2024年1月17日发(作者：数学试卷的基础部分)

南京晓庄学院

毕业论文

题目： 行列式

系别： 精算系

专业： 精算1班

班级： 13级一班

姓名： 谢亚鹏

指导教师：王新宇

目录

摘要 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 2

引言 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 3

一、行列式的定义和性质 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 3

1、行列式的定义 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 3

2、行列式的性质 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 5

二、行列式计算的若干方法 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 8

1、化三角形法 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 8

2、降阶法（按行（列）展开法） „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 14

3、升阶法（加边法） „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 18

4、拆分法 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 19

5、泰勒公式法 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 21

6、利用范德蒙行列式 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 23

7、导数法 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 24

8、积分求行列式 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 25

9、行列式乘积法 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 27

10、递推法 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 29

11、数学归纳法 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 32

12、循环矩阵的行列式的计算方法 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 35

13、利用矩阵行列式公式 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 39

14、利用方阵特征值与行列式的关系 „„„„„„„„„„„„„„„„„„ 40

结束语 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 42

参考文献 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 43

1

行列式的计算

摘要：行列式是高等数学的一个基本的概念。求解行列式是在高等代数的学习中遇到的基本问题，每一种复杂的高阶行列式都有其独特的求解方法。本文主要介绍了求行列式值的一些常用方法和一些特殊的行列式求值方法。如：化三角形法、降阶法、升阶法、泰勒公式法、范德蒙行列式等十多种方法。并对相应例题进行了分析和归纳，总结了与每种方法相适应的行列式的特征。

关键词：行列式，定义，计算方法。

The Calculation of Determinant

Xu Yuanjiao

（Department of Mathematics Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China）

Abstract: The determinant is a basic concept of higher mathematics. The solution of determinant

is the basic question, and each kind of complex higher order determinant has its special solution

method. This paper mainly introduces the methods for calculation of determinant. For example,

the triangle method, rise-lower method, analyzes the law, Taylor formula, Vandermonde

determinant, and so on. The paper also analyzes the corresponding examples, and summarizes the

characteristic of determinants corresponding to each method.

Key words: Determinant, Definition, Calculation.

引 言

2

行列式是高等代数中的重点部分，讲到行列式,我们通常会联想到用克兰姆法则求解线性方程组.但是行列式的作用不仅仅只用于求解线性方程组.在解析几何中,用行列式方法可以判别三点共线和三向量共面、计算平行六面体的体积等等.它不仅是研究线性方程组基本工具，也是讨论向量矩阵和二次型的重要工具之一。而且在科技领域中得到广泛的应用。因此行列式有着重要的作用，当然行列式的解法也有着不可替代的作用。本文将归纳和总结各种行列式的计算方法与技巧，通过进行讨论这些方法和技巧也将深刻理解数学中的相关知识。这些方法与技巧也许不能包含所有解法，随着知识的发展我们相信还会有更好的，更新的方法来解决行列式的计算问题。

一、 行列式的定义和性质

1、行列式的定义

a11a12a1na22a2nan2an2n行列式的定义为：

a21an1a11j1j2jn(1)(j1j2jn)a1j1a2j2anjn

。....ann也就是说n级行列式an1等于所有取自不同行不同列的几个元素的乘积anj(*)的代数和。这里jn是1,2„n的一个12排列，当jn是偶排列时，(*)式取正号，当jn是奇排列时(*)式取负号。定义法是计算行列式的根本方法，对任何行列式都适用。

3

0001例1：计算

分析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有4!24项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少。具体的说，展开式中的项的一般形式是a1ja2ja3ja4j。显然，如果j14，那么a1j0，12341从而这个项就等于零。因此只须考虑j14的项，同理只须考虑j23,j32,j41的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有a14a23a32a41，而(4321)6，所以此项取正号。故

0001解：

(1)(4321)a14a23a32a41(1)6123424

例2：计算行列式

2x13解：

2xx1xx211。

x

13x1(1)(123)2xxx(1)(213)x1x(1)(321)1x3(1)(132)2x12

2x

(1)(231)x13(1)(312)112

2xxxx1x1x32x12x131122xx4x232。

4

0...例3：计算0...ann

分析：展开式中的项的一般形式是a1ja2janj，在行列式第n行12n中的元素除去ann的外全为零。因而，只要考虑jnn的那些项。在第n1行中，除去an1,n1,an1,n外。其余的项全为零。因而jn1只有n1和n这两种可能，由于jnn，所以jn1只能取n1，这样逐步推上去，不难看出，在展开式中除去ann一项外，其余的项全是零，而这一项的列指标所成的排列为偶排列，故

a11a12..0...ann

0...ann解：由上面的例子我们看到当行列式中含有很多的零元素时，用定义法可以减少相加的项而使计算变得简单。我们知道n阶行列式是由n!项组成的，当行列式中元素只有几个为零或全都不是零，且n3时，用定义法计算行列式是相当复杂的。所以我们要掌握一些特殊的求高阶行列式的方法。

2、行列式的性质

性质1：行列式行列互换，行列式的值不变，即行列式与它的转置行列式的值相等。

5

a11a12a1na22a2nan2ann设行列式Da21an1

若行列式中aijaji(i,j)则称D反对称行列式。

利用反对称行列式的性质及性质1也可以解一些特殊的行列式。

例4：计算

036530291417046240597

80D141778分析：这是一个5级反对称行列式，将其每一行都乘以（－1）

则可得到它的转置行列式，故

解：DDT(1)5DDD0

我们可以证明，对于任何的奇数级反对称行列式均有DD0，但要强调指出，这个性质只适用于奇数级反对称行列式，而对于偶数级反对称行列式一般没有这个结论。

行列式性质4：如果行列式中有两行（列）相同，那么行列式为零。

行列式性质5：如果行列式中两行（列）成比例，那么行列式为零。

由这两条性质，在行列式的求解过程中，若能判断行列式符合上面的性质，则不论多么复杂的行列式，我们都可以直接判断它为零，而不需要化成别的简单的形式进行计算。

例5：计算

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a2b2c2(a1)2(b1)2(c1)2(a2)2(b2)2(c2)2(a3)2(b3)2(c3)2

d2(d1)2(d2)2(d3)2分析：这个行列式看起来比较复杂，但稍加分析便会发现，行列式的后三列元素展开后对应的成二阶等差数列，故做两次减法后便会出现相同的项。

解：从第四列起，第列减前一列，得新行列式后，后三列再依次做差。

a2Db2c22a12a32a52b12b32c12c32b52c5a2b2c22a1222b1222c1222d1220

d22d12d32d5d2例6：计算n阶行列式

a1b1Dna2b1a1b2a1bna2b2a2bn

anb1anb2anbn解:将第一行的（-1）倍加到第2，3，„，n行，得

a1b1Dna2a1a1b2a1bna2a1a2a1

ana1ana1ana1当n≥3时，由于上式右端的行列式中至少有两行成比例，故Dn=0.

当n=1时，D1a1b1；

当n=2时，D2a1b1a2b1a1b2a2b2(a1b1)(a2b2)(a1b2)(a2b1)

(a1a2)(b2b1)

7

例 7：计算行列式

1D22x2

19x2解：设Df(x)，则f(1)f0,(2所以f(x)有因子x1x,1,2,x2。

x又由于行列式的定义知f(x)应为4次多项式，即f(x)A(x1)(x1)(x2)(x2)。

令x0代入上式两端，可算出A3，故

D3(x1)(x1)(x2)(x2)

注：f(x)中的待定常数A可确定如下：D中含有x4的项为4a11a22a33a与44a31a22a13a14，所以x的系数为-3，左右两边比较系数得A3。

二、行列式计算的若干方法

1、化三角形法

由定义法的例子我们看出，如果行列式可以化成上（下）三角形，那么它的值的绝对值就是主（次）对角线上元素的乘积，值的符号由列指标的奇偶性来判断。从而，我们得出求高阶行列式的一种常用的方法——化三角形法。

能化为三角形的行列式主要有以下几种：

（1）比例相加法。行列式对角线以下（上）的元素与行列式中某一行（列）的对应元素成比例。这样的行列式，只要把行列式的某一

8

行（列）乘的适当倍数加到其它行（列），即可化为三角形。

1a1a1b1...a2.........1...1例8：计算

...anbn分析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对应相同，故用第一行的（－1）倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零。

解：将D的第一行的（－1）倍分别加到第2,3„（n1）行上去，可得

10D0...an.........00bn

............bn（2）提公因式法（Ⅰ）。行列式各行（列）元素的和都相同，这一类行列式的计算方法是把每一行（列）加到第一行（列）上，然后提取公因数，便可转化为（1）的形式或直接化为三角形的形式。

71117例9：计算

分析：这是一个四级行列式，用定义法我们知道它的值是4！个项的和，能准确的找出24项也是一件麻烦的事情，观察行列式我们会发现它每行（列）的和都是1＋1＋1＋7＝10，因此经过变换提公因数后会出现全为1的一行（列），在化三角形法中，我们最愿意看到的就是一行（列）1，故

9

解：把所有列都加到第一列，提公因数，得

10111D11711111710000610632160

由此可见，用提公因数的方法计算某些行列式，可以减少计算量，降低出现错误的可能性。我们再来看一个高阶行列式的例子。

例10：计算：

xa1Da1...a3......an......an......an

...............xn分析：观察行列式的特点，行列式每行的和都为xai，故可i1提出公因数使第一列全变为1，则便形成（1）的形式，同样可以化为三角形。

解：把各列都加到第一列，提出公因数，得

1D(xai)1ia3......an......an......an

...............x1...1再将第一列的(a1),(a2)...(an)倍分别加到第1列，得

1D(xai)i1n0xa100xa1a3a2..................00011a2a11a2a1

......xan

10

(xai)(xa1)(xa2)...(xan)

i1n（3）提公因式法（Ⅱ）。有些行列式，虽然各行（列）元素的和不相同，但第i(i2,3,...n)行（列）乘以适当的倍数加到第一行（列）后，也可以提出公因数或直接化为三角形。

例11：计算

254D1445

354727627分析：这是一个三阶行列式用前面介绍的定义法便可求出结果，即

D254545627423445(354)323545(354)4231010627254445727304105

虽然是三阶行列式，但计算量也是相当大的，仔细观察行列式会发现，行列式三行的和都是1000的倍数，且后两列的元素分别相差100，因此可以进行变换，然后提出公因数，使计算简便。

解：把第二、三列都加到第一列上，并用第二列减去第三列，则得

1000　1003271000100621113271162101327016211004431052144310511443105（1） D=200013271621

=294105

例12：计算n阶行列式

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a1c2cnb2a2bn（空白处全为0）

an分析：这个行列式中含有很多的零，但零的个数没有多到可以直接用定义法简化所有的项的和，但观察行列式会发现除第一行和第一列外，其余各行各列都只含有两个元素，且在对角线下方，只有第一列元素不为零，故只要能把第一列中ci(i2,,n)变为零就可化为三角形。

解：当ai0时,(i)将Dn的第i列乘以a1i2nci加到第一列，则得

aiD0...bn

ann

a2a3...an(a1i1bici)

ai当某一个ai0时，比如an0，则把Dn按第n列展开，可得

c2D(1)n1a2(1)2nan1cnbna2a3an1cn

bn......cnan10（4）逐行（或列）相加（减）法。有的行列式的行（列）乘的适当的倍数，逐行（列）相加（减）后，可化为前面的几种形式，进而化为三角形或直接化为三角形。

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a10a1a20010a2010001000an1例13：计算001a3

an分析：乍看行列式和前面的提公因式法的例题相似，但细看便会发现它们的不同，这个行列式前n行的和虽然都相同，但却是零，用提公因式法就没有作用了，同时我们也可以看出，对角线上方的元素要全部化为零是比较容易实现的，故此题我们用逐列相加的方法。

解：将第一列加到第二列，新的第二列加到第三列，以此类推，得

a10D0010a2002000000000n1(1)2n2(n1)a1a2an(n1)a1a2an

a303ann1111121xxx321xx4321xnn1n2n31例14：计算

分析：观察行列式的特点，主对角线上方的元素按列（行）成等差数列，而主对角线下方的元素按行（列）成常数列，故用逐行（列）相加法后，可使一部分元素变为零，而一部分全变为相同的，从而更有利于化为三角形。一般的，若行列式对角线两侧的元素有一定的规律，如：成等差数列，成等比数列或相等时，用逐行（列）相加法可

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使行列式变的简单易算。

解：从D的第二行起，每行乘以（－1）后加到上一行，则得

00D0111x0x110x110x11x111111x0111x01110111111

1(1)n101x1x从第一行开始，每行都减去下一行，又得

x1xD(1)n1000x00000000x00(1)n1xn2

011x以上的四种方法都是利用化三角形的方法来解求行列式，由定义法引申出的化三角形法是求解行列式的常用方法。由于对角线上元素相乘时要注意前面的符号，为了书写结果简单，通常我们愿意利用主对角线元素的乘积来表示结果，但若化为次对角线乘积更简便的方法，只要注意结果的符号，化为次对角线元素的乘积也是完全正确可行的。

2、降阶法 （按行（列）展开法）

降阶法与行列式按行（列）展开类似，使高阶行列式用低阶行列式来表示，逐步简化行列式的计算。

设Dnaij为n阶行列式，根据行列式的按行（列）展开定理有

Dnai1Ai1ai2Ai2ainAini1,2,,n

或

Dna1jA1ja2jA2janjAnjj1,2,,n

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其中Aij为Dn中的元素aij的代数余子式

按行（列）展开法可以将一个n阶行列式化为n个n1阶行列式计算。若继续使用按行（列）展开法，可以将n阶行列式降阶直至化为许多个2阶行列式计算，这是计算行列式的又一基本方法。但一般情况下，按行（列）展开并不能减少计算量，仅当行列式中某一行（列）含有较多零元素时，它才能发挥真正的作用。因此，应用按行（列）展开法时，应利用行列式的性质将某一行（列）化为有较多的零元素，再按该行（列）展开。

例15：计算行列式

x00g0ab0y00cz0hku000cdf。

lv 解：设原行列式为D5，按第五行展开得:

xab0D5v(1)550y000cz0ghkuxabuv(1)440y0yuv(1)0cz22xb0zxyzuv

例16：计算20阶行列式

12D203212321181920171819161718

321201918分析：这个行列式中没有一个零元素，若直接应用按行（列）展开法

15

逐次降阶直至化许许多多个2阶行列式计算，需进行20!(20-1)次加减法和乘法运算，这人根本是无法完成的，更何况是n阶。但若利用行列式的性质将其化为有很多零元素，则很快就可算出结果。

注意到此行列式的相邻两列（行）的对应元素仅差1，因此，可按下述方法计算：

解：

12318192011112121718192111Dci1ci311120321161718(i1,19)2019183211911120111111111302222(i2,,20)400222201rr21(1)21821218i120000022100000

例17：计算

0123n11012n22101n3。

n2n3n4n51n1n2n3n40

解：先将第i行减去第i+1行（i=1，2，3，„„，n-1），然后再将第n列分别加到第1列，第2列，„„，第n-1列有，

1111111111

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012101210321n1n210n3

n2n3n4n5n1n2n3n4111100001111200011112200111111011110=2220

n1n2n3

n1n220n+1按第一列展开（-1）(n1)022002220111

10(1)n1(n1)2n2。

n阶行列式D等于它的任意一行（列）各元素与其对应代数余子式乘积的和。既DaijAij(i1,2,...,n),DaijAij(j1,2,...,n)行列式按一j1i1nn行（列）展开能将高阶行列式化为阶数比较低的行列式进行计算，此法称为降阶法。这是一种计算数字行列式的常用的方法。值得注意的是在使用时应先利用行列式的性质，将某行（列）元素尽可能的多的消去零。然后再展开计算能更方便，对一些特殊构造的行列式可以利用拉普拉斯定理降阶计算。

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3、升阶法（加边法）

有时为了计算行列式，特意把原行列式加上一行一列再进行计算，这种计算行列式的方法称为加边法或升阶法。当然，加边后必须是保值的，而且要使所得的高一阶行列式较易计算。要根据需要和原行列式的特点选取所加的行和列。加边法适用于某一行（列）有一个相同的字母外，也可用于其列（行）的元素分别为n-1个元素的倍数的情况。

加边法的一般做法是：

a11a1nDna21a2nan1ann1a1an1b1bn000a11a1na11a1na21a2n

an1ann0a21a2nb20an1ann特殊情况取a1a2an1 或

b1b2bn1

当然加法不是随便加一行一列就可以了。那么加法在何时才能应用呢？关键是观察每行或每列是否有相同的因子。如下题：

例18：计算n阶行列式：

x121Dnx1x2x1x2x1x2x221x1x2x1x2x1x2xn21

分析：我们先把主对角线的数都减1，这样我们就可明显地看出第一行为x1与x1,x2,„, xn相乘，第二行为x2与x1,x2,„, xn相乘，„„，第n行为xn与 x1,x2,„, xn相乘。这样就知道了该行列式每行有相同的因子x1,x2,„, xn，从而就可考虑此法。

18

解：

1Dn00x1x2x1xnx1ni1x2x1x2xnx2x1100xnx1x2x2xn(i1,,n)ri1xir11x1x2xnx1100x2xn010001n10x1212x21

2xn11xi2c1xici1(i1,,n)x2xn010001n10001xi2

i1n注意：在家一定要记住，加边法最在的特点就是要找出每行或每列相同的因子，那么升阶之后，就可利用行列式的性质把绝大部分元素化为零，然后再化为三角形行列式，这样就达到了简化计算的效果。

4、拆分法

有些行列式，当把某一行（列）的每一个元素都看成两个元素的和然后把原行列式拆成两个行列式的和时，就可利用前面的方法来求解。

例19：计算n阶行列式

acDbb...ba...bc...cbbb

a..................分析：观察行列式的特点，主对角线上全为a，两侧一侧全为b另一侧全为a，似乎可以逐行相加的方法，但只要在草纸稍加计算便会发现，逐行相加法并不能容易的计算出这个行列式，一般的，当行列

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式主对角线元素相同，主对角线两侧元素分别全部相同时，我们用拆分法来解。

解：按Dn的第一列及第一行分别用拆分法，把Dn拆成两个行列式的和

babDnbb

..............................a0ba0...00acba...000ac...0(ac)Dn1

...............ac(ab)n1(ac)Dn1(1)同理babDnbb

..............................ab(ac)n1(ab)Dn1（2）

由（1）、（2）两式可得(cb)Dnc(ab)nb(ac)n

当c(ab)ncb时，Db(ac)nncb

b当cb时Dnb用提公因数的方法

...............a

20

1b[a(n1)1b...ba...bb...0.........ab0...0

[a(n1)0ab...

...ab[a(n1)b](ab)n1通常这类行列式我们分别按一行，一列拆分两次，然后利用二元一次方程组来解出Dn。

5、泰勒公式法

利用泰勒公式法计算行列式主要思路，根据所求行列式的特点，构造相应的行列式函数，再把行列式函数按泰勒公式在某点展开，只要求出行列式函数的各阶导数即可。

a b b ... bc a b ... b例20：求n阶行列式的值Dnc c a ... b

... ... ... ... ...c c c ... ax b b ... bc x b ... b解：把Dn看作x的函数，记Dn(x)c c x ... b则DnDn(a)

... ... ... ... ...c c c ... x将Dn(x)在xb处展开

\'\'(n)DnDn(b)2Dn(x)Dn(b)D(b)(xb)(xb)...(xb)n

2!n!\'n

21

这里

b b b ... bc b b ... b... ... ... ... ...c c c ... bb 0 0 ... 0c bc 0 ... 0b(bc)n1

... ... ... ... ...c 0 0 ... bc第k1列乘以(-1)+第k列Dn(b)c c b ... bc 0 bc ... 0kn,n1,...,2下面求Dn(x)的各阶导数

1 0 0 ... 0c x b ... b... ... ... ... ...c c c ... xx b b ... b0 1 0 ... 0... ... ... ... ...c c c ... xx b b ... bc x b ... b... ... ... ... ...0 0 0 ... 1\'Dn(x)c c x ... bc c x ... b...c c x ... b

各行列式分别按只有nDn1(x)一个元素所在行展开

1)类似的有：Dn\'\'(x)nDn\'1(x),...,Dn(n)(x)nDn(n1(x)递推关系还可以推出：

\'Dn1(x)(n1)Dn2(x)

„„

\'D2(x)2D1(x)D1\'(x)1(因为D1(x)x)\'Dn(b)nDn1(b)nb(bc)n2\'\'\'n3Dn(b)nDn1(b)n(n1)Dn2(b)n(n1)b(bc)D(x)nD(b)n(n\'\'\'n\'\'n1\'n2(b)n(n1)(n2)Dn3(b)n(n1)(n2)b(bc)n4

(n1)Dn(b)n(n1)...2D1(b)n(n1)...2b(n)Dn(b)n!代入Dn(x)在xb的泰勒公式有：

Dn(x)b(bc)n1n(n1)b(bc)n3n(n1)...2b(xb)n12nb(bc)(xb)(xb)...(xb)n2!(n1)!n2如果bc则Dn(x)00...0nb(xb)n1(xb)n(xb)n1[x(n1)b]

如果bc则

22

Dn(x) bn(n1)cnn1n22nn(bc)n(bc)(xb)(bc)(xb)...(xb)(xb)bc2!bcbcb(xc)c(xb)[(bc)(xb)]n(xb)nbcbcbcnn

(ab)n1[a(n1)b]当bc时令：xa得Dnb(ac)nc(ab)n

当bc时bc结论：只要行列式函数的各阶导数比较容易计算，则应用泰勒公式计算行列式就显得十分简便。

6、利用范德蒙行列式

范德蒙行列式：

1x1x12x1n11x2x22n1x21x3x32n1x31xn2xn1jinn1xn(xixj)

例21：计算n阶行列式

(an1)n1(an1)n2Dnan11(an1)n1(an1)n2Dnan11(an2)n1(a1)n1(an2)n2(a1)n2an21a11an1an2a1an1an2a1(an2)n1(a1)n1(an2)n2(a1)n2an21a11

解：显然该题与范德蒙行列式很相似，但还是有所不同，所以先利用行列式的性质把它化为范德蒙行列式的类型。

先将的第n行依次与第n-1行，n-2行，„,2行，1行对换，再

23

将得到到的新的行列式的第n行与第n-1行，n-2行，„,2行对换，继续仿此作法，直到最后将第n行与第n-1行对换，这样，共经过(n-1)(n-2)21n(n1)/2次行对换后，得到

1Dn(1)n(n1)21an21a11a

an2an1an1(an1)n2(an1)n1(an2)n2(a1)n2(an2)n1(a1)n1上式右端的行列式已是范德蒙行列式，故利用范德蒙行列式的结果得：

EnABnmEmBADn(1)n(n1)2

n(n1)21jin[(ani)(anj)](1)1jin(ij)

7、导数法

在分析讨论函数性质的时候，导数是一个很有力的工具，在其它场合，导数也是非常有效的。现在我们用导数来计算行列式。

例 22：证明

xa11 xa12 ... xa1nxa21 xa22 ... xa2n ... ... ... ...xan1 xan2 ... xanna11 a12 ... a1na21 a22 ... ... ... ...an1 an2 ... annx1i,jnAij

xa11 xa12 ... xa1n证明：令f(x)xa21 xa22 ... xa2n ... ... ... ...xan1 xan2 ... xann则f(x)为次数不超过n次的

24

1 1 ... 1a11 a12 ... a1n1 1 ... 1... ... ... ...an1 an2 ... ann...a11 a12 ... a1na21 a22 ... ... ... ...1 1 ... 1x的多项式且f\'(0)a21 a22 ... ... ... ...an1 an2 ... ann

A11A12...A1nA21A21...A2n...An1An2...Ann1i,jnAij

而易知f\'\'(0)f\'\'\'(0)...fn(0)从而有

f(x)f(0)xf\'(0)|aij|x1i,jnAij （1）

其中（1）式用到了0点的泰勒展开式。

8、积分求行列式

此法适用范围：把行列式某行某列改写为定积分。交换积分计算与行列式计算次序后，所得行列式比所求行列式简单。

例23：求n1阶行列式的值（n为偶数）

1 12 ... 1n 1n12 22 ... 2n 2n1Dn1... ... ... ... ...n n2 ... nn nn1nn2nnnn1 ...

23n1n21nknk(k1,2,...,n1)从而，把行列式Dn1看作解：注意到0xdxnk1

是另一个n1阶行列式函数的定积分：即

25

1 12 ... 1n 1n12 22 ... 2n 2n1Dn1... ... ... ... ...n n2 ... nn nn11n1n21nn1nn1xdx

xdx ...

xdx

xdxn0n0n0n0

1 12 ... 1n 1n12 22 ... 2n 2n11 11 ... 1n1 1n1 21 ... 2n1 2n1nn!n每行提公因子... ... ... ... ...dx... ... ... ... ...xdx

n0n02nn1n n ... n n1 n1 ... nn1 nnx x2 ... xn xn11 x1 ... xn1 xn1 1 ... 1 11 2 ... n x行列互换(n1)!... ... ... ... ...xdx被积函数可看成一个0n1n1 2n1 ... nn1 xn11n 2n ... nn xnn1阶范德蒙行列式，

1 1 1 ... 1a1 a2 a3 ... an2222利用V(a1,a2,...,an)aaa ... a1

2

3n... ... ... ... ...n1n1n1a1n1 a2 a3 ... an1ijna)j(ai这个公式我们可1 1 ... 1 11 2 ... n x以得到... ... ... ... ...c(x1)(x2)...(xn)

1n1 2n1 ... nn1 xn11n 2n ... nn xn（这里c是与x无关的整数）

所以Dn1(n1)!0xc(x1)(x2)...(xn)dxc(n1)!0x(x1)(x2)...(xn)dx

利用换元积分法作变换：xt（这里为n偶数，所以为整数）

26

nnn2n2

所以

Dn1c(n1)!x(x1)(x2)...(xn)dx0nnnn c(n1)!(t)(t1)...(t1)t(t1)...(t)dt222

n c(n1)!t(t212)(t222)...t2()2dt2 0n2n2n2n2（这里奇函数在对称区间上积分为零）

1 12 ... 1n 1n12 22 ... 2n 2n1所以：所求行列式Dn1... ... ... ... ...n n2 ... nn nn1nn2nnnn1 ...

23n1n20

结论：只要把行列式的其中一行（或一列）表为定积分后交换积分与行列式的计算顺序，如果计算简便，则便可利用行列式的积分计算。

9、行列式乘积法

1...2......1n...,其中

.bn1两个n级行列式D1和D2

的乘积等于一个n级行列式cCij是D1的第i行元素分别与D2的第j列的对应元素乘积之和，即：

27

Cijai1b1jai2b2j...ainbnj，(i,j1,2n)

利用行列式乘法的规则，我们可以把某些复杂的行列式化成两个简单的行列式的乘积的形式。

cos2cos()cos()cos2cos()cos()

cos2例24：计算cos()cos()分析：观察行列式，它的每个元素都可以分解为可分解为两项乘积的和，故由乘法定义，我们可以把它分解。

解：

coscossinsinDcossincossincossincossincoscossinsin00cos0cossincossincoscossinsincossincossincos0cos0cossincossincossinsincos

coscossinsin

cossin0sinsinsin0

例25：计算

11n1n111...1n1n1n111nnn...11n......

n1nnn...1nn分析：行列式的每项能化简成两项乘积的和。

解：

(1111212)D...............(11n12n21n1nn1)...

2n1n12n1n1(1n1n12n1)......(1nnnn2...nn)

28

11......n11n112......112...222...332...nn2......2n...n1n

1n...1n12n13n1...nn11jin(ij)(ij)

10、递推法

应用行列式的性质，把一个n阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式（比如，n-1阶或n-1阶与n-2阶等）的线性关系式，这种关系式称为递推关系式。根据递推关系式及某个低阶初始行列式（比如二阶或一阶行列式）的值，便可递推求得所给n阶行列式的值，这种计算行列式的方法称为递推法。

当行列式某一行（列）零元素比较多时，我们习惯按该行（列）展开，有时就能比较容易的求出行列式，比如：

0......0......x00yxD......................按第一列展开便得

......0xy00　0x00Dx　　　00xy　000xy　　0　　　　0　　0x　y　　　　0　　00　　0　　　y　　00　　0　　　x　y

　y(1)n1　　　　　　　　

xn(1)n1yn

29

注意：用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的相同结构如果没有的话，即很难找出递推关系式，从而不能使用此方法。

例26：

证如下行列式等式：

1Dn001000000000

1n1n1证明　：Dn,其中

（虽然这是一道证明题，但我们可以直接求出其值，从而证之。）

分析：此行列式的特点是：除主对角线及其上下两条对角线的元素外，其余的元素都为零，这种行列式称“三对角”行列式。从行列式的左上方往右下方看，即知Dn-1与Dn具有相同的结构。因此可考虑利用递推关系式计算。

证明：Dn按第1列展开，再将展开后的第二项中n-1阶行列式按第一行展开有：

Dn（＋）Dn－1－Dn－2

这是由Dn1和Dn-2表示Dn的递推关系式。若由上面的递推关系式从 n阶逐阶往低阶递推，计算较繁，注意到上面的递推关系式是由 n-1阶和 n-2阶行列式表示 n阶行列式，因此，可考虑将其变形为：

Dn－Dn－1＝Dn－1－Dn－2＝（Dn－1－Dn－2）

（Dn－1－Dn－2）或

Dn－Dn－1＝Dn－1－Dn－2＝

现可反复用低阶代替高阶，有：

30

23Dn－Dn－1＝（Dn－1－Dn－2）＝（Dn－2－Dn－3）＝（Dn－3－Dn－4）＝＝（D2－D1）=n2n－2[()()](1)2n

同样有：

23Dn－Dn－1＝（Dn－1－Dn－2）＝（Dn－2－Dn－3）＝（Dn－3－Dn－4）＝＝（D2－D1）=n2n－2[()()](2)2n

因此当时

n1n1由（1）（2）式可解得：Dn

证毕。

点评：虽然我们从一个行列式中可以看出有低阶的相同的结构，然后得到一递推关系式，但我们不要盲目乱代，一定要看清这个递推关系式是否可以简化我们的计算，如果不行的话，就要适当地换递 推关系式，如本题。

利用数学归纳法的基本思想方法，建立递推关系，即：找出Dn与Dj（jn）的递推关系，再求出D1,D2,D3低阶之间的相应递推关系，最后求出Dn，也可进一步用数学归纳法证明此递推关系的正确性。

例27：计算2n阶行列式

anan1D2ncn1cna1c1b1d1dn1dnbn1bn。

解：

31

an1a1D2n按第1行展开ancn10an1a1c1cn1(andnbncn)D2(n1)，

bn1b1d1dn1c100an1a1b1d1c1cn1bn1bn(1)12ndn10bn1dnbn1b1d1dn1cn12n11cnan1a1c1b1d1dn1

andnbncn(1)

故

D2n(andnbncn)D2(n1)

(andnbncn)(an1dn1bn1cn1)D2(n2)

(andnbncn)(an1dn1bn1cn1)(an2dn2bn2cn2)D2(n3)

(andnbncn)(an1dn1bn1cn1)(a2d2b2c2)(a1d1b1c1)

11、数学归纳法

数学归纳法是一种常用的证明方法，在行列式求解中也经常用到，通常它与递推法相结合，用递推法得出递推公式，再用数归法加以分析，便可求出结果。一般地，如果行列式对角线的元素全部相同，或只有一端的元素与其它不同，且对角线两侧，各有一列元素沿对角线方向相同，其余的全部为零，则这样的行列式，用数学归纳法求解比较容易。

32

例28：

00000000000000计算：Dn

并证明其结果。

分析：行列式主对角线上的元素都为，两侧元素沿对角线方向都相等故行列式可由递推公式表示出来。

解：按第一列展开得：

00000000000000

Dn()Dn1

()Dn1Dn2(n3)，

即有递推关系式：

Dn()Dn1Dn2，

为了得到Dn的一般表达式，可先设，采用以下归纳法：

22D1,33222D2(),443D3()2()，

由此可以猜想：

33

n1n1。

Dn证明：把第一行按行展开得递推公式，Dn()Dn1Dn2

22当n1时，D1，命题成立

当n2时，D2133，命题成立。

22k1k1假设当nk时，命题成立，即Dk

则当nk1时，Dk1()DkDk1

k1k1kk()k2k2

命题成立综上所述，由数学归纳法知，原命题成立。

例29：证明

cos10...0112cos1...0...2coscosn

2cos...0...0.........1分析：行列式主对角线上除a11外，余下各元素都相同，且对角线两侧的元素沿对角线的方向对应相等，故可用递推公式表示出来。

证明：按最后一行展开得Dn2cosDn1Dn2

当n1时，D1cos，命题成立。

当n2时，D2cos112cos2cos21cos2成立。

34

假设当nk时，命题成立，即，Dkcosk

则当nk1时，Dk12cosDkDk1

2coscoskcos(k1)1122cos(k1),命题成立

2[cos(k1)cos(k1)]cos(k1)

综上所述，由数学归纳法知，原命题成立。

12、循环矩阵的行列式的计算方法

定义 1：设a1,a2,an是n个复数，称矩阵

a1a2a3ana1a2A=an1ana1a2a3a4anan1an2，

a1是以a1,a2,an为元素的n阶循环矩阵。

引理1：设A是复数域上的n阶矩阵，1,2,n是A的特征值，

f(x)amxmam1xm1a1xa0是复数域上的m次多项式，则矩阵A的多项式f(A)amAmam1Am1a1Aa0E的特征值是f(1),f(2),,f(n)。

定理1：设A是以a1,a2,an为元素的n阶循环矩阵，则矩阵A的行列式Af(1)f(2)f(n),其中1,2,n是n次单位根。

证明：取

01000010Jn，

00011000因为

35

00100000012nJnE,JnJn,Jn,,JnE,

10000100所以Jn的特征值为xn1的根，设为1,2,,n。

令f(x)a1a2xanxn1,则A=a1Ea2JnanJnn1f(Jn)由引理1知A的特征值为f(1),f(2),,f(n)，故而Af(1)f(2)f(n),证毕。

推论1：设A是以a1,a2,an为元素的n阶循环矩阵，则A可逆的充分与必要条件是f(x)a1a2xanxn1与xn1互素，即(f(x),xn1)=1。

证明： 由Af(1)f(2)f(n),A 可逆的充分与必要条件是A0，即f(x)a1a2xanxn1与xn1没有公共根，从而(f(x),xn1)=1，证毕。

推论2：若f(x)a1a2xanxn1与xn1互素，

则f1(x)ana1xa2x2an1xn1,

f2(x)an1anxa1x2an2xn1,„„,

fn1(x)a2a3xanxn2a1xn1都与xn1互素。

证明：因为分别以f1(x),f2(x),,fn1(x)的系数为元素的循环矩阵和以f(x)的系数为元素循环矩阵的行列式最多相差一个符号，由此推论1便可推出此推论。证毕。

推论3：f(x)a0a1xa2x2amxmZx,1,2,,n是xn1的根则f(1)f(2)f(n)是整数且可被n整除。

证明：由定理1,

f(1),f(2),,f(n)是元素为整数的矩阵f(Jn)的

36

特征值，从而f(1)f(2)f(n)是迹，且等于na0，故推论成立。证毕。

定义2：设a1,a2,an是n个确定复数，Y是任意确定的非零的复数，a2a3a1a1a2YanYan1Yana1称矩阵A=Ya2Ya3Ya4an1an2an3anan1an2也称广义为n阶Y-循环矩阵，a1Yan循环矩阵，简记为a1,a2,anY。

注：定义2中的Y1就是定义1。

定理2：设n阶Y-循环矩阵A=a1,a2,anY,则矩阵A的行列式Af(1)f(2)f(n),其中f(x)a1a2xanxn1,1,2,n是多项式xnY的n个不同的根。

证明：令f(x)a1a2xanxn1,1,2,n是多项式xnY的n个不同的根，则inY(i1,2,,n)，令

112Vn1n1n1121n

，n1n由

a2a3a1a1a2YanYan1Yana1AVnYa2Ya3Ya4an1an2an3anan111an212n11n12a11n

n1nYan

37

f(2)f(1)2f(2)1f(1)

12f(1)22f(2)n1f()n1f()1221f(n)nf(n)2nf(n)

n1nf(n)两边取行列式，再由行列式的性质及Vn0，得Af(1)f(2)f(n),证毕。

例30：

A1,2,3,,n。

1nAn1221n331n2n1n2=f(1)f(2)f(n),

14其中1,2,n是xn1的根，而f(x)12x3x2nxn1，通过计算得：A(1)n1(n1)nn1。

2b例31：已知A=a,b,b,,bYc，求矩阵A的行列式：

acAccbaccbbacbbb。

a 解：设f(x)ab(xx2xn1)，

且令xn0的根为1,2,n，则由定理1知Af(1)f(2)f(n),通c(ab)nb(ac)n,cb。 过计算得Acbcb综上所述，我们知道n阶循环矩阵是n阶Y-循环矩阵的特例，故只要矩阵的结构如Y-循环矩阵的均可用此种方法进行计算。

38

13、利用矩阵行列式公式

定理：设A为nm型矩阵，B为mn型矩阵，En，Em分别表示n阶，m阶单位矩阵，则有det(EnBA)det(EmBA)

例：设A，B分别是nm和mn矩阵，0，

证明：EnABnmEmBA

证明：

EnBAEn0EnBAEn0EnABA两边取行列式得：

EmBEm0EmAEmEnBEmBEmEnAB0AEmEnABEmEnAB

又EnBEnBAEnEm01EAnBEm11BAEm0同样两边取行列式有：

得证。

AEnEm0AEnBAEmEnB10EmBAEmEn1BAEmn1EmBAnmEmBA那么对于A,B分别是nm和mn矩阵，0能否得到：

EnABnmEmBA

答案是肯定的。

证：EnBAEn0EnABA

EmBEm0Em 有：EnBAEmEnAB



1BAEm0En又

BAEnEm0En1EAnBEm1EnBAEmBAEmnmEmBA

EnABnmEmBA

39

即得：对A,B分别为nm和mn矩阵，0时，有：

EnABnmEmBA

则当1时，有：EnABEmBA

例32：计算

a1ba2a3ana1a2ba3anDna1a2a3ban

a3a1a2a3anba1ba2a3ana1a2ba令矩阵3a解：nAa1a2a3ban

a3a1a2a3anb则可得：

a1a2a3ana1a2a3an1AbEna1a2aa13nbEna1a3,a2,,an

a1a2a3a1n

bEnBn1C1n

其中

BTn1111,C1na1,a2,,an

那么根据上面所提到的引理可得：

DnbEn1nBCbbC1nBn1

又

1nC1nBn1aa11,2,,an

aii11可得：Dn1nnb(aib)

i1

14、利用方阵特征值与行列式的关系。

也以例32为例

40

a1ba2a2ba2a2a1a1a2a2a2a2a3a3a3a3ananan解：Mna1a1a1a3b

anba3ana3ana3a3anbEnAn

a3anbEna1a1显然bEn的n个特征值为b,b,,b。

An的n个特征值为ai,0,0,,0。

i1n故Mn的特征值为bai,b,b,,b 由矩阵特征值与对应行列式的i1n1n关系知：DnMnbn1(aib)

i1n注：Mn的特征值也可由特征值的定义得到。

点评：本题行列式比较特殊，可以用到此方法，对于其他的行列式，本方法一般不适用，在这仅给出做此方法参考。

问题的推广

例32中，主对角线上的元素为aibi1,2,,n ，那么我们使得主对角线上的元素为1,2,n ，n个任意数，可得下列一般的行列式：

1a1Dna1a1a1a2a3ana3an2a2a2a23ana3ana3n

分析：上面我们已经介绍了多种方法，根据这题行列式的特点，每行都有相同的因子a1,a2,,an ，所以本题适用加边法。(本题有多种解法，据上分析，仅以加边法推出。)

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1a101a2a2a3ana3ana3ana3ana3na20(n1)解：

Dn0a10a10a112a2a2a1000

a30000an000(n1)11a1

(i2,,n)1rir1112a200

nan1i1naiiaia1a20a30000an000(n1)

C11Ciaii100001a10002a200

(i2,,n)nannnnai(1).(iai)(iai)[ai.(jaj)]

aj1i1ii1i1inji特别地，当iaib时

(i1,2,,n)

Dnaibn1bnbn1(bai) 与例32的答案一致。

i1i1nn

结束语

行列式是代表某个数的一个记号，计算行列式，即是把这个记号所代表的数具体计算出来。行列式的计算方法很多，技巧性较强，本文主要介绍了十六种方法。掌握了上面所述的方法就可以解决很多行列式的计算问题。当然，以后也会出现更多解决计算行列式的方法，期望更多的人总结出更多更好的方法。

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参考文献：

[1] 张贤科，许甫华：《高等代数学》，北京，清华大学出版社，2000。

[2] 许甫华，张贤科：《高等代数解题方法》，北京，清华大学出版社，2002。

[3] 刘学鹏等：《高等代数复习与研究》，南海出版公司，1995。

[4] 张禾瑞，郝鈵新：《高等代数》，北京，高等教育出版社，1993。

[5] 徐仲：《线性代数课程学习及考研辅导》，天津，天津大学出版社，2003。

[6] 马菊侠，吴天云：《线性代数：题型归类·方法点拨·考研辅导》，北京，国防工业出版社，2005。

[7] 李师正等：《高等代数复习解题方法与技巧》，北京，高等教育出版社，2005。

[8] 张敬和等：《数学二考研题典丛书》，沈阳，东北大学出版社，2004.3。

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