2011年第三届全国大学生数学竞赛预赛试题

2023年12月24日发(作者：a卷数学试卷)

第三届全国大学生数学竞赛预赛试题

（非数学类，2011）

考试形式：闭卷 考试时间：150分钟 满分：100分

一、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）计算下列各题（要求写出重要步骤）

(1+x)−e2(1−ln(1+x))(1)lim

x→0x

2x(2)设an=cos⋅cos2⋅⋅⋅⋅⋅cosn,求liman

n→∞222

θθθ（3）求∫∫sgn(xy−1)dxdy,其中D={(x,y)0≤x≤2,0≤y≤2}D

∞2n−12n−22n−1（4）求幂级数∑nx的和函数，并求级数∑2n−1的和

2n=1n=12∞

二、（本题共16分）设{an}n=0为数列，a,λ为有限数，求证：a1+a2+iii+an（1）如果liman=a,则lim=a.n→∞n→∞n(2)如果存在正整数p,使得lim(an+p−an)=λ,则limn→∞∞

anλ=n→∞np

三、（本题共15分）设函数f(x)在闭区间[-1,1]上具有连续的三阶导数，且f(−1)=0,f(1)=1,f\'(0)=0.求证：在开区间（-1，1）内至少存在一点x0,使得f\'\'\'(x0)=3.

四、（本题共15分）在平面上，有一条从点(a,0)向右的射线，其线密度为ρ.在点（0，h）处（其中h>0）有一质量为m的质点.求射线对该质点的引力.

五、（本题共15分）设z=z(x,y)是由方程11F(z+,z−)=0确定的隐函数，且具有连续的二阶偏导xy222∂z∂z∂z∂z∂z数.求证：x2+y2=0和x32+xy(x+y)+y32=0.∂x∂y∂x∂x∂y∂y

六、（本题共15分）设函数f(x)连续，a,b,c为常数，Σ是单位球面x2+y2+z2=1.记第一型曲面积分I=∫∫f(ax+by+cz)dS.求证：I=2π∫f(a2+b2+c2)duΣ−1

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