《九章算术》的数学贡献

2024年4月8日发(作者：小学数学试卷讲评的要点)

《九章算术》的数学贡献

刘徽是我国古代伟大的数学家.他于公元263年注写了《九章算术》,在现存文献中,第

一次对我国古代这部最著名的数学著作中正确的解法进行了全面论述和创造性证明,并对

其中某些错误给予驳正,取得了很大的成就,奠定了我国古代数学的理论基础.

(1)、在算术方面的主要成就有分数运算、比例问题和“盈不足”算法。《九章算术》

是世界上最早系统叙述了分数运算的著作，在第二、三、六章中有许多比例问题，在世界

上也是比较早的。“盈不足”算法需要给出两次假设，是一项创造，中世纪欧洲称它为“双

设法”，有人认为它是由中国经中世纪阿拉伯国家传去的．

《九章算术》中有比较完整的分数计算方法，包括四则运算，通分、约分、化带分数

为假分数等等。其步骤与方法大体与现代的雷同。

分数加减运算，《九章算术》已明确提出先通分，使两分数的分母相同，然后进行加减。

加法的步骤是“母互乘子，并以为实，母相乘为法，实如法而一”这里“实”是分子。“法”

是分母，“实如法而一”也就是用法去除实，进行除法运算，《九章算术》还注意到两点：

其一是运算结果如出现“不满法者，以法命之”。就是分子小于分母时便以分数形式保留。

其二是“其母同者，直相从之”，就是分母相同的分数进行加减，运算时不必通分，使分

子直接加减即可。

《九章算术》中还有求最大公约数和约分的方法。求最大公约数的方法称为“更相减

损”法，其具体步骤是“可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损，

求其等也。以等数约之。”这里所说的“等数”就是我们现在的最大公约数。可半者是指

分子分母都是偶数，可以折半的先把它们折半，即可先约去2。不都是偶数了，则另外摆(即

1

副置)分子分母算筹进行计算，从大数中减去小数，辗转相减，减到余数和减数相等，即得

等数。

在《九章算术》的第二、三、六等章内，广泛地使用了各种比例解应用问题。粟米章

的开始就列举了各种粮食间互换的比率如下：“粟米之法：粟率五十，粝米三十，粺米二

十七，糳米二十四，……”(图1－23)这是说：谷子五斗去皮可得糙米三斗，又可舂得九

折米二斗七升，或八拆米二斗四升，……。例如，粟米章第一题：“今有粟米一斗，欲为

粝米，问得几何”。它的解法是：“以所有数乘所求率为实，以所有率为法，实如法而一”。

《九章算术》第七章“盈不足”专讲盈亏问题及其解法其中第一题：“今有(人)共买

物，(每)人出八(钱)，盈(余)三钱；人出七(钱)，不足四(钱)，问人数、物价各几何”，“答

曰：七人，物价53(钱)。”“盈不足术曰：置所出率，盈、不足各居其下。令维乘(即交错

相乘)所出率，并以为实，并盈，不足为法，实如法而一……置所出率，以少减多，余，以

约法、实。实为物价，法为人数”。盈不足术是中国数学史上解应用问题的一种别开生面

的创造，它在我国古代算法中占有相当重要的地位。盈不足术还经过丝绸之路西传中亚阿

拉伯国家，受到特别重视，被称为“契丹算法”，后来又传入欧洲，中世纪时期“双设法”

曾长期统治了他们的数学王国。

(2)、在几何方面，主要是面积、体积计算。

《九章算术》方田章主要论述平面图形直线形和圆的面积计算方法。《九章算术》方田

章第一题“今有田广十五步，从十六步。问为田几何。”“答曰：一亩”。这里“广”就

是宽，“从”即纵，指其长度，“方田术曰：广从步数相乘得积步，以亩法二百四十步除

之，即亩数。百亩为一顷。”当时称长方形为方田或直田。称三角形为圭田，面积公式为

“术曰：半广以乘正从”。这里广是指三角形的底边，正从是指底边上的高，刘徽在注文

2

中对这一计算公式实质上作了证明：“半广者，以盈补虚，为直田也。”“亦可以半正从

以乘广”如图。

盈是多余，虚乃不足。“以盈补虚”就是以多余部分填补不足的部分，这就是我国古

代数学推导平面图形面积公式所用的传统的“出入相补”的方法，由上图“以盈补虚”变

圭田为与之等积的直田，于是得到了圭田的面积计算公式。 方田章第二十七、二十八题

把直角梯形称为“邪田”(即斜田)它的面积公式是：“术曰：并两邪(即两斜，应理解为梯

形两底)而半之，以乘正从……，又可半正从……以乘并。”刘徽在注中说明他的证法仍是

“出入相补”法。在方田章第二十九、三十题把一般梯形称为“箕田”，上、下底分别称

为“舌”、“踵”，面积公式是：“术曰：并踵舌而半之，以乘正从”。

至于圆面积，在《九章算术》方田章第三十一、三十二题中，它的面积计算公式为：

“半周半径相乘得积步”。这里“周”是圆周长，“径”是指直径。这个圆面积计算公式

是正确的。只是当时取径一周三(即π≈3)。于是由此计算所得的圆面积就不够精密。

《九章算术》商功章收集的都是一些有关体积计算的问题。但是商功章并没有论述长

方体或正方体的体积算法。看来《九章算术》是在长方体或正方体体积计算公式：V=abc

的基础上来计算其他立体图形体积的。

《九章算术》商功章提到城、垣、堤、沟、堑、渠，因其功用不同因而名称各异，其

实质都是正截面为等腰梯形的直棱柱，他们的体积计算方法：“术曰：并上、下广而半之，

以高若深乘之，又以袤乘之，即积尺”。这里上、下广指横截面的上、下底(a，b)高或深

(h)，袤是指城垣……的长(l)。因此城、垣…的体积计算术公式V=1/2(a+b)h.

3

刘徽在注释中把对于平面图形的出入相补原理推广应用到空间图形，成为“损广补狭”

以证明几何体体积公式。（此图就是堑堵）

刘徽还用棋验法来推导比较复杂的几何体体积计算公式。所谓棋验法，“棋”是指某

些几何体模型即用几何体模型验证的方法，例如长方体本身就是“棋”[图1－32(1)]斜解

一个长方体，得两个两底面为直角三角形的直三棱柱，我国古代称为“堑堵”（如图），

（此图就是堑堵）所以堑堵的体积是长方体体积的二分之一。

《九章算术》商功章还有圆锥、圆台(古代称“圆亭”)的体积计算公式。甚至对三个

侧面是等腰梯形，其他两面为勾股形的五面体[图1－33(1)]，上、下底为矩形的拟

柱体(古代称“刍童”)以及上底为一线段，下底为一矩形的拟柱体(古代称“刍

甍”)(“甍”音“梦”)等都可以计算其体积。

(3)、在代数方面，主要有一次方程组解法、开平方、开立方、一般二次方程解法等。

“方程”一章还在世界数学史上首次引入了负数及其加减法运算法则．作为一部世界科学

名著，《九章算术》在隋唐时期就已传入朝鲜、日本。现在它已被译成日、俄、德、英、法

等多种文字。

《九章算术》是世界上最早系统叙述了分数运算的著作；其中盈不足的算法更是一项

令人惊奇的创造；“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。在代

4

数方面，《九章算术》在世界数学史上最早提出负数概念及正负数加减法法则；现在中学讲

授的线性方程组的解法和《九章算术》介绍的方法大体相同。注重实际应用是《九章算术》

的一个显著特点。该书的一些知识还传播至印度和阿拉伯，甚至经过这些地区远至欧洲。

《九章算术》是几代人共同劳动的结晶，它的出现标志着中国古代数学体系的形成．后

世的数学家，大都是从《九章算术》开始学习和研究数学知识的。唐宋两代都由国家明令

规定为教科书。1084年由当时的北宋朝廷进行刊刻，这是世界上最早的印刷本数学书。

可以说，《九章算术》是中国为数学发展做出的又一杰出贡献。

5