柯西积分不等式怎么证

答案解析

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g(x)在区间[a,

b]可积,

a≤b∵对任意t∈R,

有(tf(x)-g(x))²≥0=>∫[a,

b](tf(x)-g(x))²dx≥0=>t²∫[a,

b]f²(x)dx-2t∫[a,

b]f(x)g(x)dx+∫[a,

b]g²(x)dx≥0记A=∫[a,

b]f²(x)dx,

B=2∫[a,

b]f(x)g(x)dx,

C=∫[a,

b]g²(x)dx则上式变为At²-Bt+C≥0,

对任意t∈R成立∴该二次函数判别式△=B²-4AC≤0即(∫[a,

b]f(x)g(x)dx)²≤(∫[a,

b]f²(x)dx)(∫[a,

b]g²(x)dx)注：这里若a>b,

该积分不等式也成立,

只需把a,

b交换证明即可