药物中毒最小剂量模型

2024年3月26日发(作者：甘肃小升初数学试卷)

药物中毒最小剂量模型

数学(2) 郭子龙

摘要：

药物都有最大服用剂量，服用过多会导致危险。本文以氨茶碱片为引例，通过建立

药物中毒最小剂量模型求得服用氨茶碱片后血药浓度能达到的最大值来确定服用氨茶碱的

剂量上限。

关键词：

最小剂量 血药浓度 半衰期

正 文

1 问题的提出

氨茶碱片服用过多会使血药浓度（单位血液容积中的药量）过高，当血药浓度达到100

μg/ml时，会出现严重中毒，当达到200μg/ml则可致命。血液系统对药物的吸收率和排

除率可以由半衰期确定，从药品的说明书可知，氨茶碱吸收的半衰期约5h，排除的半衰期

为6h。现在确定对于孩子（血液总量为2000ml）及成人（血液总量为4000ml）服用氨茶碱

能引起严重中毒和致命的最小剂量。

2 合理假设与变量说明

为了判断孩子（或成人）的血药浓度会不会达到危险的水平，需要寻求胃肠道和血液系

统中的药量随时间变化的规律。记胃肠道中的药量为想x(t)，血液系统中的药量为y(t)，

时间t以及孩子（或成人）误服药的时刻为起点(t=0)。我们可以做以下假设：

2.1胃肠道中药物向血液系统的转移率与药量x(t)成正比，比例系数记作λ(λ>0)，总剂量

Hmg的药量在t=0瞬间进入胃肠道。

2.2血液系统中药物的排除率与药量y(t)成正比，比例系数记作μ(μ>0)，t=0时血液中无

药物。

2.3氨茶碱被吸收的半衰期约5h，排除的半衰期为6h。

2.4孩子的血液总量为2000ml，成人的血液总量为4000ml。

3 模型建立

根据假设对胃肠道中药量x(t)和血液系统中y(t)建立如下模型。

由假设1，x(0)=Hmg，随着药物从胃肠道向血液系统的转移，x(t)下降的速度与x(t)

本身成正比（比例系数λ>0），所以x(t)满足微分方程

dx





x,x(0)H

dt

（1）

由假设2，y(0)=0，药物从胃肠道向血液系统的转移相当于血液系统对药物的吸收，y(t)

由于吸收作用而增加的速度是λx，由于排除而减少的速度与y(t)本身成正比（比例系数

μ>0），所以y(t)满足微分方程

dy





x



y,y(0)0

dt

4 模型求解

（2）

方程（1），（2）中的参数λ和μ可由假设3中的半衰期确定。

微分方程（1）是可分离变量方程，容易得到

x(t)He





t

（3）

表明胃肠道中的药量x(t)随时间单调减少并趋于0。为了确定λ，利用药物吸收的半衰

期为5h，既x(5)=H

e

5



=x(0)/2=H/2，得λ=（ln2）/5=0.1386(1/h)。

将（3）代入方程（2），得到一阶线性微分方程，求解得

y(t)

H



(e





t

e





t

)

(4)







表明血液系统中的药量y(t)随时间先增后减并趋于0。

为了根据药物排出的半衰期为6h来确定μ，考虑血液系统只对药物进行排除的情况，

这时

y(t)

满足方程

dy





y

，若设在某时刻



有

y(



)a

，则

y(t)ae





(t



)

,t



。利

dt

用

y(



6)a/2

，可得



(ln2)/60.1155(1/h)

。

将



0.1386

和



0.1155

代入（3）,（4），得（t的单位：h；x,y的单位：mg）

x(t)He

0.1386t

(5)

y(t)6H(e

0.1155t

e

0.1386t

)

（6）

根据假设4，孩子的血液总量为2000ml,出现严重中毒的血药浓度100μg/ml和致命的

血药浓度200μg/ml分别相当于血液中药量y达到200mg和400mg。成人的血液总量为4000ml,

出现严重中毒的致命分别相当于血液中药量y达到400mg和800mg。对

f(t)e

0.1155t

e

0.1386t

作图