答案解析

查看更多优质解析解答一举报只有当二元函数f(x,

y)的2个偏导数都存在的时候,

才有,

方向导数的这个公式：fx(x0,

y0)cosa+fy(x0,

y0)cosb 对于函数 f(x,

y) = [x^2 + y^2]^（1/2),

fx(x,

y) = x[x^2 + y^2]^（-1/2),

fy(x,

y) = y[x^2 + y^2]^（-1/2),

x^2 + y^2 不等于0,

也就是x,

y不能同时为0.

你说的非常正确,

在(0,

0)处,

fx(0,

0)根本就不存在.

这个时候,

要计算（0,

0）处的方向导数.

只能利用方向导数的定义了.

比如,

要算 y = kx 方向上的方向导数.

f(x,

y) = f(x,

kx) = [(1+k^2)x^2]^(1/2),

f(0,

0) = 0.

[(x-0)^2 + (y-0)^2]^(1/2) = [x^2 + k^2x^2]^(1/2) = [(1+k^2)x^2]^(1/2).

lim_{y=kx,

(x,

y)->(0,

0)}{[f(x,

y)-f(0,

0)]/[(x-0)^2 + (y-0)^2]^(1/2)} = lim_{x->0}{[f(x,

kx)-f(0,

0)]/[(x-0)^2 + (kx-0)^2]^(1/2)} = lim_{x->0}{[f(x,

kx)]/[(x-0)^2 + (kx-0)^2]^(1/2)} = lim_{x->0}{[(1+k^2)x^2]^(1/2)/[(1+k^2)x^2]^(1/2)}= lim_{x->0}{1}= 1.

我想,

这就是书上说在(0,

0)处函数 f(x,

y) = [x^2 + y^2]^（1/2)沿某方向的方向导数等于1,

的原由吧.

可以肯定地说,

这是利用方向导数的定义算出来的.

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