裂项相消法 万能公式（裂项相消法的几个公式）

1、裂项法 裂项法求和? 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如： （1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)? （2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)] （3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)] （4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b) （5）?n·n!=(n+1)!-n! [例1]?【分数裂项基本型】求数列an=1/n(n+1)?的前n项和. 解：an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)?（裂项）? 则?sn=1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)（裂项求和）? ＝?1-1/(n+1) ＝?n/(n+1) ?[例2]?【整数裂项基本型】求数列an=n(n+1)?的前n项和. 解：an=n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3（裂项）? 则?sn=[1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+……+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3（裂项求和）? ＝?(n-1)n(n+1)/3 小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。

2、只剩下有限的几项。

3、? 注意：余下的项具有如下的特点? 1余下的项前后的位置前后是对称的。

4、? 2余下的项前后的正负性是相反的。

5、? 易错点：注意检查裂项后式子和原式是否相等，典型错误如：1/(3×5)=1/3-1/5（等式右边应当除以2） 附：数列求和的常用方法： 公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。

6、(关键是找数列的通项结构)? 分组法求数列的和：如an=2n+3n? 2、错位相减法求和：如an=n·2^n 3、裂项法求和：如an=1/n(n+1)? 4、倒序相加法求和：如an=?n 5、求数列的最大、最小项的方法： ①?an+1-an=……?如an=?-2n2+29n-3? ②?(an>0)?如an=? ③?an=f(n)?研究函数f(n)的增减性?如an=?an^2+bn+c(a≠0) 6、在等差数列?中,有关sn?的最值问题——常用邻项变号法求解： (1)当?a1>0,d<0时，满足{an}的项数m使得sm取最大值. (2)当?a1<0,d>0时，满足{an}的项数m使得sm取最小值. 在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

7、原式=1/[n(n+1)]-1/[n(n+2)]=1/n-1/(n+1)-[1/2n-1/2(n+2)]=1/2n-1/(n+1)+1/2(n+2).通项：s=∑（等差数列an）*（等比数列bn）（公比q）*s=公比*∑（等差数列an）*（等比数列bn）=∑（等差数列an）*（公比*等比数列qbn）=∑（等差数列an）*（等比数列bn+1）相减：（公比q-1）*s=-a1*b1+∑（公差d）*（等比数列bn）[从第二项到第n项]+an*bn+1?原式=1/[n(n+1)]-1/[n(n+2)]=1/n-1/(n+1)-[1/2n-1/2(n+2)]=1/2n-1/(n+1)+1/2(n+2)。