八年级上册第一章《勾股定理》测试题(附答案 (三篇)

八年级上册第一章《勾股定理》测试题(附答案

八年级上册数学

第1章检测题

一﹑选择题(每小题3分, 共30分)

1. 一直角三角形的斜边长比一直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为

（ ）

A. 4

B. 8

C. 10

D. 12

2.小丰的妈妈买了一部29英寸(74cm)的电视机,下列对29英寸的说法中正确的是( )

A. 小丰认为指的是屏幕的长度 B. 小丰的妈妈认为指的是屏幕的宽度

C. 小丰的爸爸认为指的是屏幕的周长 D. 售货员认为指的是屏幕对角线的长度

3.如图1，中字母A所代表的正方形的面积为( )

A. 4 B. 8 C. 16 D. 64

4. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )

A. 钝角三角形 B. 锐角三角形

B. C. 直角三角形 D. 等腰三角形

5. 一直角三角形的一条直角边长是7cm , 另一条直角边与斜边长的和是49cm ,

则斜边的长( )

A. 18cm B. 20 cm C. 24 cm D. 25cm

6. 适合下列条件的△ABC中, 直角三角形的个数为( )

111①a,b,c; ②a6,∠A=450; ③∠A=320, ∠B=580;

3452253

289

A

（图1）

④a7,b24,c25; ⑤a2,b2,c4.

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

7. 在⊿ABC中，若an21,b2n,cn21，则⊿ABC是（ ）

A. 锐角三角形

B. 钝角三角形

C. 等腰三角形

D.

直角三角形

8. 直角三角形斜边的平方等于两条直角边乘积的2倍, 这个三角形有一个锐角- 1 - / 5 八年级上册第一章《勾股定理》测试题(附答案

是( )

A. 15° B. 30° C.

A

45° D. 60°

9.已知，如图2，长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，B

将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（ ）

A．6cm2 B．8cm2 C．10cm2 D

12cm2

10．已知，如图3，，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ）

A．25海里 B．30海里 C．35海里 D．40海里

二﹑填空题 (每小题3分, 共24分)

11. 利用图（1）或图（2）两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为 ，该定理的结论其数学表达式是 ．

F

C

E

D

（图2）

北

A

东

南 （图3）

12.如图5， 等腰△ABC的底边BC为16, 底边上的高AD为6, 则腰长AB的长为____________.

13.如图6，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200m，结果他在水中实际游了520m，求该河流的宽度为_________ m.

D

B200mCA

C

520mB

BC

ADO

A

（图4） （ 图5） （图6）

14. 小华和小红都从同一点O出发，小华向北走了9米到A点，小红向东走了12米到了B点，则AB________米．

15. 一个三角形三边满足(a+b)2-c2＝2ab, 则这个三角形是 三角形.

16. 木工做一个长方形桌面, 量得桌面的长为60cm, 宽为32cm, 对角线为68cm,

- 2 - / 5 八年级上册第一章《勾股定理》测试题(附答案

这个桌面 (填”合格”或”不合格”).

17. 直角三角形一直角边为12cm，斜边长为13cm，则它的面积为 ．

18. 如图7，一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、3、2，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是 .

三、 解答题 (共46分)

19. (6分) 如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，请问它飞行的最短路程是多少米？（先画出示意图，然后再求解）

20. (6分)如图, 在△ABC中, AD⊥BC于D, AB=3, BD=2, DC=1, 求AC2的值.

A

B D C

21. (8分)小明的叔叔家承包了一个矩形鱼池，已知其面积为48m2，其对角线长- 3 - / 5 八年级上册第一章《勾股定理》测试题(附答案

为10m，为建栅栏，要计算这个矩形鱼池的周长，你能帮助小明算一算吗？

22．(10分)如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域.

（1） A城是否受到这次台风的影响？为什么？

（2） 若A城受到这次台风影响，那

么A城遭受这次台风影响有多长时北

间？

E

F

东

B

A

四、创新探索题

一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B’点,那么沿哪条路最近,最短的路程是Dˊ

多少?已知长方体的长2cm、宽为1cm、高为4cm.

Aˊ

Bˊ

Cˊ

- 4 - / 5

D

A

C

B 八年级上册第一章《勾股定理》测试题(附答案

八年级下册第二单元测题参考答案

一1.C 2.D 3.D 4.C 5.D 6.A 7.D 8.C 9.A 10.D

二11、勾股定理，a2b2c2 ；12、10；13、480； 14、15；15、直角；16、合格；17、30；18、25.

三19、13米

20、AC2＝6

21、矩形周长为28米。

22、（1）作AP⊥BD，求出AP＝160＜200，会受影响。

（2）以A为圆心，以200为半径画弧交BF于C、D，连结AC，可求出CD＝240千米，受影响时间为6小时。

附加题

四、创新探索题

分三种情况讨论，最短距离是5 cm.

- 5 - / 5

2018-2019学年度北师大版数学八年级上册同步练习

1.3

勾股定理的应用（word解析版）

学校:___________姓名：___________班级：___________

一．选择题（共10小题）

1．如图，CD是一平面镜，光线从A点射出经CD上的E点反射后照射到B点，设入射D，且AC=3，BD=6，角为α（入射角等于反射角），AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C、CD=12，则CE的值为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

2．如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离

为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.9米，则梯子顶端A下落了（ ）

A．0.9米 B．1.3米 C．1.5米 D．2米

3．小明从家走到邮局用了8分钟，然后右转弯用同样的速度走了6分钟到达书店（如图所示）．已知书店距离邮局660米，那么小明家距离书店（ ）

A．880米 B．1100米 C．1540米 D．1760米

4．古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角，这样做的道理是（ ） A．直角三角形两个锐角互补

B．三角形内角和等于180°

C．如果三角形两条边长的平方和等于第三边长的平方

D．如果三角形两条边长的平方和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形

5．如图，厂房屋顶人字形钢架的跨度BC=12米，AB=AC=6.5米，则中柱AD（D为底边BC的中点）的长是（ ）

A．6米 B．5米 C．3米 D．2.5米

6．如图，盒内长、宽、高分别是6cm、3cm、2cm，盒内可放木棒最长的长度是（ ）

A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm

7．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，则这只铅笔的长度可能是（ ）

A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm

8．如图，圆锥的轴截面是边长为6cm的正三角形ABC，P是母线AC的中点，则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长为（ ） A． B．2 C．3 D．4

9．如图，长方体的底面边长分别为2cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈达到点B，那么所用细线最短需要（ ）

A．11cm B．2cm C．（8+2）cm D．（7+3）cm

10．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（ ）

A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米

二．填空题（共6小题）

11．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向60°，距离灯塔为4海里的点A处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置，海轮航行的距离AB长

海里．

12．小明想知道学校旗杆有多高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还余1m，当他把绳子下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆高度为

米．

13．如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm到D，则橡皮筋被拉长了

cm． 14．一架长25m的云梯，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距墙底端7m，如果梯子的顶端沿墙下滑了4m，那么梯足将滑动

．

15．如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为

cm（杯壁厚度不计）．

16．如图，已知长方体的三条棱AB、BC、BD分别为4，5，2，蚂蚁从A点出发沿长方体的表面爬行到M的最短路程的平方是

．

三．解答题（共4小题）

17．如图，一艘轮船航行到B处时，测得小岛A在船的北偏东60°的方向上，轮船从B处继续向正东方向航行100海里到达C处时，测得小岛A在船的北偏东30°的方向上，AD⊥BC于点D，求AD的长．

18．（1）如图1是一家唇膏卖家的礼品装，卖家采用了正三梭柱形盒子，里面刚好横放一支圆柱形唇膏，右图是其横载面，△ABC为正三角形．求这个包装盒空间的最大利用率（圆柱体积和纸盒容积的比）；

b．h的长方体纸箱装满了一层高为h的圆柱形易拉罐如图2．（2）一个长宽高分别为l，求纸箱空间的利用率（易拉罐总体积和纸箱容积的比）；

（3）比较上述两种包装方式的空间利用率哪个大？

19．如图，甲乙两船同时从A港出发，甲船沿北偏东35°的方向，以每小时12海里的速度向B岛驶去．乙船沿南偏东55°的方向向C岛驶去，2小时后，两船同时到达了目的地．若C、B两岛的距离为30海里，问乙船的航速是多少？

20．如图，一架长2.5m的梯子AB斜靠在墙AC上，∠C=90°，此时，梯子的底端B离墙底C的距离BC为0.7m．

（1）求此时梯子的顶端A距地面的高度AC；

（2）如果梯子的顶端A下滑了0.9m，那么梯子的顶端B在水平方向上向右滑动了多远？

2018-2019学年度北师大版数学八年级上册同步练习：1.3

勾股定理的应用（word解析版）

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．

【分析】证明△AEC∽△BED，可得 =，由此构建方程即可解决问题；

【解答】解：由镜面反射对称可知：∠A=∠B=∠α，∠AEC=∠BED．

∴△AEC∽△BED．

∴=，

又∵若AC=3，BD=6，CD=12，

∴=，

求得EC=4．

故选：B．

2．

【分析】要求下滑的距离，显然需要分别放到两个直角三角形中，运用勾股定理求得AC和CE的长即可．

【解答】解：在Rt△ACB中，AC2=AB2﹣BC2=2.52﹣1.52=4，

∴AC=2，

∵BD=0.9，

∴CD=2.4．

在Rt△ECD中，EC2=ED2﹣CD2=2.52﹣2.42=0.49，

∴EC=0.7，

∴AE=AC﹣EC=2﹣0.7=1.3．

故选：B．

3． 【分析】利用勾股定理求出小明家到书店所用的时间，求出小明的速度，再求小明家距离书店的距离．

【解答】解：∵小明家到书店所用的时间为又∵小明的速度为=110米/分钟，

=10分钟，

故小明家距离书店的距离为110×10=1100米．

故选：B．

4．

【分析】根据勾股定理的逆定理即可判断．

【解答】解：设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为3m、4m、5m，

∵（3m）2+（4m）2=（5m）2，

∴以3m、4m、5m为边长的三角形是直角三角形．（如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形）

故选：D．

5．

【分析】首先证明AD⊥BC，再利用勾股定理计算即可；

【解答】解：∵AB=AC，BD=DC，

∴AD⊥BC，

在Rt△ADB中，AD=故选：D．

6．

【分析】两次运用勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方即可解决．

【解答】解：本题需先求出长和宽组成的长方形的对角线长为=3cm．

==2.5，

这根最长的棍子和矩形的高，以及长和宽组成的长方形的对角线组成了直角三角形．

盒内可放木棒最长的长度是故选：B．

7．

=7cm． 【分析】首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出AC的长

【解答】解：根据题意可得图形：AB=12cm，BC=9cm，

在Rt△ABC中：AC=则这只铅笔的长度大于15cm．

故选：D．

==15（cm），

8．

【分析】求出圆锥底面圆的周长，则以AB为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以AB为半径的扇形，根据弧长公式求出展开后扇形的圆心角，求出展开后∠BAC=90°，连接BP，根据勾股定理求出BP即可．

【解答】解：圆锥底面是以BC为直径的圆，圆的周长是BCπ=6π，

以AB为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以AB为半径的扇形，弧长是l=6π，

设展开后的圆心角是n°，则解得：n=180，

即展开后∠BAC=×180°=90°，

AP=AC=3，AB=6，

则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长就是展开后线段BP的长，

由勾股定理得：BP=故选：C．

9．

【分析】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．

【解答】解：把长方体的侧表面展开得到一个长方形，高6cm，宽=2+3+2+3=10cm，AB，

=6π， 为对角线．

AB=故选：B．

10．

【分析】先根据勾股定理求出AB的长，同理可得出BD的长，进而可得出结论．

【解答】解：在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，

∴AB2=0.72+2.42=6.25．

在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=2米，BD2+A′D2=A′B2，

∴BD2+22=6.25，

∴BD2=2.25，

∵BD＞0，

∴BD=1.5米，

∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米．

故选：C．

=2cm．

二．填空题（共6小题）

11．

【分析】首先由方向角的定义及已知条件得出∠NPA=60°，AP=4海里，∠ABP=90°，再由AB∥NP，根据平行线的性质得出∠A=∠NPA=60°．然后解Rt△ABP，得出AB=AP•cos∠A=2海里．

【解答】解：如图，由题意可知∠NPA=60°，AP=4海里，∠ABP=90°．

∵AB∥NP，

∴∠A=∠NPA=60°．

在Rt△ABP中，∵∠ABP=90°，∠A=60°，AP=4海里，

∴AB=AP•cos∠A=4×cos60°=4×=2海里．

故答案为2．

12．

【分析】由题可知，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答．

【解答】解：设旗杆高xm，则绳子长为（x+1）m，∵旗杆垂直于地面，

∴旗杆，绳子与地面构成直角三角形，由题意列式为x2+52=（x+1）2，解得x=12m．

13．

【分析】根据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD+BD﹣AB即为橡皮筋拉长的距离．【解答】解：Rt△ACD中，AC=AB=4cm，CD=3cm；

根据勾股定理，得：AD==5cm；

∴AD+BD﹣AB=2AD﹣AB=10﹣8=2cm；

故橡皮筋被拉长了2cm．

14．

【分析】利用勾股定理进行解答．先求出下滑后梯子低端距离低端的距离，再计算梯子低端滑动的距离．

【解答】解：梯子顶端距离墙角地距离为顶端下滑后梯子低端距离墙角的距离为15m﹣7m=8m．

故答案为：8m．

15．

【分析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．

【解答】解：如图：

=24m，

=15m， 将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，

连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B=故答案为20．

16．

【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答，注意此题展开图后蚂蚁的爬行路线有两种，分别求出，选取最短的路程．

【解答】解：如图①：AM2=AB2+BM2=16+（5+2）2=65；

如图②：AM2=AC2+CM2=92+4=85；

如图③：AM2=52+（4+2）2=61．

∴蚂蚁从A点出发沿长方体的表面爬行到M的最短路程的平方是：61．

==20（cm）．

故答案为：61．

三．解答题（共4小题） 17．

【分析】如图，直角△ACD和直角△ABD有公共边AD，在两个直角三角形中，利用三

角函数即可用AD表示出CD与BD，根据CB=BD﹣CD即可列方程，从而求得AD的长．【解答】解：如图所示．

则∠ABD=30°，∠ACD=60°．

∴∠CAB=∠ABD，

∴BC=AC=100海里．

在Rt△ACD中，设CD=x海里，

则AC=2x海里，AD=在Rt△ABD中，AB=2AD=2BD===x，

=3x，

=x，

又∵BD=BC+CD，

∴3x=100+x，

解得x=50，

∴AD=x=50海里．

18．

【分析】（1）如图1，设⊙O半径为r，纸盒长度为h\'，则CD=r，BC=2r．根据圆柱的体积和棱柱的体积公式分别求得圆柱型唇膏和纸盒的体积，然后求其比值；

（2）求得易拉罐总体积和纸箱容积，然后求得比值；

（3）利用（1）（2）的数据进行解答．

【解答】解：（1）由题意，⊙O是△ABC内接圆，D为切点，

如图1，连结OD，OC．设⊙O半径为r，纸盒长度为h\'，则CD=则圆柱型唇膏和纸盒的体积之比为：

r，BC=2r

（）

（2）易拉罐总体积和纸箱容积的比：

=；

（3）∵

=

∴第二种包装的空间利用率大．

19．

【分析】首先求得线段AB的长，然后利用勾股定理求得线段AC的长，然后除以时间即可得到乙船的速度．

【解答】解：根据题意得：AB=12×2=24，BC=30，∠BAC=90°．…（1分）

∴AC2+AB2=BC2．

∴AC2=BC2﹣AB2=302﹣242=324

∴AC=18．…（4分）

∴乙船的航速是：18÷2=9海里/时．…（6分）

20．

【分析】（1）直接利用勾股定理求出AC的长，进而得出答案； （2）直接利用勾股定理得出B′C，进而得出答案．

【解答】解：（1）∵∠C=90°，AB=2.5，BC=0.7，

∴AC===2.4（米），

答：此时梯顶A距地面的高度AC是2.4米；

（2）∵梯子的顶端A下滑了0.9米至点A′，

∴A′C=AC﹣A′A=2.4﹣0.9=1.5（m），

在Rt△A′CB′中，由勾股定理得：A′C2+B′C2=A′B′2，

即1.52+B′C2=2.52，

∴B′C=2（m），

∴BB′=CB′﹣BC=2﹣0.7=1.3（m），

答：梯子的底端B在水平方向滑动了1.3m．

第十七章

勾股定理

一、选择题

1.在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，一阵风吹来，红莲移到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，这里的水深为(

)

A． 1.5米

B． 2米

C． 2.5米

D． 1米

2.如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S1、S2、S3；如图2，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为S4、S5、S6.其中S1＝16，S2＝45，S5＝11，S6＝14，则S3＋S4等于(

)

A． 86

B． 64

C． 54

D． 48

3.如图表示的是一个十字路口，O是两条公路的交点，点A、B、C、D表示的是公路上的四辆车，若OC＝8

cm，AC＝17 cm，AB＝5 cm，BD＝10m，则C，D两辆车之间的距离为(

)

A． 5 m

B． 4 m

C． 3 m

D． 2 m

1

4.如图是由三个棱长均为1的正方体箱子堆积而成的几何体，在底端的顶点A处有一只蚂蚁，它想吃到顶端的顶点B处的食物，则它沿该几何体表面爬行的最短路程等于(

)

A．B． 2C．D． 5

＋1

5.如图，长方体的透明玻璃鱼缸，假设其长AD＝80 cm，高AB＝60 cm，水深为AE＝40 cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线EF上，且EG＝60 cm；一小虫想从鱼缸外的A点沿壁爬进鱼缸内G处吃鱼饵，则小动物爬行的最短路线长为(

)

A． 40 cm

B． 60 cm

C． 80 cm

D． 100 cm

6.三角形三边长为6、8、10，那么最长边上的高为(

)

A． 6

B． 4.5

C． 4.8

D． 8

7.如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2 m，梯子的顶端B到地面的距离为7 m，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3 m，同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB′(

)

2

A．

小于1 m

B．

大于1 m

C．

等于1 m

D．

小于或等于1 m

8.如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5 m处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12 m处，旗杆折断之前的高度是(

)

A． 5 m

B． 12 m

C． 13 m

D． 18 m

二、填空题

9.直角三角形斜边长是5，一直角边的长是3，则此直角三角形的面积为________．

10.一个三角形的三边长之比为5∶12∶13，它的周长为120，则它的面积是________．

11.如图，分别以△ABC的三边为直径向外作3个半圆，它们的面积分别为4、5、9，则△ABC________直角三角形．(填“是”或“不是”)

12.如图，AD＝8，CD＝6，∠ADC＝90°，AB＝26，BC＝24，该图形的面积等于________．

3

13.中国古代的数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位．尤其是三国时期的数学家赵爽，不仅最早对勾股定理进行了证明，而且创制了“勾股圆方图”，开创了“以形证数”的思想方法．在图1中，小正方形ABCD的面积为1，如果把它的各边分别延长一倍得到正方形A1B1C1D1，则正方形A1B1C1D1的面积为________；再把正方形A1B1C1D1的各边分别延长一倍得到正方形A2B2C2D2(如图2)，如此进行下去，得到的正方形AnBnCnDn的面积为________(用含n的式子表示，n为正整数)．

14.如图，四边形ABCD中，AB⊥AD于A，AB＝8积为__________．

，AD＝8，BC＝7，CD＝25，则四边形ABCD的面15.如图，以直角△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3且S1＝4，S2＝8，则S3＝________.

16.在△ABC中，已知AB＝BC＝CA＝4 cm，点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1 cm/s；点Q沿CA、AB向终点B运动，速度为2 cm/s，设它们运动的时间为x(s)，当x＝__________，△BPQ是直角三角形．

三、解答题

17.如图所示的一块地，AD＝9 m，CD＝12 m，∠ADC＝90°，AB＝39 m，BC＝36 m，求这块地的面积．

4

18.如图，在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里速度全速前进，2小时后甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船沿那个方向航行吗？

19.在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．

某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．

20.为了弘扬“社会主义核心价值观”，乐至县政府在广场树立公益广告牌，如图所示，为固定广告牌，在两侧加固钢缆，已知钢缆底端D距广告牌立柱距离CD为3米，从D点测得广告牌顶端A点和底端B点的距离分别是5米和3米．

(1)求公益广告牌的高度AB；

(2)求∠BDC的度数．

21.阅读与应用：阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．

中国最早的一部数学著作－－《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：

周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地的数据呢？”商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体的认识，其中5

有一条原理：当直角三角形‘矩’得到的一条直角边‘勾’等于3，另一条直角边‘股’等于4的时候，那么它的斜边‘弦’就必定是5.这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵．”

任务：

(1)上面周公与商高的这段对话，反映的数序原理在数学上叫做__________定理；

(2)请你利用以上数学原理解决问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，求问题中葛藤的最短长度是多少尺．

6

答案解析

1.【答案】A

【解析】设水深为h米，则红莲的高(h＋1)米，且水平距离为2米，

则(h＋1)2＝22＋h2，

解得h＝1.5.

故选A.

2.【答案】C

【解析】如图1，S1＝∵BC2＝AB2－AC2，

∴S2－S1＝S3，

如图2，S4＝S5＋S6，

∴S3＋S4＝45－16＋11＋14＝54.

AC2，S2＝AB2，S3＝BC2，

故选C.

3.【答案】D

【解析】在Rt△AOC中，∵OA2＋OC2＝AC2，

∴OA＝＝＝15(m)，

∴OB＝OA＋AB＝20 m，

在Rt△BOD中，∵BD2＝OB2＋OD2，

∴OD＝＝＝10(m)，

∴CD＝OD－OC＝2 m，

故选D.

4.【答案】A

7

【解析】如图所示，

由图可知，AB＝故选A.

＝.

5.【答案】D

【解析】如图所示作点A关于BC的对称点A′，连接A′G交BC与点Q，小虫沿着A→Q→G的路线爬行时路程最短．

在直角△A′EG中，A′E＝80 cm，EG＝60 cm，

∴AQ＋QG＝A′Q＋QG＝A′G＝∴最短路线长为100 cm.

故选D.

6.【答案】C

【解析】∵62＋82＝102，

∴这个三角形是直角三角形，

∴最长边上的高为6×8÷10＝4.8.

故选C.

7.【答案】A

【解析】在直角三角形AOB中，因为OA＝2，OB＝7，

由勾股定理，得AB＝由题意可知AB＝A′B′＝，

，

，

＝100 cm.

又OA′＝3，根据勾股定理得OB′＝∴BB′＝7－8

＜1.

故选A.

8.【答案】D

【解析】旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为12 m，旗杆离地面5 m折断，且旗杆与地面是垂直的，

所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形．

根据勾股定理，折断的旗杆为＝13 m，

所以旗杆折断之前高度为13 m＋5 m＝18 m.

故选D.

9.【答案】6

【解析】∵直角三角形斜边长是5，一直角边的长是3，

∴另一直角边长为＝4.

3×4＝6. 该直角三角形的面积S＝×10.【答案】480

【解析】设三边的长是5x,12x,13x，

则5x＋12x＋13x＝120，

解得x＝4，

则三边长是20,48,52.

∵202＋482＝522，

∴三角形是直角三角形，

∴三角形的面积是×20×48＝480.

11.【答案】是

【解析】由分别以△ABC的三边为直径向外作3个半圆，它们的面积分别为4、5、9，得

BC2＋AC2＝AB2，

则△ABC是直角三角形．

12.【答案】96

【解析】连接AC，在Rt△ACD中，AD＝8，CD＝6，

∴AC＝在△ABC中，

∵AC2＋BC2＝102＋242＝262＝AB2，

9

＝＝10， ∴△ABC为直角三角形；

∴图形面积为

24－×6×8＝96.

S△ABC－S△ACD＝×10×

13.【答案】5

5n

【解析】已知小正方形ABCD的面积为1，则把它的各边延长一倍后，△AA1B1的面积是1，

新正方形A1B1C1D1的面积是5，

5＝25＝52，… 从而正方形A2B2C2D2的面积为5×正方形AnBnCnDn的面积为5n.

14.【答案】84＋96【解析】连接BD，

∵AB⊥AD，

∴∠A＝90°，

∴BD＝24，

∵BC2＋BD2＝72＋242＝625＝252＝CD2，

∴△CBD为直角三角形，

∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD

8＝×＝96×8＋84.

24×7 ＋×

15.【答案】12

【解析】∵△ABC直角三角形，

∴BC2＋AC2＝AB2，

∵S1＝BC2，S2＝AC2，S3＝AB2，S1＝4，S2＝8，

∴S3＝S1＋S2＝12.

16.【答案】2或10

【解析】根据题意，得BP＝tcm，CQ＝2tcm，BQ＝(8－2t) cm，

若△BPQ是直角三角形，则∠BPQ＝90°或∠BQP＝90°，

①当∠BPQ＝90°时，

Q在A点，CQ＝CA＝4 cm，

4÷2＝2(s)；

②当∠BQP＝90°时，∵∠B＝60°，

∴∠BPQ＝90°－60°＝30°，

∴BQ＝BP，

即8－2t＝t，

解得t＝，

秒时，△BPQ是直角三角形． 故当t＝2或17.【答案】解 连接AC，则在Rt△ADC中，

AC2＝CD2＋AD2＝122＋92＝225，

∴AC＝15，

在△ABC中，AB2＝1521，

AC2＋BC2＝152＋362＝1521，

∴AB2＝AC2＋BC2，

∴∠ACB＝90°，

∴S△ABC－S△ACD＝AC·BC－AD·CD＝×15×36－×12×9＝270－54＝216.

答：这块地的面积是216平方米．

【解析】连接AC，运用勾股定理逆定理可证△ACD，△ABC为直角三角形，可求出两直角三角形的面积，此块地的面积为两个直角三角形的面积差．

2＝16海里， 18.【答案】解

BM＝8×BP＝15×2＝30海里，

11

在△BMP中，BM2＋BP2＝256＋900＝1156，PM2＝1156，

BM2＋BP2＝PM2，

∴∠MBP＝90°，

180°－90°－60°＝30°，

故乙船沿南偏东30°方向航行．

【解析】先根据路程＝速度×时间，求出BM，BP的长，再根据勾股定理的逆定理得到∠MBP＝90°，进一步即可求解．

19.【答案】解 如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，

设BD＝x，则CD＝14－x，

由勾股定理，得AD2＝AB2－BD2＝152－x2，AD2＝AC2－CD2＝132－(14－x)2，

故152－x2＝132－(14－x)2，

解之得x＝9.

∴AD＝12.

∴S△ABC＝BC·12＝84.

AD＝×14×

【解析】根据题意利用勾股定理表示出AD2的值，进而得出等式求出答案．

20.【答案】解

(1)在直角三角形ADC中，

AC＝＝＝4(m)，

在直角三角形BDC中，

BC＝＝＝3(m)，

故AB＝AC－BC＝1(米)，

答：公益广告牌的高度AB的长度为1 m；

(2)∵在直角三角形BDC中，BC＝CD＝3 m，

∴△DBC是等腰直角三角形，

∴∠BDC＝45°.

【解析】(1)直接利用勾股定理得出AC的长，进而得出BC的长即可得出AB的长；

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(2)利用已知结合(1)中所求得出△DBC是等腰直角三角形，进而得出答案．

21.【答案】解

(1)上面周公与商高的这段对话，反映的数序原理在数学上叫做勾股定理；

故答案是勾股；

(2)如图，一条直角边(即枯木的高)长20尺，

3＝15(尺)， 另一条直角边长5×因此葛藤长为＝25(尺)．

答：问题中葛藤的最短长度是25尺．

【解析】(1)根据勾股定理的概念填空；

(2)这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出．

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