原有数学命题中推导出来的命题。（3）概念的区分以及这些概念定义的排序导致形成了概念的主观（或个人的）层次结构（命题按其构成的概念与该层次结构发生联系）。（4）主观数学概念和命题的发生利用导出概念和命题的纵向和横向过程。这些过程采取归纳和演绎推理的形式。

主观知识与客观知识间的关系：

数学客观知识和主观知识的关系是社会建构主义数学哲学的核心。根据这一哲学

认识，两种知识相互依存并有助于彼此再创造。首先，在教师和他人的相互作用下，并通过解释课文及其他无生命的资料，个人把客观数学知识再建构为主观知识。正如强调的那样，与他人的相互作用（特别是通过负面反馈）提供了促进个人主观数学知识与社会接受的客观数学相适应的方式。“再建构”这一用于对数学知识的主观表现的术语，决不能认为它意味着这一主观表现能与客观数学知识相匹配。再建构更应看成是主观知识或多或少地适合于社会接受的数学知识（以一种或多种表示形式）。其次，主观数学知识以两种途径对客观知识产生影响。其中一个途径是个人的数学创造经过评判而成为客观数学知识的一部分。这一途径代表着新的创造（包括原有数学的再建构）加入客观数学知识体中的途径。它还表示现有数学理论的再形成、相互联系或得到统一的方法。因此它不仅包括处于数学知识边缘的创造，而且还包括贯穿于整个数学知识体的创造。这是主观数学知识明显有助于客观数学知识创造的方式。然而主观数学知识对客观知识的贡献还有一个影响更深远但却是隐含的方式。

社会建构主义认为，客观数学知识是社会的，不包括在课本或其他记载材料中，也不包括在某种理念领域中。客观数学知识存在于社会个体成员共有的规则、约定、理解和取义中，同时亦存在于它们（必然还有其社会途径）的相互作用中。因此，随着主观知识的增长，客观数学知识在无数个人头脑中不断得到再创造和再更新。这就奠定了客观知识的基础，国为正是通过主观表现，社会、语言规则和约定以及人类相互作用才得以维持。反之，这些彼此遵守的规则使某些已形成的数学合理地成为人们可接受的客观数学知识。因此，客观数学知识通过社会群体自身的延续和繁衍面保留下来，客观数学知识通过主观数学知识（包括关于出版的数学文本中符号意义的知识）的传递而代代相传。

客观数学知识的生存依赖于社会成员的主观知识。主观知识的总和并不等于客观知识。主观知识本质上是个人所有的，而客观知识是公开的和社会的，所以虽然数学客观知识建立在对其不断地进行再创造的主观知识基础上，但它不能归约为主观知识。

数学客观知识存在并贯穿于人类的活动、相互作用和规则的社会世界中；客观知识由个人的主观数学（以及语言和社会生活）知识来维系，这些知识需要不断的再创造。主观数学知识再创造客观知识而后者不能归约为前者。通过社会作用和

社会承认的媒介，主观知识导致数学知识的发生，同时它还维持并再创造建立在个人主观知识基础上的客观知识。客观知识所体现的，正是主观知识生成和再创造得到允许的那些东西。于是得到一个循环关系：主观知识创造客观知识，反过来客观知识又导致主观知识的产生。

对社会建构主义的批评：（1）数学是随意和相对的。（数学的随意性来自数学知识建立在语言约定和规则之上这一事实。客观知识是特定人群在特定时期的知识。）（2）社会建构主义的社会群体不明。