2024年3月15日发(作者：数学试卷小升初2022)
质数合数、约数倍数
知识框架
一、 质数与合数
一个大于1的自然数，如果除了1和它本身，再不能被其他自然数整除，那么它就叫做质数（也叫
做素数）。
一个大于1的自然数，如果除了1和它本身，还能被其他自然数整除，那么它就叫做合数。
要特别记住：0和1不是质数，也不是合数。
质数有无限多个。最小的质数是2。合数有无限多个。最小的合数是4。
常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、
61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；
除了2其余的质数都是奇数；
除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9.
考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点.
⑵ 除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注
意.
二、 判断一个数是否为质数的方法
根据定义如果能够找到一个小于p的质数q(均为整数)，使得q能够整除p，那么p就不是质数，
所以我们只要拿所有小于p的质数去除p就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p，
我们可以先找一个大于且接近p的平方数
K
2
，再列出所有不大于K的质数，用这些质数去除p，
如没有能够除尽的那么p就为质数.
例如：149很接近
1441212
，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是
质数.
常用质数整理：101、103、107、109、113、127、131、137、139、149、151、157、163、167、
173、179、181、191、193、197、1993、1997、1999、2003、401、223、2011、2017．
三、 约数、公约数与最大公约数概念
(1)约数:在正整数范围内约数又叫因数,整数a能被整数b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数；
(2)公约数:如果一个整数同时是几个整数的约数，称这个整数为它们的“公约数”；
(3)最大公约数：公约数中最大的一个就是最大公约数；
(4)0被排除在约数与倍数之外
MSDC模块化分级讲义体系 六年级奥数.数论. 质数合数、约数倍数（ABC级）.学生版 Page 1 of 15
1. 求最大公约数的方法
分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来．
例如：
2313711
，
2522
2
3
2
7
，所以
(231,252)3721
；
21812
短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘．例如：
396
，所以
(12,18)236
；
32
辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用
辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余
数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三
个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数
就是所求的最大公约数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)．
例如，求600和1515的最大公约数：
15156002315
；
6003151285
；
315285130
；
28530915
；
301520
；所以1515和600的最大公约数是15．
2. 最大公约数的性质
①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；
②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；
③几个数都乘以一个自然数
n
，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以
n
．
3. 求一组分数的最大公约数
先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a；求出各个分数的
分子的最大公约数b；
b
即为所求．
a
4. 约数、公约数最大公约数的关系
（1）约数是对一个数说的；
（2）公约数是最大公约数的约数，最大公约数是公约数的倍数
四、 倍数的概念与最小公倍数
1. 倍数:一个整数能够被另一整数整除，这个整数就是另一整数的倍数
1) 公倍数:在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，那么这些倍数就叫做它们的公倍
数
2) 最小公倍数：公倍数中最小的那个称为这些正整数的最小公倍数。
2. 求最小公倍数的方法
分解质因数的方法；
例如：
2313711
，
2522
2
3
2
7
，所以
231,252
2
2
3
2
7112772
；
短除法求最小公倍数；
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