混合型随机微分方程的传输不等式

资源大全更新时间:2025-05-11 11:40:47

2023年12月14日发(作者：2010襄阳市数学试卷)

数学物理学报2021,41A(1):227-236http:

//

act

混合型随机微分方程的传输不等式徐丽平李治**

(长江大学信息与数学学院湖北荆州434023)摘要：该文探讨一类由Wiener过程和Hurst参数1/2

<

H

<

1分数布朗运动驱动的混合

型随机微分方程.通过使用一些变换技巧和逼近方法，这类方程的强解在d2度量和一致度量

d*下的二次传输不等式被建立.关键词：传输不等式；混合型随机微分方程；分数布朗运动；轨道积分.MR(2010)主题分类：60H15;

60H05

中图分类号：0221

文献标识码：A文章编号：1003-3998(2021)01-227-101引言考虑如下的混合型随机微分方程X(t)

=

Xo

+

/

a(s,X(s))ds

+

/

b(s,X(s))dW(s)Jo

Joc(s,X

(s))dB

H

(s),t

G

[0,T],(1.1)这里a

:

[0,T]

x

及b,c

:

[0,T]

x

t

Rdxk是一些适当的函数，我们将在后面详细讨论他们；W是标准的Wiener过程，BH是Hurst参数1/2

<

1的分数布朗运动；

随机积分f(0

c(s,X(s))dBH(s)是样本轨道意义下的Riemann-Stieltjes积分，这就是说这种随

机积分是Young[22〕和Zahle[23-24〕在分数Sobolev型空间中定义的积分.考虑这种混合型随机微分方程的动机来自于金融数学.在模拟金融市场的随机性时，有

必要区分两种不同的主要随机性来源.噪音的第一个来源是证券交易所的数千个经纪人，这

类随机噪声可以被认为为白噪声，可以使用Wiener过程来模拟.第二类噪声源于常常具有

长相依性和自相似性的财政和经济状况，这类噪声能够使用Hurst参数1/2

<

H

<

1的分

数布朗运动来模拟.因此，利用Wiener过程和分数布朗运动驱动的混合型随机微分方程描

述证券的价格行为更加合理.最近，混合型随机微分方程吸引了广泛的关注•例如，Guerra和Nualart间及Kubilius[6]

考虑了混合型随机微分方程(1.1)强解的存在唯一性；Mishura和Shevchenko[12]研究了方程

收稿日期：2019-12-24;修订日期：2020-10-25E-mail:

****************基金项目：国家自然科学基金(11901058,

62076039)Supported

by

the

NSFC(11901058,

62076039)*通讯作者228数学物理学报Vol.41A(1.1)解的存在唯一性及收敛性；Mishura等【回调查了混合时滞微分方程解的Euler逼近的

收敛性；Liu和Luo®〕使用修正的Euler方法讨论了方程(1.1)解的均方收敛率；Melnikov

等［11］研究了方程(1.1)的随机可行性和比较定理.另一方面，关于各种随机过程的Talagrand

-类型的传输不等式已有大量的研究结果.

文献［2,

20-21］研究了底上的扩散过程，文献［17-18］研究了

Riemannian流形上的扩散过

程，文献［14］研究了多维半鞅，文献［19］研究了纯跳过程驱动的随机微分方程，文献［16］研

究了分数布朗运动驱动的随机微分方程，文献［8］研究了

Hurst参数1/2

1分数布朗

运动驱动的随机时滞发展方程以及文献［1］研究了

Hurst参数0

<

H

<

1/2分数布朗运动

驱动的中立性随机时滞发展方程.TCIs是处理测量现象的集中问题的有效工具，TCIs在

Tsirel\'son

-类型和Hoeffding

-类型不等式t2\'20-21!以及经验测度集中度血」9］等中的广泛应

用使得它吸引了越来越多的关注.假设(E,d)是。-域B上使得距离d(；

•)是-可测的度量空间.给定P

>

1和两

个E上的概率测度“和v,定义Wasserstein距离如下1/pW钦\"n觑,v)d(x,y)pdn(x,y)这里C(仏v)表示乘积空间E

x

E上所有边际为\"和v的概率测度.概率测度v关于\"的

相对爛定义为(几dv」l^—dv,

v《

H(v|”)

=

｛丿

d\"［+2

其他.如果存在常数c

>

0使得对任意的概率测度v,有Wp(禺

v)

W2CH(v|“),则称概率测度“满足(E,

d)上的Tp传输不等式，并记“

G

Tp(C)表示这种关系.“p

=

1”

和“p

=

2”特别令人感兴趣.Ti(C)可以很好的描述测量现象的集中问题.T2(C)比Ti(C)

强且与Poincare不等式、对数Sobolev不等式及Hamilton-Jacobi方程紧密相连.文献［2］引入的Girsanov变换方法是一类建立T?传输不等式的有效方法.使用分数布

朗运动的Girsanov定理，在Wiener积分意义下，Li和Luo^〕与Boufoussi和Hajji［1〕分别对

Hurst参数H

G

(1/2,1)和H

G

(0,1/2)分数布朗运动驱动的可加性随机发展方程建立了

T?

传输不等式.Saussereau\"〕首先在上对可加分数噪声驱动的随机微分方程建立了

T?传

输不等式，随后利用常数变异公式［23］对乘积分数噪声驱动的时齐随机微分方程给出了

T

传输不等式.尽管如此，因为积分项人b(s,X(s))dW(s)的出现，使用对可加分数噪声驱动的随机微

分方程建立的T2传输不等式及常数变异公式对混合型随机微分方程(1.1)获得T2传输不等

式似乎是无效的.此外，如果我们想直接通过对分数布朗运动使用Girsanov定理获得混合

型随机微分方程(1.1)解的T2传输不等式，那么我们将不得不估计(c(s,X(s))

-

c(s,Y(s)))dBH(s)通常我们将通过下一节的(2.4)式把估计|/：(c(s,X(s))

-

c(s,Y(s)))dBH(s)|转化为估计

||c(s,X(s))

-

c(s,Y(s))||a入但是，为了获得T2传输不等式Gronwall\'s引理将不再有效.为 No.1徐丽平等：混合型随机微分方程的传输不等式229了克服这些缺陷，我们将试图把(1.1)转变为Ito随机微分方程，构造一个Ito随机微分方

程解序列X\"使之依概率收敛到方程(1.1)的解X.进一步，我们通过对X”建立啓传输不

等式对方程(1.1)的解X建立啓传输不等式.本文结构如下：第2节给出一些必要的预备知识.第3节阐述并证明本文的主要结果.2预备知识假设(Q,

F,

P)是一个满足通常条件的过滤的完备的概率空间，也就是过滤是一个右连续递增族且Fo包含了所有的P

-零测集.设W

=

{(Wi(t),…,Wm(t)),t

>

0}是标

准的

m

-维

Ft

-适应的

Wiener

过程，BH

=

{(Bf

(t),

•••,

(t)),

t

>

0}是

r

-维

Ft

-适应

的分数布朗运动.在Rd上考虑下面的混合型随机微分方程严mX

(t)

=

Xo

+

a(s,X

(s))ds

+

Vbfc(s,X

(s))dWk(s)丿0

丿0

—严

+(s,X

(s))dBf

(s),t

G

[0,

T].(2.1)为了方便，记mb(s,X(s))dW(s):=工bk(s,X(s))dWk(s),k=1r

c(s,X(s))dBH(s)

:=

\"Cj(s,X(s))dBH(s),

j=i这里关于Wiener过程的积分是标准的ItO积分，关于分数布朗运动的积分是样本轨道的

Riemann-Stieltjes

积分*给定

t

G

[0,T].记

Wa®([t,T];

Rd),

0

1

为所有使得f

lla,~；[t,T]:=套％

(厅(s)|

+

/

冒dr)

<

8的连续函数/

:

[t,

T]

T

构成的空间.对任意的入>

0定义它的一个等价范数为f

HaA[t,T]：=膚陽厂“

(|几s)|

+

dr)

<

2对任意的0

<

“

<

1,记C\"([t,T];Rd)表示范数为11/h;[t,T]

:=

f

ll〜[t,T]

+

suPt

—

/(r)(s

—

r)M这里f

“;[t,T]

：=

sup

|/(s)|的“-HOlder连续函数/

:

[t,T]

t

se[t,T

]构成的空间.对所有的0

<

£

<

a有连续嵌入Ca+*([t,T];Rd)

c

Wa，g([t,T];Rd)

c

Ca-£([t,T];Rd).230数学物理学报给定参数0

1/2

•记皿1-a®([t,T];

Rd)为使得Vol.41A恂品…皆时：=|g(t)l

+

0<;勢(dy)

<的连续函数g

:

[t,

T]

T

Rk构成的空间.显然C1-a+e([t,T];Rd)

c

WW

1-a，8([t,T];Rd)

c

C

1-a([t,T];Rd),

Ve

>

0.记Aa(g;[t,T])

：=

~)

sup

|(DS-ags-)(r)1,r

(1

一

a)

0

=

Joxa-1e-xdx是Euler函数以及(D1-ags-)(r)于是ein(1-a)(g(r)

—

g(s)

r(a)

s

—

r1-as+

(1

—

a)

/J

rg(y)

—

g(r)

dy)弘)(r).(y

—

r)2-aAa(g;[t,

T])

<

^(1

一

a)r(a)

|g|^i—a®([o,T]；Rd)・很明显Aa(g;

[t,

T])

<

Aa(g;

[0,

T])(:=

Aa(g)).假设Wa，1([t,T];Rd)是使得f

(s)

s

—

t)atf(s)-

f(y)l a+1dyi

ds

<

xs

—

y

」的[t,T]上的可测函数

f

构成的空间•显然

Wa，-([t,T];Rd)

c

Wa，1([t,T];Rd)及

||f

||a,1；[t,T]

<

(T

+

)|f

lla,^;[0,T]

•记(。”=宀(毎

+

a]

(2-)定义

2.1

假设

0

<

a

<

1/2.如果

/

G

Wa,1([t,T];Rdxk)和

g

G

IV

1-«,~([t,T];Rk),那

么下面定义的积分[几r)dg(r)

：=

(―1)a

/

(D0+f)(r)(DS-ags-)(r)dr

0

Jo(2.3)对所有的s

G

[t,T]存在，而且/(r)dg(r)|

<0

|(DS-ags-)(r)|(D0+f

)(s)|ds(2.4)<

Aa(g；[t,T])f

l|a,1;[0,T].接下来，我们考虑如下的假设.No.1徐丽平等：混合型随机微分方程的传输不等式231(H1)存在正数Ci和一些0

G

(1

-

H,

1]使得对所有的t,

s

G

[0,T]及G便有|a(t,x)|

<

Ci(1

+

|x|),

|a(t,x)

一

a(t,y)|

<

Ci|x

一

y及|a(t,

x)

—

a(s,

x)|

<

Ci|t

—

s|©.(H2)对每一个k

=

1,

•••

和一些0

G

(1

-

H,

1],存在正数C2使得对所有的t,

s

G

[0,

T]

及x,y

G

有|bk(t,x)|

<

C2(1

+

|x|),

|bk(t,x)

—

bk(t,y)|

<

C2〔x

—

y及|bk(t,x)

—

bk

(s,

x)

|

<

C2

|t

一

屮-(H3)对每一个j

=

1,

•••

,r,

i

=

1,

•••

,d和一些0

G

(1

-

H,

1],存在正数C3使得对所有

的

s,t

G

[0,T]及

x,y

G

Rd

有|cj(t,x)|

<

c3(1

+

|x|),|cj(t,x)

-

cj(t,y)|

<

C3|x

-

y|,

和|cj(t,x)

-

cj(s,x)|

<

C3|t

-

s|0,

|dxicj(t,x)

-

dxicj(s,x)|

<

C3|t

-

s|(t,x)

-

dXicj(t,y)|

<

C3W

-

y下面的两个结果来自Mishura和Shevchenko[12].定理2.1在假设(H1)-(H3)下，方程(2.1)存在唯一解，而且llXllg;[0,T〕<

g考虑下面的方程序列Xn(t)

=

Xo

+

[

a(s,Xn(s))ds

+

[

b(s,Xn(s))dW(s)丿0

丿o+

f

c(s,Xn(s))dBH(s),

t

G

[0,T],

(2.5)丿0这里{BH,

n

>

1}

一列Hurst参数为H的分数布朗运动.定理2.2如果||Bh

-

BH||0,〜[0,t]依概率收敛到0,那么Xn(t)对t

一致的依概率收

敛到X(t).3主要结果在这一节，我们将使用逼近方法讨论方程(2.1)解的传输不等式.为此，对x

G

Rd,

n

>

1

记

kn(x)

=

|X|(|x|

A

n)及BH(t)

=

n「

k”(BH(s))ds.

(3.1)V(t-1/n)V0由文献[12,引理2.1]知对a

G

(1

-

H,

1/2)有||BH

-

kn(BH)||0g[0,T]

<

CKh(kn(BH))n1-H-a(3.2)232数学物理学报Vol.41A这里Kh(g)=

sup

气匕閒1是g的HOlder连续常数.显然0

\'

丿IIBH

—

BH

H0,8；[O,T]

<

|BH

—

kn(BH

)|〔0,8；[O,T]

+

IIBH

—

k”(BH

)||0,8；[O,T].注意到BH是连续的，于是它是有界的.因此||BH

—

kn(BH

)|〔0,8；[O,T]

t

0,

n

T结合(3.2)式和不等式Kh(kn(BH))

<

Kh(Bh)

<

8知

IIBf

—

BH

H0,8；[O,T]

T

0,

n

T

8.定理3.1假设条件(H1)-(H3)成立，是方程(2.1)解过程X(•,

Xo)的概率测度.那么概率测度在度量空间C([0,T];

Rd)上满足如下的T2(C)(a)

如果仏(九丁2)：=

sup

|yi

-

Y2|,

71,72

G

C([0,T];Rd),O

C

=

3TC4e12C2+3T(6+C3)2.(b)

如果d2(Yi,Y2)=

/

f

T

1/2|?i(t)

—

72(t)|2dd

,

71,72

G

C

([0,

T];

Rd),那么

C

=

3T2C4e12C2+3T(6+C3匚这里

C4

=

(M

+

C2)(1

+

T)

+

|b(0,

Xo)|,

M

是

X

的

HOlder

连续常数.

证定理的证明分为三步.第一步

构造序列X\"逼近X.对任意的n

>

1,假设Bf如(3.1)式定义.考虑下面的

随机微分方程Xn(t)

=

Xo

+

[

a(s,Xn(s))ds

+

[

b(s,Xn(s))dW(s)7o

7o+

fc(s,Xn(s))dBH(s),

t

G

[0,T].

Jo(3.3)由定理2.1和定理2.2知对任意的n

>

1,方程(3.3)存在唯一的解Xn(t)，且Xn(t)对t

G

[0,

T]

依概率一致收敛到X(t),当n

t

8.进一步,Xn(t)是0

-阶Holder连续的.利用(3.1)式，我们知道(3.3)式能变为下面的ItO随机微分方程Xn(t)

=

Xo

+

/

an(s,Xn(s))ds

+

/

b(s,Xn(s))dW(s),

t

G

[0,T],Jo

Jo这里ran(t,

x)

=

a(t,

x)

+Cj(t,

x)BHn,j(t)j=1r=a(t,x)

+

\"

Cj(t,x)n(kn,j(BH(t))

—

kn,j(BH((t

—

1/n)

V

0))),

j=1(3.4)No.1徐丽平等：混合型随机微分方程的传输不等式233knj(X)是kn(x)的第j个分量”

第二步

对每一个n

>

1,假设是方程(3.3)解过程Xn(.,X°)的概率测度，Q是Rd上使得Q《的任意的概率测度.对每一个n

>

1,定义〜

Qn：=dQ忒(X(•,^))P

是(忆F)上的概率测度•回忆爛的定义、使用测度变换方法利用(3.5)式知H(Q„|P)^Jn

(3.5)d◎”

=

〃n

(联(X(小)))带(X(^,X0))dp=/

l屛黑)器dPX

厶

dPX0

Xo=H(Q|PXo).由文献[3]知，存在可料过程h„(t)0

G

R满足fT

||Ms)『ds

<

g

P-a.s.及H(Qn|P)

=

H(Q|PXo

)

=

2Eq”

/

|h„(t)|2dt.〜

1

rT由Girsanov定理知对每一个n

>

1,过程(W”(t))©0,T]Wn(t)

=

W(t)

-

/„(s)ds丿0是概率空间(Q,

F,

Qn)上关于{Ft}t>0的布朗运动•于是对每一个n

>

1,在概率测度Qn下

{Xn(t,X0)}©0,T]满足Xn(t)

=

X0

+

f

an(s,Xn(s))ds

+

f

b(s,Xn(s))h”(s)ds

+

/^(s’Xn(s))dW”(s).

(3.6)

丿0

丿0现在对每一个n

>

1,考虑下面的方程在Qn下的解YnYn(t)

=

X0

+

f

an(s,Yn(s))ds

+

f

b(s,Yn(s))dW”(s).

丿0

丿0(3.7)因为k„(BH)有界，所以an对x是^pschitz连续和线性增长的.于是，对每二个n

>

1,

(3.7)

式程Qn下有唯一的解Yn,而且在Qn下Yn(.)的分布就是PX0

.因此，在Qn下(Xn,Yn)

是(Qn,

PX0

)的一对耦合，于是我们知<

Eq”

(|d2(X

n,Yn)|2)

=

Eq”

(/T

|X

n(t)

-

Yn(t)|2dt[W加(Q,

PXo)]2

<

Eq”(|d*(Xn,Yn)|2)

=

Eq”

gup」Xn(t)

-

Yn(t)|2接下来我们估计X\"和Yn关于d2和dg的距离.

由(3.6)和(3.7)式知Xn(t)

-

Yn(t)

=

/[an(s,Xn(s))

-

an(s,Yn(s))]ds

+

f

b(s,Xn(s))h”(s)dsJ0

丿0+

f[b(s,Xn(s))

-

b(s,Yn(s))]dWn(s)J0:=厶(t)

+

^2(t)

+

Za(t)

-

(3・8)234数学物理学报Vol.41A注意到an的Lipschitz常数与\"无关•实际上，利用一些简单的计算我们知an的Lipschitz

常数为C1

+

C3•从而，使用Holder\'s不等式得到岭”

o

=

EQ”

0冥0[[an(u,Xn(u))

—

a\"(u,Yn(u))]du『

[sup

|Xn(u)

—

Yn(u)|2ds.

O

t(C1

+

C)2E”3q(3.9)根据假设(H2)和X\"的Holder连续性，对任意的t

G

[0,

T]有|b(t,Xn(t))|

<

|b(t,Xn(t))

—

b(0,Xo)|

+

|b(0,Xo)<

|b(t,

Xn(t))

—

b(t,

Xo)|

+

|b(t,

Xo)

—

b(0,

Xo)|

+

|b(0,

Xo)<

C2|Xn(t))

—

X(0)|

+

C2护

+

|b(0,

Xo)<

(C2M

+

C2)护

+

|b(0,Xo)<

(M

+

C2)(1

+

T)

+

|b(0,Xo)|

:=

C4,这里M是Xn的Holder常数，并且与C1,

C2,

C3,

T,

X°,H及0无关”

因此，对每一个n

>

1知Eqn

sup

|/2(s)|2

<

C4TEq

/

|hn(t)|2dt.

\"O

fT\"

Jo(3.10)根据假设(H2)和Burkhold-Davis-Gundy\'s不等式知Eq

sup

|l3(s)|2

<

4Eq

f|b(s,Xn(s))

—

b(s,Yn(s))|2ds

O

%

JO<

4C2Eq

/

sup

|Xn(u)

—

Yn(u)|2ds.n

JO

O

sup

|Xn(s)

—

Yn(s)|2

<

3Eq

sO

O

sup

|I1(s)|2

+

3Eq

O

|/2(s)|2

+

3EqO

I12C2

+

3T(C1

+

C3)2[Eq”

supo

O

n(u)

—

Yn(u)|2ds(3•⑵+3TC：/

Eqn|hn(s)|2ds.于是，Gronwall\'s引理意味着对任意的t

>

0,有Eq”|Xn(t)

—

Yn(t)|2

<

3TC4e12C+3T(6+C3)2

/

Eq”|h”(s)|2ds.2

ftJ

o因此，我们得到广Td；(Xn,Yn)

<

3TC4e12C2

+3T(C1+C3)2

/

EQ」hn(s)|2ds,f

Td2(Xn,Yn)

<

3T2C4e12C2

+3T(6+°3)2

/

EQ」hn(s)|2ds No.1徐丽平等：混合型随机微分方程的传输不等式235及[Wfg(Q,

PJ0)]2

<

3TC4e12C2+3T(Cl+C3)2H(Q|PJ0),

[Wf2

(Q,

PJ0

)]2

<

3T2C4e12C2+3T(Ci+

C3)2H(Q|PJ0).

(3.13)(3.14)第三步

因为Xn(t)对t

G

[0,

T]

一致依概率收敛到X(t),

n

t

8,于是PX0

t

Px0当

n

t

8.由文献[15，定理3]和Wfg的定义知W茫(Q,

PX0)

T

W茫(Q,

PX0),

as

n

t

8及W『(Q,

PJ0)

t W『(Q,

PX0),当

n

t

8.另一方面，由H(Q|P)的定义知H(Q|P^0)

t

H(Q|Px0),当

n

t8.因此，在(3.13)式两边极限得到[Wfg(Q,PX0)]2

<

3TC4e12C2+3T(Cl+C3)2H(Q|Px0)及[W(2

(Q,

PX0

)]2

<

3T2C4e12C2+3T©

+C3)2H(Q|PX0).证毕.

参考文献I[1]

Boufoussi

B,

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Differential

Equa

tionsXu

Liping

Li

Zhi(School of

Information

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Mathematics,

Yangtze

University,

Hubei

Jingzhou

434023)Abstract:

In

this

paper,

we

discuss

a

class

of

stochastic

differential

equations

containing

both

Wiener

process

and

fractional

Brownian

motion

with

Hurst

parameter

1/2

<

H

<

1.

By

using

some

transformation

technique

and

approximation

argument,

we

establish

the

quadratic

transportation

inequalities

for

the

law

of

the

solution

of

the

equations

under

investigation

under

the

d2

metric

and

the

uniform

metric

words:

Transportation

inequalities;

Mixed

stochastic

differential

equations;

Fractional

Brownian

motion;

Pathwise

(2010)

Subject

Classification:

60H15;

60H05

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方程,概率,测度,使用,数学,分数,驱动,传输

本文发布于:2023-12-14 20:47:32，感谢您对本站的认可！

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方程概率测度使用数学分数驱动传输

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