查看更多优质解析解答一举报可化为(X＋b/(5a))^ 5=R的一元五次方程之求根公式 关于研究五次方程求根公式的问题,
如果我们不受Abel定理的约束,
那么在探索中我们会有新的发现.
从盛金公式解题法中可以受到启发,
若一元三次方程aX^3＋bX^2＋cX＋d=0可以用根式表达的公式求解,
则一定可以化为(X＋b/(3a))^3=R的方程,
事实上,
展开(X＋b/(3a))^3=R后的此方程,
无论a 、b、R为任意实数,
都可以用盛金公式②直观求解.
因此,
笔者猜想：“如果一元五次方程aX^5＋bX^4＋cX^3＋dX^2＋eX＋f=0可以用根式表达的公式求解,
那么就一定可以化为(X＋b/(5a))^5=R的方程,
展开(X＋b/(5a))^5=R的此方程,
无论a 、b、R为任意实数,
存在根式表达的公式求解.
” 经过努力探索,
笔者解决了这个猜想,
推导出“可化为(X＋b/(5a))^5=R的一元五次方程之求根公式”如下：一元五次方程：aX^5＋bX^4＋cX^3＋dX^2＋eX＋f=0 （a,
b,
c,
d,
e,
f∈R,
且a≠0） 重根判别式：A=2b^2—5ac； B=bc—5ad； C=de—5cf； D=2e^2—5df.
当A=B=C=0时,
公式⑴：X(1)=X(2)=X(3)=X(4)=X(5) =－b/(5a)=－c/(2b)=－d/c=－2e/d=－5f/e.
当A=B=0,
C≠0时,
公式⑵：X(1)=(－b＋Y^(1/5))/(5a)； X(2,
3)=(－b＋Y^(1/5)(－1－5^(1/2))/4)/(5a) ±Y^(1/5)(5－5^(1/2))^(1/2)2^(1/2)i)/4)/(5a)； X(4,
5)=(－b＋Y^(1/5)(－1＋5^(1/2))/4)/(5a) ±Y^(1/5)(5＋5^(1/2))^(1/2)2^(1/2)i)/4)/(5a).
其中Y=(5a)^3(be—25af),
i^2=－1.
判别法：当A=B=C=0时,
方程有一个五重实根； 当A=B=0时,
C≠0时,
方程有一个实根和两对共轭虚根.
（注：这个判别法是针对上述公式而言,
并非判别根的一般情况） 特点：1、当A=B=C=0时的方程,
都可以化为(X＋b/(5a))^5=0的方程,
展开(X＋b/(5a))^5=0,
无论a、b、为任意实数,
都可以用公式⑴快速求解.
2、当A=B=0,
C≠0时的方程,
都可以化为(X＋b/(5a))^5=R的方程,
展开(X＋b/(5a))^5=R,
无论a、b、R为任意实数,
都可以用公式⑵直观求解.
解题举例：例1、解方程1024X^5＋3840X^4＋5760X^3＋4320X^2＋1620X＋243=0 a=1024,
b=3840,
c=5760,
d=4320,
e=1620,
f=243.
∵A=B=C=0,
∴此方程有一个五重实根.
应用公式⑴解得：X(1)=X(2)=X(3)=X(4)=X(5)=－3/4.
这是精确结果,
把X(1)=X(2)=X(3)=X(4)=X(5)=－3/4代入原方程为零.
经检验,
解得的结果正确.
例2、解方程X^5＋15X^4＋90X^3＋270X^2＋405X—1419614=0 （值得注意：根据Abel定理,
这个五次方程无根式表达的公式求解.
） a=1,
b=15,
c=90,
d=270,
e=405,
f=－1419614.
∵A=0；B=0；C≠0,
∴此方程有一个实根和两对共轭虚根.
应用公式⑵求解.
Y=(5a)^3(be—25af)=4437053125； Y^(1/5)=85.
把有关值代入公式⑵,
得：X(1)=14； X(2,
3)=(－29－17×5^(1/2))/4±17(5－5^(1/2))^(1/2)2^(1/2)i/4； X(4,
5)=(－29＋17×5^(1/2))/4±17(5＋5^(1/2))^(1/2)2^(1/2)i/4.
这是精确结果.
为了方便用韦达定理检验,
取近似结果为宜,
就是：X(1)=14； X(2,
3)=－16.
7532889±9.
992349289i； X(4,
5)=2.
253288904±16.
16796078i.
经检验,
解得的结果正确（检验过程略）.
例3、解方程X^5＋30×23^(1/2)X^4＋8280X^3＋49680×23^(1/2)X^2＋3427920X＋2008×889^(1/2)=0 （值得注意：这是一个比较复杂的五次方程,
根据Abel定理,
这个方程无根式表达的公式求解.
） a=1,
b=30×23^(1/2),
c=8280,
d=49680×23^(1/2),
e=3427920,
f=2008×889^(1/2).
∵A=B=0,
C≠0,
∴此方程有一个实根和两对共轭虚根.
应用公式⑵求解.
Y=(5a)^3(be—25af)= 6.
146187944×10^10； Y^(1/5)=143.
7875114.
把有关值代入公式⑵,
得：X(1)=－0.
01748685988； X(2,
3)=－52.
0402972±16.
90323573i； X(4,
5)=－19.
88843222±27.
35000994i.
经用韦达定理检验,
解得的结果正确（检验过程略）.
更进一步地,
笔者猜想：当n＞5时,
如果一般n次方程可以用根式表达的公式求解,
那么就一定可以化为(X＋b/(na))^n=R的方程,
展开(X＋b/(na))^n=R后的此方程,
无论a 、b、R为任意实数,
存在公式求解.
说明：1、此文中的重根判式A、B、C、D与“科学网＞个人学术展示＞一般五次方程求根公式之探讨（一）范盛金”一文中的重根判式A、B、C、D有区别,
这是因为此文经过压缩,
精选出重根判式.
解题过程中要注意区分.
2、凡是展开(X＋b/(5a))^5=R得出的一元五次方程,
无论a 、b、R为任意实数,
都可以用公式⑵直观求解.
根据这一特点,
有理由猜想：一元五次方程存在根式表达的一般式求根公式.
这个猜想与Abel定理相违背.
3、一元五次方程方程的最简重根判别式以及公式⑴、⑵与盛金公式的表达形式类似.
很明显,
公式⑴、⑵是一般五次方程求公式的其中情形的公式.
4、能否完整地推导出根式表达的一般五次方程求根公式?这是世界数学史上最著名的难题之一,
是一个相当复杂的问题,
但值得探索.
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