2018新课标全国卷Ⅰ高考理科数学试卷含答案

2023年12月3日发(作者：浙江卷数学试卷结构)

2018新课标I理

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1－i1．设z＝＋2i，则|z|＝

1＋i1A．0 B． C．1 D．2

21－i【解析】因z＝＋2i＝－i＋2i＝i，故|z|＝1，故选C．

1＋i2．已知集合A＝{x| x2－x－2＞0}，则∁RA＝

A．{x|

－1＜x＜2} B．{x|

－1≤x≤2} C．{x| x＜－1或x＞2} D．{x|x≤－1或x≥2}

【解析】解不等式x2－x－2＞0得，x＜－1或x＞2，故A＝{ x＜－1或x＞2}，故可以求得∁RA＝{x|

－1≤x≤2}，故选B．

3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：

则下面结论中不正确的是

A．

新农村建设后，种植收入减少

B．

新农村建设后，其他收入增加了一倍以上

C．

新农村建设后，养殖收入增加了一倍

D．

新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

【解析】设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M，则新农村建设前种植收入为0．6M，而新农村建设后的种植收入为0．74M，故种植收入增加了，故A项不正确；新农村建设前其他收入我0．04M，新农村建设后其他收入为0．1M，故增加了一倍以上，故B项正确；新农村建设前，养殖收入为0．3M，新农村建设后为0．6M，故增加了一倍，故C项正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的30%＋28%＝58%＞50%，故超过了经济收入的一半，故D正确；故选A．

4．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝

A．

－12 B．

－10 C． 10 D． 12

4×33×2详解：法一 设等差数列{an}的公差为d，∵3S3＝S2＋S4，∴33a1＋d＝2a1＋d＋4a1＋2d，2 3解得d＝－a1．∵a1＝2，∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10．

2法二 设等差数列{an}的公差为d，∵3S3＝S2＋S4，∴3S3＝S3－a3＋S3＋a4，∴S3＝a4－a3，∴3a1＋3×2d＝d．∵a1＝2，∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10．

25．设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为

A．y＝－2x B．y＝－x C．y＝2x D．y＝x

【解析】因函数f(x)是奇函数，故a－1＝0，解得a＝1，故f(x)＝x3＋x，f′(x)＝3x2＋1，故f′(0)＝1，f(0)＝0，故曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y－f(0)＝f′(0)x，化简可得y＝x，故选D．

→6．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB＝

3→1→1→3→3→1→1→3→A．AB－AC B．AB－AC C．AB＋AC D．AB＋AC

44444444【解析】根据向量的运算法则，可得

→1→1→1→1→1→1→→1→1→1→3→1→→3→1BE＝BA＋BD＝BA＋BC＝BA＋(BA＋AC)＝BA＋BA＋AC＝BA＋AC，故EB＝AB－2224242444444→AC，故选A．

7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为

A．217 B．25 C．3 D． 2

【解析】根据圆柱的三视图以及其本身的特征，可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，故所求的最短路径的长度为25，故选B．

2→→8．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2，0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则FM·FN3 ＝

A． 5 B． 6 C． 7 D． 8

2y＝（x＋2），22【解析】过点(－2，0)且斜率为的直线的方程为y＝(x＋2)，由3得x2－5x＋4＝0，33y2＝4x，x＝1，x＝4，→解得x＝1或x＝4，故或不妨设M(1，2)，N(4，4)，易知F(1，0)，故FM＝(0，2)，y＝2y＝4.→→→FN＝(3，4)，故FM·FN＝8．

xe，x≤0，9．已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a．若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是( )

ln x，x>0，A．[－1，0) B．[0，＋∞) C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)

【解析】函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1．

10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角△ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为II，其余部分记为III．在整个图形中随机取一点，此点取自I，II，III的概率分别记为p1，p2，p3，则

A． p1＝p2 B． p1＝p3

C． p2＝p3 D． p1＝p2＋p3

【解】不妨设△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC＝2，则BC＝22，故区域Ⅰ的面积即△ABC的π×（2）221面积，为S1＝×2×2＝2，区域Ⅲ的面积S3＝－S1＝π－2．区域Ⅱ的面积为S2＝π·2－22π－22S3＝2．根据几何概型的概率计算公式，得p1＝p2＝，p3＝，故p1≠p3，p2≠p3，p1≠p2＋π＋2π＋2p3，故选A．

x2211．已知双曲线C：－y＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的3交点分别为M、N．若ΔOMN为直角三角形，则|MN|＝

3A． B． 3 C．23 D． 4

22 【解析】根据题意，可知其渐近线的斜率为±3，且右焦点为F(2，0)，从而得到∠FON＝30°，3故直线MN的倾斜角为60°或120°，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60°，可以得出直线MN的方程为y＝3(x－2)，分别与两条渐近线y＝故|MN|＝3，故选B．

12．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为

3323323A． B． C． D．

4342【解析】如图，依题意，平面α与棱BA，BC，BB1所在直线所成角都相等，容易得到平面AB1C符合题意，进而所有平行于平面AB1C的平面均符合题意．由对称性，知过正方体ABCD－A1B1C1D1中心的平面面积应取最大值，此时截面为正六边形EFGHIJ．正六边形EFGHIJ的边长为正六边形分成6个边长为23233的正三角形．故其面积为6××()2＝．

24242，将该23333x和y＝－x联立，求得M(3，3)，N(，)，3322二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

x－2y－2≤013．若x，y满足约束条件x－y＋1≥0，则z＝3x＋2y的最大值为_____________．

y≤0【解析】作出可行域为如图所示的△ABC所表示的阴影区域，作出直线3x＋2y＝0，并平移该直线，当直线过点A(2，0)时，目标函数z＝3x＋2y取得最大值，且zmax＝3×2＋2×0＝6．

14．记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则S6＝_____________．

【解析】法一 因为Sn＝2an＋1，故当n＝1时，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1；

当n＝2时，a1＋a2＝2a2＋1，解得a2＝－2；

当n＝3时，a1＋a2＋a3＝2a3＋1，解得a3＝－4；

当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝2a4＋1，解得a4＝－8；

当n＝5时，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝2a5＋1，解得a5＝－16；

当n＝6时，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝2a6＋1，解得a6＝－32．

故S6＝－1－2－4－8－16－32＝－63．

法二 因为Sn＝2an＋1，故当n＝1时，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－(2an－1＋1)，故an＝2an－1，故数列{an}是以－1为首项，2为公比的等比数列，故an＝－2n1，－ －1×（1－26）故S6＝＝－63．

1－215．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）

2【解析】法一 可分两种情况：第一种情况，只有1位女生入选，不同的选法有C12C4＝12(种)；第1二种情况，有2位女生入选，不同的选法有C22C4＝4(种)．根据分类加法计数原理知，至少有1位女生入选的不同的选法有16种．

法二 从6人中任选3人，不同的选法有C36＝20(种)，从6人中任选3人都是男生，不同的选法有3＝4(种)，故至少有1位女生入选的不同的选法有20－4＝16(种)． C416．已知函数f(x)＝2sin x＋sin 2x，则f(x)的最小值是_____________．

111【解析】f′(x)＝4(1＋cos x)(－＋cos x)，故当cos x＜时函数单调减，当cos x＞时函数单调增，从222而得到函数的减区间为[2kπ－5ππππ，2kπ－](k∈Z)，函数的增区间为[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)，故当x3333π3333＝2kπ－，k∈Z时，函数f(x)取得最小值，此时sin x＝－，sin 2x＝－，故f(x)

min＝－．

3222三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：60分。

17．在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．

(1)求cos∠ADB；

(2)若DC＝22，求BC．

BDAB52【解析】(1)在△ABD中，由正弦定理得＝，即＝，故sin∠ADB＝sin 45°sin∠ADBsin∠Asin∠ADB2．由题设知，∠ADB＜90°，故cos∠ADB＝5(2)由题设及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝2·BD·DC·cos∠BDC＝25＋8－2×5×22×2231－＝．

2552．在△BCD中，由余弦定理得BC2＝BD2＋DC2－52＝25．故BC＝5．

518．如图，四边形ABCD为正方形， E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF．

(1)证明：平面PEF⊥平面ABFD；

(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值．

【解析】(1)证明 由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，又PF∩EF＝F，PF，EF⊂平面PEF，故BF⊥ 平面PEF．又BF⊂平面ABFD，故平面PEF⊥平面ABFD．

(2)解 作PH⊥EF，垂足为H．由(1)得，PH⊥平面ABFD．以H为→→坐标原点，以HF的方向为y轴的正方向，|BF|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H－xyz．由(1)可得，DE⊥PE．又DP＝2，DE＝1，故PE＝3．又PF＝1，EF＝2，故EF2＝PE2＋PF2，故PE⊥PF．可得PH＝H(0，0，0)，P(0，0，33，EH＝．则22→3333→3)，D(－1，－，0)，DP＝(1，，)，HP＝(0，0，)为平面ABFD的22222→→3HP4·DP3一个法向量．设DP与平面ABFD所成角为θ，则sin θ＝→→＝＝．故DP与平面ABFD34|HP||DP|所成角的正弦值为3．

4x2219．设椭圆C：＋y＝1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2，0)．

2(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；

(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB．

x22【解析】(1)由已知得F(1，0)，l的方程为x＝1．把x＝1代入椭圆方程＋y＝1，可得点A的坐标2为(1，2222)或(1，－)．又M(2，0)，故AM的方程为y＝－x＋2或y＝x－2．

2222(2)证明 当l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°．当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，故∠OMA＝∠OMB．当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＜2，x2＜2，直线MA，MB的斜率之和为kMA＋kMB＝y1y2＋．由y1＝k(x1－1)，x1－2x2－22kx1x2－3k（x1＋x2）＋4kx22y2＝k(x2－1)得kMA＋kMB＝．将y＝k(x－1)代入＋y＝1得(2k2＋1)x2－4k2x2（x1－2）（x2－2）＋2k2－2＝0．故2k2－24k3－4k－12k3＋8k3＋4k4k2x1＋x2＝2，xx＝．则2kx1x2－3k(x1＋x2)＋4k＝2k＋1122k2＋12k2＋1＝0．从而kMA＋kMB＝0，故MA，MB的倾斜角互补．故∠OMA＝∠OMB．

综上，∠OMA＝∠OMB．

20．某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(0＜p＜1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．

(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0；

(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费 用．

(ⅰ)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求E(X)；

(ⅱ)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

2218【解析】(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)＝C20p(1－p)18．因此f′(p)＝C220[2p(1－p)17－18p2(1－p)17]＝2C220p(1－p)(1－10p)．令f′(p)＝0得，p＝0．1．当p∈(0，0．1)时，f′(p)＞0；当p∈(0．1，1)时，f′(p)＜0．故f(p)的最大值点为p0＝0．1．

(2)由(1)知，p＝0．1．

(ⅰ)令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y～B(180，0．1)，X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y．故E(X)＝E(40＋25Y)＝40＋25E(Y)＝40＋25×180×0．1＝490．

(ⅱ)如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元．由于E(X)＞400，故应该对余下的产品作检验．

121．已知函数f(x)＝－x＋aln x．

x⑴．试讨论函数f(x)的单调性；

f(x1)－f(x2)⑵．若f(x)存在两个极值点x1，x2，证明：＜a－2．

x1－x2x2－ax＋11a【解析】(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－2－1＋＝－．

xxx2(ⅰ)若a≤2，则f′(x)≤0，当且仅当a＝2，x＝1时f′(x)＝0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减．

a－a2－4a＋a2－4a－a2－4a＋a2－4(ⅱ)若a＞2，令f′(x)＝0得，x＝或x＝．当x∈(0，)∪(，2222a－a2－4a＋a2－4a－a2－4a＋a2－4＋∞)时，f′(x)＜0；当x∈(，)时，f′(x)＞0．故f(x)在(0，)，(，2222a－a2－4a＋a2－4＋∞)上单调递减，在(，)上单调递增．

22⑵．由⑴知，f(x)存在两个极值点当且仅当a＞2．由于f(x)的两个极值点x1，x2满足x2－ax＋1＝0，f(x1)－f(x2)lnx1－lnx2lnx1－lnx21故x1x2＝1，不妨设x1＜x2，则x2＞1．由于＝－－1＋a＝－2＋a＝x1x2x1－x2x1－x2x1－x2－2ln x2f(x1)－f(x2)11－2＋a，故＜a－2等价于－x2＋2ln x2＜0．设函数g(x)＝－x＋2ln x，由⑴知，1x2xx1－x2－x2x2f(x1)－f(x2)1g(x)在(0，＋∞)单调递减，又g(1)＝0，从而当x∈(1，＋∞)时，g(x)＜0．故－x2＋2ln x2＜0，即x2x1－x2＜a－2．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22． [选修4—4：坐标系与参数方程]

在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0． (1)求C2的直角坐标方程；

(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．

【解析】（(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ得C2的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－3＝0，即(x＋1)2＋y2＝4．

(2)由(1)知C2是圆心为A(－1，0)，半径为2的圆．由题设知，C1是过点B(0，2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2．由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共|－k＋2|点且l1与C2有两个公共点．当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，故2k＋144＝2，故k＝－或k＝0．经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝－时，l1与C2只有一个33公共点，l2与C2有两个公共点．当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，故|k＋2|k2＋144＝2，故k＝0或k＝．经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝时，l2与C2没有公共点．

334综上，所求C1的方程为y＝－|x|＋2．

323． [选修4–5：不等式选讲]

已知f(x)＝|x＋1|－|ax－1|．

(1)当a＝1时，求不等式f(x)＞1的解集；

(2)若x∈(0，1)时不等式f(x)＞x成立，求a的取值范围．

－2，x≤－1，【解析】(1)当a＝1时，f(x)＝|x＋1|－|x－1|，即f(x)＝2x，－12．

(2)当x∈(0，1)时|x＋1|－|ax－1|＞x成立等价于当x∈(0，1)时|ax－1|＜1成立．若a≤0，则当x∈(0，220