锐角三角函数应用组卷(含答案) (三篇)

2024年6月14日发(作者：)

锐角三角函数应用组卷(含答案) 篇一

锐角三角函数应用组卷

一．选择题（共28小题）

1．如图，一艘轮船航行到B处时，测得小岛A在船的北偏东60°的方向，轮船从B处继续向正东方向航行200海里到达C处时，测得小岛A在船的北偏东30°的方向．己知在小岛周围170海里内有暗礁，若轮船不改变航向继续向前行驶，试问轮船有无触礁的危险？（≈1.732）

2．放风筝是大家喜爱的一种运动，星期天的上午小明在市政府广场上放风筝．如图，他在A处不小心让风筝挂在了一棵树梢上，风筝固定在了D处，此时风筝AD与水平线的夹角为30°，为了便于观察，小明迅速向前边移动，收线到达了离A处10米的B处，此时风筝线BD与水平线的夹角为45°．已知点A，B，C在同一条水平直线上，请你求出小明此时所收回的风筝线的长度是多少米？（风筝线AD，BD均为线段，≈1.414，≈1.732，最后结果精确到1米）．

3．某探测队在地面A、B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB=4米，求该生命迹象所在位置C的深度．（结果精确到1米．参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，1.7）

≈

4．如图，两条互相平行的河岸，在河岸一边测得AB为20米，在另一边测得CD第1页（共41页）

为70米，用测角器测得∠ACD=30°，测得∠BDC=45°，求两条河岸之间的距离．（≈1.7，结果保留整数）

5．校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道L上确定点D，使CD与L垂直，测得CD的长等于24米，在L上点D的同侧取点A、B，使∠CAD=30°，∠CBD=60°．

（1）求AB的长（结果保留根号）；

（2）已知本路段对校车限速为45千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．（参考数据：≈1.73，≈1.41）

6．如图1是一种折叠椅，忽略其支架等的宽度，得到他的侧面简化结构图（图2），支架与坐板均用线段表示，若座板DF平行于地面MN，前支撑架AB与后支撑架AC分别与座板DF交于点E、D，现测得DE=20厘米，DC=40厘米，∠AED=58°，∠ADE=76°．

（1）求椅子的高度（即椅子的座板DF与地面MN之间的距离）（精确到1厘米）

（2）求椅子两脚B、C之间的距离（精确到1厘米）（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，sin76°≈0.97．cos76°≈0.24，tan76°≈4.00）

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7．某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF=143°，AB=AE=1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为多少米？（结果精确到0.1．参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75）

8．如图1是一台放置在水平桌面上的笔记本电脑，将其侧面抽象成如图2所示的几何图形，若显示屏所在面的侧边AO与键盘所在面的侧边BO长均为24cm，点P为眼睛所在位置，D为AO的中点，连接PD，当PD⊥AO时，称点P为“最佳视角点”，作PC⊥BC，垂足C在OB的延长线上，且BC=12cm．

（1）当PA=45cm时，求PC的长；

（2）若∠AOC=120°时，“最佳视角点”P在直线PC上的位置会发生什么变化？此时PC的长是多少？请通过计算说明．（结果精确到0.1cm，可用科学计算器，参考数据：≈1.414，≈1.732）

9．如图，某广场一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且CB=5米．

（1）求钢缆CD的长度；（精确到0.1米）

（2）若AD=2米，灯的顶端E距离A处1.6米，且∠EAB=120°，则灯的顶端E距离地面多少米？

（参考数据：tan40°=0.84，sin40°=0.64，cos40°=）

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10．如图，直升飞机在资江大桥AB的上方P点处，此时飞机离地面的高度PO=450米，且A、B、O三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为α=30°，β=45°，求大桥的长AB．

11．如图，某飞机于空中探测某座山的高度，在点A处飞机的飞行高度是AF=3700米，从飞机上观测山顶目标C的俯角是45°，飞机继续以相同的高度飞行300米到B处，此时观测目标C的俯角是50°，求这座山的高度CD．

（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20）．

12．如图，旗杆AB的顶端B在夕阳的余辉下落在一个斜坡上的点D处，某校数学课外兴趣小组的同学正在测量旗杆的高度，在旗杆的底部A处测得点D的仰角为15°，AC=10米，又测得∠BDA=45°．已知斜坡CD的坡度为i=1：杆AB的高度（，结果精确到个位）．

，求旗第4页（共41页）

13．某校九年级数学兴趣小组为了测得该校地下停车场的限高CD，在课外活动时间测得下列数据：如图，从地面E点测得地下停车场的俯角为30°，斜坡AE的长为16米，地面B点（与E点在同一个水平线）距停车场顶部C点（A、C、B在同一条直线上且与水平线垂直）1.2米．试求该校地下停车场的高度AC及限高CD（结果精确到0.1米）．

14．如图，贵阳市某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后．选定测量小河对岸一幢建筑物BC的高度．他们先在斜坡上的D处，测得建筑物顶的仰角为30°．且D离地面的高度DE=5m．坡底EA=10m，然后在A处测得建筑物顶B的仰角是50°，点E，A，C在同一水平线上，求建筑物BC的高．（结果保留整数）

15．从一幢建筑大楼的两个观察点A，B观察地面的花坛（点C），测得俯角分别为15°和60°，如图，直线AB与地面垂直，AB=50米，试求出点B到点C的距离．（结果保留根号）

第5页（共41页）

16．如图，初三一班数学兴趣小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°．朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°，已知A点的高度AB为2米，台阶AC的坡度为1：（即AB：BC=1：），且B，C，E三点在同一条直线上，请根据以上条件求出树DE的高度．（测量器的高度忽略不计）

17．如图，为了测量某建筑物BC的高度，小明先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地而上向建筑物前进了50m到达D处，此时遇到一斜坡，坡度i=1：仰角是45°，（坡度i=1：，沿着斜坡前进20米到达E处测得建筑物顶部的是指坡面的铅直高度FE与水平宽度DE的比）．请你=1.732，结果精确到0.1m）．

计算出该建筑物BC的高度．（取

18．某校兴趣小组想测量一座大楼AB的高度．如图，大楼前有一段斜坡BC，已知BC的长为12米，它的坡度i=1：．在离C点40米的D处，用测角仪测得大楼顶端A的仰角为37°，测角仪DE的高为1.5米，求大楼AB的高度约为多少米？（结果精确到0.1米）

第6页（共41页）

（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73．）

19．小敏家对面新建了一幢图书大厦，小敏在自家窗口测得大厦顶部的仰角为45°，大厦底部的仰角为30°，如图所示，量得两幢楼之间的距离为20（1）求出大厦的高度BD；

（2）求出小敏家的高度AE．

米．

20．某市开展一项自行车旅游活动，线路需经A、B、C、D四地，如图，其中A、B、C三地在同一直线上，D地在A地北偏东30°方向，在C地北偏西45°方向，C地在A地北偏东75°方向．且BC=CD=20km，问沿上述线路从A地到D地的路程大约是多少？（最后结果保留整数，参考数据：sin15°≈0.25，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，）

21．一艘轮船向正东方向航行，在A处测得灯塔P在A的北偏东60°方向，航行40海里到达B处，此时测得灯塔P在B的北偏东15°方向上．

第7页（共41页）

（1）求灯塔P到轮船航线的距离PD是多少海里？（结果保留根号）

（2）当轮船从B处继续向东航行时，一艘快艇从灯塔P处同时前往D处，尽管快艇速度是轮船速度的2倍，但快艇还是比轮船晚15分钟到达D处，求轮船每小时航行多少海里？（结果保留到个位，参考数据：）．

22．某船向正东航行，在A处望见灯塔C在东北方向，前进到B处望见灯塔C在北偏西30°，又航行了半小时到D处，望见灯塔C恰在西北方向，若船速为每小时20海里．求A、D两点间的距离．（结果不取近似值）

23．如图，大海中某岛C的周围25km范围内有暗礁．一艘海轮向正东方向航行，在A处望见C在北偏东60°处，前进20km后到达点B，测得C在北偏东45°处．如果该海轮继续向正东方向航行，有无触礁危险？请说明理由．

（参考数据：≈1.41，≈1.73）

24．如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办第8页（共41页）

公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有25米的距离（B，F，C在一条直线上）．

（1）求办公楼AB的高度；

（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．

（参考数据：sin22°≈，cos22°，tan22）

25．某中学广场上有旗杆如图1所示，在学习解直角三角形以后，数学兴趣小组测量了旗杆的高度．如图2，某一时刻，旗杆AB的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长BC为4米，落在斜坡上的影长CD为3米，AB⊥BC，同一时刻，光线与水平面的夹角为72°，1米的竖立标杆PQ在斜坡上的影长QR为2米，求旗杆的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）

26．芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁，大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC为2米，两拉索底端距离AD为20米，请求出立柱BH的长．（结果精确到0.1米，≈1.732）

第9页（共41页）

27．如图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂AO长为40cm，与水平面所形成的夹角∠OAM为75°．由光源O射出的边缘光线OC，OB与水平面所形成的夹角∠OCA，∠OBA分别为90°和30°，求该台灯照亮水平面的宽度BC（不考虑其他因素，结果精确到0.1cm．温馨提示：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，）．

28．如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB=800米，BC=200米，坡角∠BAF=30°，∠CBE=45°．

（1）求AB段山坡的高度EF；

（2）求山峰的高度CF．（1.414，CF结果精确到米）

二．解答题（共3小题）

29．如图，天星山山脚下西端A处与东端B处相距800（1+）米，小军和小明同时分别从A处和B处向山顶C匀速行走．已知山的西端的坡角是45°，东端的坡角是30°，小军的行走速度为则小明的行走速度是多少？

第10页（共41页）

米/秒．若小明与小军同时到达山顶C处，

30．如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的B处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C处成功拦截捕鱼船，求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间．

31．小明要测量公园被湖水隔开的两棵大树A和B之间的距离，他在A处测得大树B在A的北偏西30°方向，他从A处出发向北偏东15°方向走了200米到达C处，测得大树B在C的北偏西60°方向．

（1）求∠ABC的度数；

（2）求两棵大树A和B之间的距离（结果精确到1米）（参考数据：≈1.732，≈2.449）

≈1.414，

第11页（共41页）

锐角三角函数应用组卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共28小题）．如图，一艘轮船航行到B处时，测得小岛A在船的北偏东60°的方向，轮船从B处继续向正东方向航行200海里到达C处时，测得小岛A在船的北偏东30°的方向．己知在小岛周围170海里内有暗礁，若轮船不改变航向继续向前行驶，试问轮船有无触礁的危险？（≈1.732）

【解答】解：该轮船不改变航向继续前行，没有触礁危险

理由如下：如图所示．

则有∠ABD=30°，∠ACD=60°．

∴∠CAB=∠ABD，

∴BC=AC=200海里．

在Rt△ACD中，设CD=x海里，

则AC=2x，AD==x，

=3x，

=x，

在Rt△ABD中，AB=2AD=2BD==又∵BD=BC+CD，

∴3x=200+x，

∴x=100．

∴AD=x=100≈173.2，

∵173.2海里＞170海里，

∴轮船不改变航向继续向前行使，轮船无触礁的危险．

第12页（共41页）

【解答】解：作DH⊥BC于H，设DH=x米．

∵∠ACD=90°，

∴在直角△ADH中，∠DAH=30°，AD=2DH=2x，AH=DH÷tan30°=在直角△BDH中，∠DBH=45°，BH=DH=x，BD=∵AH﹣BH=AB=10米，

∴x﹣x=10，

+1），

x，

∴x=5（∴小明此时所收回的风筝的长度为：

AD﹣BD=2x﹣米．

答：小明此时所收回的风筝线的长度约是8米．

x=（2﹣）×5（+1）≈（2﹣1.414）×5×（1.732+1）≈8第13页（共41页）

≈

【解答】解：作CD⊥AB交AB延长线于D，设CD=x 米．

Rt△ADC中，∠DAC=25°，

所以tan25°=所以AD==0.5，

=2x．

Rt△BDC中，∠DBC=60°，

由tan 60°=解得：x≈3．

所以生命迹象所在位置C的深度约为3米．

=，

4．如图，两条互相平行的河岸，在河岸一边测得AB为20米，在另一边测得CD为70米，用测角器测得∠ACD=30°，测得∠BDC=45°，求两条河岸之间的距离．（≈1.7，结果保留整数）

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【解答】解：如图，分别过点A、B作CD的垂线交CD于点E、F，令两条河岸之间的距离为h．

∵AE⊥CD，BF⊥CD，AB∥CD，AB=20，

∴AE=BF=h，EF=AB=20．

在Rt△ACE中，∵∠AEC=90°，∠ACE=30°，

∴tan∠ACE=∴CE=h．

，即tan30°=，

在Rt△BDF中，∵∠BFD=90°，∠BDF=45°，

∴DF=BF=h．

∵CD=70，

∴CE+EF+FD=70，

∴h+20+h=70，

﹣1）≈18．

∴h=25（答：两条河岸之间的距离约为18米．

（1）求AB的长（结果保留根号）；

（2）已知本路段对校车限速为45千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．（参考数据：第15页（共41页）

≈1.73，≈1.41）

【解答】解：（1）由題意得，

在Rt△ADC中，AD===24≈36.33（米），

在Rt△BDC中，BD=则AB=AD﹣BD=16（2）超速．

；

==8，

理由：∵汽车从A到B用时2秒，

∴速度为16×1.73÷2=13.84米/秒

13.84×3.6=49.824千米/时＞45千米/小时．

∴此校车在AB路段超速．

（1）求椅子的高度（即椅子的座板DF与地面MN之间的距离）（精确到1厘米）

（2）求椅子两脚B、C之间的距离（精确到1厘米）（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，sin76°≈0.97．cos76°≈0.24，tan76°≈4.00）

【解答】解：（1）如图，作DP⊥MN于点P，即∠DPC=90°，

第16页（共41页）

∵DE∥MN，

∴∠DCP=∠ADE=76°，

则在Rt△CDP中，DP=CDsin∠DCP=40×sin76°≈39（cm），

答：椅子的高度约为39厘米；

（2）作EQ⊥MN于点Q，

∴∠DPQ=∠EQP=90°，

∴DP∥EQ，

又∵DF∥MN，∠AED=58°，∠ADE=76°，

∴四边形DEQP是矩形，∠DCP=∠ADE=76°，∠EBQ=∠AED=58°，

∴DE=PQ=20，EQ=DP=39，

又∵CP=CDcos∠DCP=40×cos76°≈9.6（cm），

BQ==≈24.4（cm），

∴BC=BQ+PQ+CP=24.4+20+9.6≈54（cm），

答：椅子两脚B、C之间的距离约为54cm．

第17页（共41页）

【解答】解：过点E作EG⊥BC于点G，AH⊥EG于点H．

∵EF∥BC，

∴∠GEF=∠BGE=90°

∵∠AEF=143°，

∴∠AEH=53°．

∴∠EAH=37°．

在△EAH中，AE=1.2，∠AHE=90°，

∴sin∠EAH=sin 37°

∴

∴EH=1.2×0.6=0.72．

∵AB⊥BC，

∴四边形ABGH为矩形．

∵GH=AB=1.2，

∴EG=EH+HG=1.2+0.72=1.92≈1.9．

答：适合该地下车库的车辆限高标志牌为1.9米．

（1）当PA=45cm时，求PC的长；

（2）若∠AOC=120°时，“最佳视角点”P在直线PC上的位置会发生什么变化？此第18页（共41页）

时PC的长是多少？请通过计算说明．（结果精确到0.1cm，可用科学计算器，参考数据：≈1.414，≈1.732）

【解答】解：（1）当PA=45cm时，连结PO．

∵D为AO的中点，PD⊥AO，

∴PO=PA=45cm．

∵BO=24cm，BC=12cm，∠C=90°，

∴OC=OB+BC=36cm，PC=

=27cm；

（2）当∠AOC=120°，过D作DE⊥OC交BO延长线于E，过D作DF⊥PC于F，则四边形DECF是矩形．

在Rt△DOE中，∵∠DOE=60°，DO=AO=12，

∴DE=DO•sin60°=6∴FC=DE=6，EO=DO=6，

，DF=EC=EO+OB+BC=6+24+12=42．

在Rt△PDF中，∵∠PDF=30°，

∴PF=DF•tan30°=42×∴PC=PF+FC=14+6=14=20，

≈34.68＞27，

∴点P在直线PC上的位置上升了．

第19页（共41页）

9．如图，某广场一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且CB=5米．

（1）求钢缆CD的长度；（精确到0.1米）

（2）若AD=2米，灯的顶端E距离A处1.6米，且∠EAB=120°，则灯的顶端E距离地面多少米？

（参考数据：tan40°=0.84，sin40°=0.64，cos40°=）

【解答】解：（1）在Rt△BCD中，∴≈6.7；（3分）

，

（2）在Rt△BCD中，BC=5，∴BD=5tan40°=4.2．（4分）

过E作AB的垂线，垂足为F，

在Rt△AFE中，AE=1.6，∠EAF=180°﹣120°=60°，

AF==0.8（6分）

∴FB=AF+AD+BD=0.8+2+4.20=7米．（7分）

答：钢缆CD的长度为6.7米，灯的顶端E距离地面7米．（8分）

10．如图，直升飞机在资江大桥AB的上方P点处，此时飞机离地面的高度PO=450第20页（共41页）

米，且A、B、O三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为α=30°，β=45°，求大桥的长AB．

【解答】解：∵大桥两端的俯角分别为α=30°，β=45°，

∴∠PAO=30°，∠PBO=45°，

∴∴∴答：大桥的长AB为450（

（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20）．

，

﹣1）m．

【解答】解：设EC=x，

在Rt△BCE中，tan∠EBC=则BE==x，

，

第21页（共41页）

，

在Rt△ACE中，tan∠EAC= 则AE=∵AB+BE=AE，

∴300+x=x，

=x，

解得：x=1800，

这座山的高度CD=DE﹣EC=3700﹣1800=1900（米）．

答：这座山的高度是1900米．

，求旗

【解答】解：延长BD，AC交于点E，过点D作DF⊥AE于点F．

∵i=tan∠DCF=∴∠DCF=30°．

又∵∠DAC=15°，

∴∠ADC=15°．

∴CD=AC=10．

在Rt△DCF中，DF=CD•sin30°=10×=5（米），

CF=CD•cos30°=10×=5，∠CDF=60°．

=，

∴∠BDF=45°+15°+60°=120°，

∴∠E=120°﹣90°=30°，

在Rt△DFE中，EF===5

第22页（共41页）

∴AE=10+5+5=10+10．

+10）×=10+≈16（米）．

在Rt△BAE中，BA=AE•tanE=（10答：旗杆AB的高度约为16米．

【解答】解：由题意得，AB⊥EB，CD⊥AE，

∴∠CDA=∠EBA=90°，

∵∠E=30°，

∴AB=AE=8米，

∵BC=1.2米，

∴AC=AB﹣BC=6.8米，

∵∠DCA=90°﹣∠A=30°，

∴CD=AC×cos∠DCA=6.8×≈5.9米．

答：该校地下停车场的高度AC为6.8米，限高CD约为5.9米．

第23页（共41页）

【解答】解：过点D作DH⊥BC于点M，如图所示：

则四边形DHCE是矩形，DH=EC，DE=HC，

设建筑物BC的高度为xm，则BH=（x﹣5）m，

在Rt△DHB中，∠BDH=30°，

∴DH=（x﹣5），AC=EC﹣EA=（x﹣5）﹣10，

，

在Rt△ACB中，∠BAC=50°，tan∠BAC=∴x=tan50°•[解得：x≈21，

答：建筑物BC的高约为21m．

（x﹣5）]，

第24页（共41页）

【解答】解：作AD⊥BC于点D，

∵∠MBC=60°，

∴∠ABC=30°，

∵AB⊥AN，

∴∠BAN=90°，

∴∠BAC=105°，

则∠ACB=45°，

在Rt△ADB中，AB=50，则AD=25，BD=25，

．

在Rt△ADC中，AD=25，CD=25，则BC=25+25答：观察点B到花坛C的距离为（25+25）米．

16．如图，初三一班数学兴趣小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°．朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°，已知A点的高度第25页（共41页）

AB为2米，台阶AC的坡度为1：（即AB：BC=1：），且B，C，E三点在同一条直线上，请根据以上条件求出树DE的高度．（测量器的高度忽略不计）

【解答】解：∵AF⊥AB，AB⊥BE，DE⊥BE，

∴四边形ABEF为矩形，

∴AF=BE，EF=AB=2

设DE=x，在Rt△CDE中，CE=在Rt△ABC中，

∵=，AB=2，

，

==x，

∴BC=2在Rt△AFD中，DF=DE﹣EF=x﹣2，

∴AF===（x﹣2），

∵AF=BE=BC+CE．

∴（x﹣2）=2+x，

解得x=6．

答：树DE的高度为6米．

计算出该建筑物BC的高度．（取第26页（共41页）

【解答】解：过E作EF⊥AB于F，EG⊥BC与G，

∵CB⊥AB，

∴四边形EFBG是矩形，

∴EG=FB，EF=BG，

设CG=x米，

∵∠CEG=45°，

∴FB=EG=CG=x，

∵DE的坡度i=1：∴∠EDF=30°，

∵DE=20，

∴DF=20cos30°=10∴AB=50+10，BG=EF=20sin30°=10，

，

+x，BC=x+10，

在Rt△ABC中，

∵∠A=30°，

∴BC=AB•tan∠A，

即x+10=（50+10+x），

解得：x≈68.3，

∴BC=7.3米，

答：建筑物BC的高度是78.3米．

第27页（共41页）

（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73．）

【解答】解：延长AB交直线DC于点F，过点E作EH⊥AF，垂足为点H．

∵在Rt△BCF中，∴设BF=k，则CF=又∵BC=12，

∴k=6，

∴BF=6，CF=∵DF=DC+CF，

∴DF=40+6．

，

．

=i=1：，

，BC=2k．

∵在Rt△AEH中，tan∠AEH=∴AH=tan37°×（40+6∵BH=BF﹣FH，

∴BH=6﹣1.5=4.5．

∵AB=AH﹣HB，

∴AB=37.785﹣4.5≈33.3．

）≈37.785（米），

答：大楼AB的高度约为33.3米．

第28页（共41页）

（2）求出小敏家的高度AE．

米．

【解答】解：（1）如图，∵AC⊥BD，

∴BD⊥DE，AE⊥DE，

∴四边形AEDC是矩形，

∴AC=DE=20米，

∵在Rt△ABC中，∠BAC=45°，

∴BC=AC=20米，

，

=20（米），

在Rt△ACD中，tan30°=∴CD=AC•tan30°=20∴BD=BC+CD=20×+20（米）；

+20）米；

∴大厦的高度BD为：（20

第29页（共41页）

（2）∵四边形AEDC是矩形，

∴AE=CD=20米．

∴小敏家的高度AE为20米．

【解答】解：由题意可知∠DCA=180°﹣75°﹣45°=60°，

∵BC=CD，

∴△BCD是等边三角形．

过点B作BE⊥AD，垂足为E，如图所示：

由题意可知∠DAC=75°﹣30°=45°，

∵△BCD是等边三角形，

∴∠DBC=60° BD=BC=CD=20km，

∴∠ADB=∠DBC﹣∠DAC=15°，

∴BE=sin15°BD≈0.25×20≈5m，

∴AB==≈7m，

∴AB+BC+CD≈7+20+20≈47m．

答：从A地跑到D地的路程约为47m．

第30页（共41页）

21．一艘轮船向正东方向航行，在A处测得灯塔P在A的北偏东60°方向，航行40海里到达B处，此时测得灯塔P在B的北偏东15°方向上．

（1）求灯塔P到轮船航线的距离PD是多少海里？（结果保留根号）

【解答】解：（1）过点B作BC⊥AP于点C，在Rt△ABC，∠ACB=90°，∠BAC=30°，

∴BC=AB=20，AC=AB•cos30°=20．

∵∠PBD=90°﹣15°=75°，∠ABC=90°﹣30°=60°，

∴∠CBP=180°﹣75°﹣60°=45°，

∴AP=AC+PC=（20+20）海里．

∵PD⊥AD，∠PAD=30°，

∴PD=AP=10+10，

海里；

答：灯塔P到轮船航线的距离PD是10+10

（2）设轮船每小时航行x海里，

在Rt△ADP中，AD=AP•cos30°=∴BD=AD﹣AB=30+10

（20+20）=（30+10）海里．

﹣40=（10﹣10）海里．

第31页（共41页） +=．

，

解得x=60﹣20经检验，x=60﹣20∴x=60﹣20是原方程的解．

≈x=60﹣20×1.73=25.4≈25，

答：轮船每小时航行25海里．

【解答】解：作CH⊥AD于点H，

由题意可得：△ACD是等腰直角三角形，则CH=AD，设CH=x，则DH=x，

在Rt△CBH中，∠BCH=30°，

则=tan30°，故BH=x=×20，

，

．

）海里．

x，

∴BD=x﹣解得：x=15+5故2x=30+10答：A、D两点间的距离为（30+10第32页（共41页）

（参考数据：≈1.41，≈1.73）

【解答】解：该海轮继续向正东方向航行，无触礁危险．

理由：过点C作CD⊥AB于点D，

∴∠BCD=∠CBM=45°，

设BD=xkm，则CD=∵∠CAN=60°，

∴∠CAD=30°，

在Rt△CAD中，tan∠CAB=tan30°=∴AD=CD=x（km），

=，

=x（km），

∵AB=20km，AB+DB=AD，

∴20+x=x，

+10（km），

解得：x=10∴CD=10+10≈27.3（km）＞25km，

第33页（共41页）

∴该海轮继续向正东方向航行，无触礁危险．

24．如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有25米的距离（B，F，C在一条直线上）．

（1）求办公楼AB的高度；

（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．

（参考数据：sin22°≈，cos22°，tan22）

【解答】解：（1）如图，

过点E作EM⊥AB，垂足为M．

设AB为x．

Rt△ABF中，∠AFB=45°，

∴BF=AB=x，

第34页（共41页）

∴BC=BF+FC=x+25，

在Rt△AEM中，∠AEM=22°，AM=AB﹣BM=AB﹣CE=x﹣2，

tan22°=则，

=，

解得：x=20．

即教学楼的高20m．

（2）由（1）可得ME=BC=x+25=20+25=45．

在Rt△AME中，cos22°=∴AE=≈．

=48m，

即A、E之间的距离约为48m

【解答】解：如图作CM∥AB交AD于M，MN⊥AB于N．

由题意=，即=，CM=，

第35页（共41页）

在RT△AMN中，∵∠ANM=90°，MN=BC=4，∠AMN=72°，

∴tan72°=，

∴AN≈12.3，

∵MN∥BC，AB∥CM，

∴四边形MNBC是平行四边形，

∴BN=CM=，

∴AB=AN+BN=13.8米．

【解答】解：设DH=x米，

∵∠CDH=60°，∠H=90°，

∴CH=DH•tan60°=∴BH=BC+CH=2+x，

x，

第36页（共41页）

∵∠A=30°，

∴AH=BH=2+3x，

∵AH=AD+DH，

∴2+3x=20+x，

，

）=10﹣1≈16.3（米）．

解得：x=10﹣∴BH=2+（10﹣答：立柱BH的长约为16.3米．

【解答】解：在直角三角形ACO中，sin75°=解得OC≈38.8，

在直角三角形BCO中，tan30°=解得BC≈67.3．

=≈=≈0.97，

，

答：该台灯照亮水平面的宽度BC大约是67.3cm．

（1）求AB段山坡的高度EF；

（2）求山峰的高度CF．（

1.414，CF结果精确到米）

第37页（共41页）

【解答】解：（1）作BH⊥AF于H，如图，

在Rt△ABH中，∵sin∠BAH=∴BH=800•sin30°=400，

∴EF=BH=400m；

（2）在Rt△CBE中，∵sin∠CBE=∴CE=200•sin45°=100≈141.4，

，

∴CF=CE+EF=141.4+400≈541（m）．

答：AB段山坡高度为400米，山CF的高度约为541米．

二．解答题（共3小题）

米/秒．若小明与小军同时到达山顶C处，

【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，设AD=x米，小明的行走速度是a米/秒，

∵∠A=45°，CD⊥AB，

∴AD=CD=x米，

第38页（共41页）

∴AC=x．

在Rt△BCD中，

∵∠B=30°，

∴BC===2x，

∵小军的行走速度为∴=米/秒．若小明与小军同时到达山顶C处，

，解得a=1米/秒．

答：小明的行走速度是1米/秒．

【解答】解：设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x小时；如图所示，

由题意得：∠ABC=45°+75°=120°，AB=12，BC=10x，AC=14x，

过点A作AD⊥CB的延长线于点D，

在Rt△ABD中，AB=12，∠ABD=45°+（90°﹣75°）=60°，

∴BD=AB•cos60°=AB=6，AD=AB•sin60°=6，

第39页（共41页）

∴CD=10x+6．

在Rt△ACD中，由勾股定理得：解得：（不合题意舍去）．

，

答：巡逻船从出发到成功拦截所用时间为2小时．

（1）求∠ABC的度数；

（2）求两棵大树A和B之间的距离（结果精确到1米）（参考数据：≈1.732，≈2.449）

≈1.414，

【解答】解：（1）∵CM∥AD，

∴∠ACM=∠DAC=15°，

∴∠ACB=180°﹣∠BCN﹣∠ACM=180°﹣60°﹣15°=105°，

而∠BAC=30°+15°=45°，

∴∠ABC=180°﹣45°﹣105°=30°；

（2）作CH⊥AB于H，如图，

第40页（共41页）

∵∠BAC=45°，

∴△ACH为等腰直角三角形，

∴AH=CH=AC=×200=100，

在Rt△BCH中，∵∠HBC=30°，

∴BH=CH=100，

+100≈141.4+244.9≈386．

∴AB=AH+BH=100答：两棵大树A和B之间的距离约为386米．

第41页（共41页）

2024年九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系单元测试北师大版篇二

直角三角形的边角关系(时间：100分钟满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．2cos45°的值等于(B)22B．2C．D．22242．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，则sinA的值为(C)4334A．B．C．D．5453A．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，各边都扩大2倍，则∠A的锐角三角函数值(C)1A．扩大2倍B．缩小C．不变D．无法确定24．(2023·威海)如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为28°，高为7米．用计算器求AB的长，下列按键顺序正确的是(B)A．7×C．7×sintan2288＝＝B．7D．7÷÷sintan228＝8＝第4题图5．在△ABC中，若第6题图第7题图|1sinA－2|＋(32－tanB)＝0，则∠C的度数为(A)3A．120°B．90°C．60°D．30°6．(2023·南充)如图，小兵同学从A处出发向正东方向走x米到达B处，再向正北方向走到C处，已知∠BAC＝α，则A，C两处相距(B)xxA．米B．米C．x·sinα米D．x·cosα米sinαcosα7．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cosB的值为(B)1233A．B．C．D．22238．如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为α时，梯子顶端靠在墙面上的点A处，底端落在水平地面的点B处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯3子与地面所成角为β，已知sinα＝cosβ＝，则梯子顶端上升了(C)5A．1米B．1.5米C．2米第8题图D．2.5米第9题图第10题图9．如图，小岛在港口P的北偏西60°方向，距港口56海里的A处，货船从港口P出发，沿北偏东45°方向匀速驶离港口P，4小时后货船在小岛的正东方向，则货船的航行速度是(A)A．72海里/时B．73海里/时C．76海里/时D．282海里/时1110．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，cosB＝，点D是边BC的中点，以AD为底边4CE在其右侧作等腰三角形ADE，使∠ADE＝∠B，连接CE，则的值为(D)AD315A．B．3C．D．222二、填空题(每小题3分，共15分)111．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2，则sinB的值是____．2第11题图第13题图第14题图第15题图12．已知，在△ABC中，∠C＝90°，3BC＝3AC，则tanA＝__13．如图，在△ABC中，cosB＝3__，∠B＝__60°__．323，sinC＝，AC＝10，则△ABC的面积为__42__．2514．(2023·济宁)某数学活动小组要测量一建筑物的高度，如图，他们在建筑物前的平地上选择一点A，在点A和建筑物之间选择一点B，测得AB＝30m，用高1m(AC＝1m)的测角仪在A处测得建筑物顶部E的仰角为30°，在B处测得仰角为60°，则该建筑物的高是__(153＋1)_m__．(结果保留根号)15．(2023·广元)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1，0)，点B(0，－3)，点C19在x轴上，且点C在点A右方，连接AB，BC，若tan∠ABC＝，则点C的坐标为__(，0)__.34三、解答题(共75分)216．(8分)计算：2cos30°－2sin60°·cos45°.解：原式＝2×(3232363－6)－2××＝－＝22222217．(9分)已知，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝∠A，∠B的度数．33，AB＝3，利用三角函数知识，求233AC3，AB＝3，∴sinB＝＝.∴∠B＝60°.∴2AB2∠A＝90°－∠B＝30°.∴∠A，∠B的度数分别为30°，60°解：在△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝318．(9分)如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D.若AB＝12，CD＝6，tanA＝，求sin22A＋cosB的值．CD3＝，∴AD＝4.∴BD＝AB－AD＝8.在Rt△BCD中，AD26BD4DCBC＝82＋62＝10.∴cosB＝＝.在Rt△ADC中，AC＝42＋62＝213.∴sinA＝＝BC5AC213334＝13.∴sinA＋cosB＝13＋13135解：在Rt△ACD中，CD＝6，tanA＝19．(9分)(2023·通辽)如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东72°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东40°方向上的B处．这时，B处距离灯塔P有多远？(结果取整数．参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)解：由题意得PC⊥AB，EF∥AB，∴∠A＝∠EPA＝72°，∠B＝∠BPF＝40°，在Rt△APCPC中，AP＝100海里，∴PC＝AP·sin72°≈100×0.95＝95(海里)，在Rt△BCP中，BP＝sin40°95≈≈148(海里)，∴B处距离灯塔P约有148海里0.6420．(9分)(2023·湖北)为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i＝3∶4是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比．已知斜坡CD长度为20米，∠C＝18°，求斜坡AB的长．(结果精确到0.1米．参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32)解：过点D作DE⊥BC，垂足为E，AF3由题意得AF⊥BC，DE＝AF，∵斜面AB的坡度i＝3∶4，∴＝，∴设AF＝3x米，则BF4BF＝4x米，在Rt△ABF中，AB＝AF2＋BF2＝（3x）2＋（4x）2＝5x(米)，在Rt△DEC中，∠C＝18°，CD＝20米，∴DE＝CD·sin18°≈20×0.31＝6.2(米)，∴AF＝DE＝6.2米，∴313x＝6.2，解得x＝，∴AB＝5x≈10.3(米)，∴斜坡AB的长约为10.3米15321．(10分)(永州中考)已知锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，边abc角总满足关系式：＝＝.sinAsinBsinC(1)如图1，若a＝6，∠B＝45°，∠C＝75°，求b的值；(2)某公园准备在园内一个锐角三角形水池ABC中建一座小型景观桥CD(如图2所示)，53若CD⊥AB，AC＝14米，AB＝10米，sin∠ACB＝，求景观桥CD的长度．14解：(1)∵∠B＝45°，∠C＝75°，∴∠A＝60°，∵abc6＝＝，∴sinAsinBsinCsin60°b＝，∴b＝26sin45°10ABAC143CD(2)∵＝，∴＝，∴sinB＝，∴∠B＝60°，∴tanB＝＝53sinBsin∠ACBsinB2BD1433222223，∴BD＝CD，∵AC＝CD＋AD，∴196＝CD＋(10－CD)，∴CD＝83或CD＝－33(舍33去)，∴CD的长度为83米22．(10分)(2023·衡阳)随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度，圆圆要测量教学楼AB的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部243米的C处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点D处，测得教学楼AB的顶部B处的俯角为30°，CD长为49.6米．已知目高CE为1.6米．(1)求教学楼AB的高度；(2)若无人机保持现有高度沿平行于CA的方向，以4行．求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线EB.3米/秒的速度继续向前匀速飞解：(1)过点B作BM⊥CD于点M，则∠DBM＝∠BDN＝30°，3＝324(米)，∴AB＝CM＝CD－DM＝49.6－24＝25.6(米).答：教学楼AB的高度为25.6米(2)在Rt△BDM中，BM＝AC＝243米，∠DBM＝30°，∴DM＝BM·tan∠DBM＝243×连接EB并延长交DN于点G，则∠DGE＝∠MBE，在Rt△EMB中，BM＝AC＝243米，EM＝CM24EM3－CE＝24米，∴tan∠MBE＝＝＝，∴∠MBE＝30°＝∠DGE，∵∠EDG＝90°，∴BM2433∠DEG＝90°－30°＝60°，在Rt△EDG中，ED＝CD－CE＝49.6－1.6＝48(米)，∴DG＝ED·tan60°＝483(米)，∴483÷43＝12(秒)，∴经过12秒时，无人机刚好离开了圆圆的视线23．(11分)如图，斜坡AB的坡角∠BAC＝13°，计划在该坡面上安装两排平行的光伏板．前排光伏板的一端位于点A，过其另一端D安装支架DE，DE所在的直线垂直于水平线AC，垂足为点F，E为DF与AB的交点．已知AD＝100cm，前排光伏板的坡角∠DAC＝28°.4锐角A三角函数sinAcosAtanA13°0.220.970.2328°0.470.880.5332°0.530.850.62(1)求AE的长(结果取整数)；(2)冬至日正午，经过点D的太阳光线与AC所成的角∠DGA＝32°，后排光伏板的前端H在AB上．此时，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响，则EH的最小值为多少？(结果取整数，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)AF解：(1)在Rt△ADF中，cos∠DAF＝，∴AF＝AD·cos∠DAF＝100cos28°≈100×0.88ADAFAF8888＝88(cm)，在Rt△AEF中，cos∠EAF＝，∴AE＝＝≈≈91(cm)(2)AEcos∠EAFcos13°0.97设DG交AB于M，过点A作AN⊥DG于N，∴∠AMN＝∠MAG＋∠DGA＝13°＋32°＝45°，在Rt△ADF中，DF＝AD·sin∠DAC＝100sin28°≈100×0.47＝47(cm)，在Rt△DFG中，tan∠DF4747DGA＝，∴FG＝≈≈75.8(cm)，∴AG＝AF＋FG≈88＋75.8＝163.8(cm)，在RtFGtan32°0.62△AGN中，AN＝AG·sin∠DGA＝163.8×sin32°≈163.8×0.53≈86.8(cm)，∵∠AMN＝45°，∴△AMN为等腰直角三角形，∴AM＝2AN≈1.41×86.8≈122.4(cm)，∴EM＝AM－AE≈122.4－91≈31.4(cm)，∴EM≈32cm.当M、H重合时，EH的值最小，∴EH的最小值约为32cm5

勾股定理实际应用题篇三

18.如图，有一只小鸟在一棵高 13m的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树 12m，高8m的一棵小树树梢上发

19. (2007?义乌市)李老师在与同学进行蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题,

请你根据下列所给

的重要条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长.

正方体的棱长为 5cm 一C1处；

(1) 如图

只蚂蚁欲从正方体底面上的点 A沿着正方体表面爬到点

A沿着棱柱表面爬到

(2) 如图

2, 正四棱柱的底面边长为 5cm，侧棱长为6cm, —只蚂蚁从正C1处；

(3) 如图

3,圆锥的母线长为 4cm，圆锥的侧面展开图如图的4所示，且/ AOA仁120 ° 一只蚂蚁欲从圆锥的底面上

点A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点

出友好的叫声，它立刻以 2m/s的速度飞向小树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？

20. (2013?贵阳模拟)请阅读下列材料：

问题：如图1，圆柱的底面半径为 1dm, BC是底面直径，圆柱高 AB为5dm，求一只蚂蚁从点 A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线，小明设计了两条路线：

13路线m

1:高线AB+底面直径BC,如图1所示•路线2:侧面展开图中的线段 AC,如图2所示.(结果保留n)

B C

Q沿AB剪

开平铺一

(1)设路线1的长度为Li,则二=

(填 1或2)较短.

.设路线2的长度为L2,则］：，=

•所以选择路

.路线 2::

：，=

(2)小明把条件改成：

(填 1或2)较短.

•所以选择路线

J圆柱的底面半径为 5dm，高AB为1dm\"继续按前面的路线进行计算. 此时，路线1： =

B-

!P_

图2 (3)请你帮小明继续研究: 当圆柱的底面半径为

A出发沿圆柱表面爬行到点

21.如图，正方体边长为

C的路线最短.

2dm，高为hdm时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点

30cm , B点距离C点10cm，有一只蚂蚁沿着正方体表面从

B点？

A点爬到B点，其爬行速度

为每秒2cm，则这只蚂蚁最快多长时间可爬到 22. （2013?盐城模拟）如图，长方体的底面边长分别为 1cm和3cm，高为6cm，如果用一根细线从点 A开始经过4

A开始经过4个侧面缠绕n圈到个侧面缠绕一圈到达 B（ B为棱的中点），那么所用细线最短需要多长？如果从点

达点B,那么所用细线最短需要多长？

23. 如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙）

到柜角 Ci

处.若 AB=4 , BC=4 , CCi=5,

（1）请你在备用图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；

（2）求蚂蚁爬过的最短路径的长.

一 •选择题（共5小题）

二.解答题（共22小题）

6. （2013?徐州模拟）如图所示，甲、乙两船同时由港口

30。方向开往B岛，其速度仍为20海里/小时.

（1）求港口 A到海岛B的距离；

，有一只蚂蚁从柜角 A处沿着木柜表面爬

A出发开往海岛B,甲船沿东北方向向海岛 B航行，其速

度为15海里/小时；乙船速度为 20海里/小时，先沿正东方向航行 1小时后，到达 C港口接旅客，停留半小时后再转向北偏东（2） B岛建有一座灯塔，在离灯塔方圆 5海里内都可以看见灯塔，问甲、乙两船哪一艘先看到灯塔？

7. （2012?古冶区二模）有一艘渔轮在海上 C处作业时，发生故障，立即向搜救中心发出救援信号，此时搜救中心

A处和B处，B在A的正东方向，且相距 100里，测得地点C在

40里/小时和30里/小

的两艘救助轮救助一号和救助二号分别位于海上

A的南偏东60 °在B的南偏东30。方向上，如图所示，若救助一号和救助二号的速度分别为

时，问搜救中心应派那艘救助轮才能尽早赶到 C处救援？（ V3^l.7）

&为如图，要在高AC2米，斜坡

AB长8米的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要多少米?

B C

B=30 ° / C=45 ° AC=12“^cm .求△ ABC 的面积.

9.如图，一块三角形铁皮，其中/

10.如图，一架长 2.5米的梯子AB斜靠在竖直的墙 AC上，这时B到墙AC的距离为0.7米.

(1) 若梯子的顶端 A沿墙AC下滑0.9米至Ai处，求点B向外移动的距离 BBi的长；

(2) 若梯子从顶端 A处沿墙AC下滑的距离是点 B向外移动的距离的一半，试求梯

子沿墙AC下滑的距离是多少米？

11•如图，AB为一棵大树，在树上距地面 10米的D处有两只猴子，他们同时发现 C处有一筐水果，一只猴子从

D处往上爬到树顶 A处，又沿滑绳 AC滑到C处，另一只猴子从 D滑到B,再由B跑到C处，已知两只猴子所经路程都为15米，求树高AB .

1. (2010?新疆)如图，王大伯家屋后有一块长 12m，宽8m的矩形空地，他在以长边 BC为直径的半圆内种菜，他

) 家养的一只羊平时拴 A处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长可以选用( A . 3m B. 5m C. 7m D. 9m 2. （2007?茂名）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是 5,高是12,上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部

的直吸管在罐内部分 a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（

12 弟 <13 B

12 弟

W15 C

5 毛 <12

）

5 毛 <13

3. （ 2012?乐山模拟）一船向东航行，上午8时到达B处，看到有一灯塔在它的南偏东

上午10时到达C处，看到灯塔在它的正南方向，则这艘船航行的速度为（

A . 18海里/小时 |B.丨；-海里/小时 |C. 36海里/小时

）

60°距离为72海里的A处,

|D .卜-海里/小时

4. （ 2010?罗湖区模拟）在直径为 10m的圆柱形油槽内装入一些油后，截图如图所示，如果油面宽的最大AB=8m，那么油

C. 3m

深度是（）

D. 4m

5•如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为则吸管露在盒外的部分 h的取值范围为（）

4cm、3cm、12cm，现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部,

B . 3

D . h=4

12 .如图，某会展中心在会展期间准备将高 5m，长13m，宽2m的楼梯上铺地毯，已知地毯每平方米 18元，请你

帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱？

4 13. 如图，A城气象台测得台风中心在 A城正西方向320km的B处，以每小时向移动，40km的速度向北偏东 60°的BF方

距离台风中心 200km的范围内是受台风影响的区域.

(1) A城是否受到这次台风的影响？为什么？

(2) 若A城受到这次台风影响，那么 A城遭受这

14. 如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向260km的B处有一台风中心，沿BC方向以15km/h的速度移动,

已知城市 A到BC的距离AD=100km .

(1)

(2)

都会受到不同程度的影响，若在点

台风中心经过多长时间从 B移动到D点？

已知在距台风中心 30km的圆形区域内D的工作人员早上6: 00接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在什么时间段内做预防工作？

15.

正前方50米C处，过了 6秒后，测得小

中华人民共和国道路交通管理条例 ”规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过 70千米/时.一辆小汽车” 在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A”汽车”位置B与车速检测仪A”之间的距离为130米，这辆小汽车”超速了吗？请说明理由.

16.

是半径为

某工厂的大门如图所示，其中下方是高为

1米的半圆形.货车司机小

2.3米、宽为2米的矩形，上方王开着一辆高为3.0米，宽为1.6米的装满货物的卡车，能否进入如图所示的工厂大门？请说明你的理由.B

■08米

23米

护

2米T < --

一

17•勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣.

图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成(图

请解答：

1955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票•所谓勾股

1 : △ ABC中，/ BAC=90 °.

(2)如图3,若以直角三角形的三边为直径向外作半圆,

则它们的面积S1、S2、S3之间的数量关系是 _______________

Si、S2、S3之间的数量关系是

请说明理由.

(1)如图2,若以直角三角形的三边为边向外作等边三角形，则它们的面积

(3) 如图4,在梯形 ABCD中，AD // BC

ABC+ / BCD=90 ° BC=2AD，分别以 AB、CD、AD为边向梯形外

作正方形，其面积分别为 S2、S3,则$2、S3之间的数量关系式为 _______________________ ，请说明理由. 最短距离是多少?

24. 如图，长方体的长为 15,宽为10,高为20,点B离点C的距离是5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点

25.

处有一蜘蛛，与蜘蛛相

对的圆柱形容器的上口外侧距开口处

如图所示，圆柱形的玻璃容器，高 18cm，底面周长为24cm，在外侧距下底1cm的点S1cm的点F处有一只苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径.

26. 如图，一正方形的棱长为 2, —只蚂蚁在顶点 A处，在顶点G处有一米粒.

(1) 问蚂蚁吃到这粒米需要爬行的最短距离是多少？

(2)

蚂蚁要吃到这粒米的最短距离又是多少?

在蚂蚁刚要出发时，突然一阵大风将米粒吹到了 GF的中点M处，问

27•如图所示，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为

值)

6m的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一只老鼠正

在偷吃粮食•此时，小猫正在 B处，它要沿圆锥侧面到达 P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是多少米？(结果不取近似2014年3月352449109的初中数学组卷

参考答案与试题解析

一 •选择题（共5小题）

1. （2010?新疆）如图，王大伯家屋后有一块长 12m，宽8m的矩形空地，他在以长边 BC为直径的半圆内种菜，他

B. 5m C. 7m

家养的一只羊平时拴 A处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长可以选用（

D. 9m

）

考点：勾股定理的应用•

专题：应用题；压轴题•

分析：

为了不让羊吃到菜，必须V等于点 A到圆的最小距离.要确定最小距离，连接 OA交半圆于点E,即AE 是最短距离.在直角二角形 AOB中，因为OB-6 , AB-8，所以根据勾股定理得 OA-10 .那么AE的长即可解答.

解答：解：连接OA，交半圆0于E点,

A 3m

OAB 中，OB=6 , AB=8 , 在.

Rt△

所以 OA= ■\'一比=；

又 OE=OB=6 ,

所以 AE=OA - OE=4 .

因此选用的绳子应该不大于 4m,

故选A.

点评：此题确定点到半圆的最短距离是难点•熟练运用勾股定理.

2. （2007?茂名）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是 5,高是12, 上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部

）的直吸管在罐内部分 a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（

B . 12 弟 <15

<1<3 考点：勾股定理的应用.

专题：压轴题.

分析：最短距离就是饮料罐的高度，最大距离可根据勾股定理解答.

解答：解：a的最小长度显然是圆柱的高

即a的取值范围是12^<13.

故选A.

点评：主要是运用勾股定理求得 a的最大值，此题比较常见，有一定的难度.

12,最大长度根据勾股定理，得： .「一「二=13 .

3. （ 2012?乐山模拟）一船向东航行，上午8时到达B处，看到有一灯塔在它的南偏东

上午10时到达C处，看到灯塔在它的正南方向，则这艘船航行的速度为（

A . 18海里/小时 |B. 海里/小时 C. 36海里/小时

）

60°距离为72海里的A处,

|D .上海里/小时

考点：勾股定理的应用；方向角.

专题：应用题.

分析：首先画图，构造直角三角形，利用勾股定理求出船

8时到10时航行的距离，再求速度即可解答.

解答：解：如图在Rt△ ABC中， / ABC=90 ° - 60°=30 ° AB=72海里，

故AC=36海里，BC=J肿-肝=36衍海里，

艘船航行的速度为 3^3吃=18衍海里/时.

故选B .

点评：本题考查方位角、直角三角形、锐角三角函数的有关知识.解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线.

4. （ 2010?罗湖区模拟）在直径为 10m的圆柱形油槽内装入一些油后，截图如图所示，如果油面宽 AB=8m，那么油

B. 2m

的最大深度是（

C . 3m D . 4m

）

考点：勾股定理的应用；垂径定理的应用.

分析：本题是已知圆的直径，弦长求油的最大深度其实就是弧 AB的中点到弦AB的距离，可以转化为求弦心距的问题，利用垂径定理来解决.

解答:

解：过点 O作OM丄AB交AB与M，交弧AB于点E .连接OA .A . 1m

在 Rt△ OAM 中：OA=5m ,

AM= ]AB=.

4m根据勾股定理可得 OM=3m，则油的最大深度 ME为5 - 3=2m .故选B .

点评：考查了勾股定理的应用和垂径定理的应用，圆中的有关半径，弦长，弦心距之间的计算一般是通过垂径定

理转化为解直角三角形的问题.

有一长为16cm的吸管插入到盒的底部,

则吸管露在盒外的部分 h的取值范围为(

如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为 4cm、3cm、12cm，现)

考点：勾股定理的应用.

詔 D

h=4

分析：根据题中已知条件，首先要考虑吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长为

与底面对角线和高正好组成直角三角形，用勾股定理解答进而求出露在杯口外的长度最短.

解答：解：①当吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长，最长为

16 12=4cm ;最短时

16 - 12=4 (cm);

② 露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，底面对角线直径为 5cm，高为12cm,

由勾股定理可得杯里面管长为

则可得露在杯口外的长度在

故选B.

点评：本题考查了矩形中勾股定理的运用，解答此题的关键是要找出管最长和最短时在杯中所处的位置，然后计算求解.

二.解答题(共22小题)

6. (2013?徐州模拟)如图所示，甲、乙两船同时由港口

30。方向开往B岛，其速度仍为20海里/小时.

(1) 求港口 A到海岛B的距离；

(2)

看到灯塔？

B岛建有一座灯塔，在离灯塔方圆 5海里内都可以看见灯塔，问甲、乙两船哪一艘先A出发开往海岛B,甲船沿东北方向向海岛 B航行，其速

3cm和4cm范围变化.

16 - 13=3cm ;

度为15海里/小时；乙船速度为 20海里/小时，先沿正东方向航行 1小时后，到达 C港口接旅客，停留半小时后再转向北偏东考点：勾股定理的应用.

专题：应用题.

分析：（1）作BD丄AE于D，构造两个直角三角形并用解直角三角形用

之间的关系列出方程求解.

（2）分别求得两船看见灯塔的时间，然后比较即可.

解答：解：（1）过点B作BD丄AE于D

在 Rt△ BCD 中，/ BCD=60 ° 设 CD=x，贝U BD=鹿x, BC=2x

在 Rt△ ABD 中，/ BAD=45 °

贝U AD=BD= 匱，AB=^BD=^H

由 AC+CD=AD 得 20+x=V^x

解得：x=10丽+10

故 AB=30/j+10 后

BD表示出CD和AD，利用DA和DC

（2）甲船看见灯塔所用时间:

「一•H：小时

乙船看见灯塔所用时间:\"「V」小时

答：港口 A到海岛B的距离为3^^+1旅海里.

点评：此题考查的知识点是勾股定理的应用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，利用解直角三角形的相关知识解答.

7. （2012?古冶区二模）有一艘渔轮在海上 C处作业时，发生故障，立即向搜救中心发出救援信号，此时搜救中心

的两艘救助轮救助一号和救助二号分别位于海上 A处和B处，B在A的正东方向，且相距 100里，测得地点C在

A的南偏东60 °在B的南偏东30。方向上，如图所示，若救助一号和救助二号的速度分别为

所以乙船先看见灯塔.

40里/小时和30里/小

时，问搜救中心应派那艘救助轮才能尽早赶到

考点：勾股定理的应用.

C处救援？（ V3^l.7）

AB和BC的长度，利用速度、时间、路程之间分析：作CD丄AB交AB延长线于D,根据勾股定理分别计算出

的关系求出各自的时间比较大小即可.

解答：解：作CD丄AB交AB延长线于 D,

由已知得：/ EAC=60 ° / FBC=30 °

•••/ 1=30° / 2=90°- 60°30° °

•••/ 1 + / 3=7 2 ,

•••/ 3=30 ° •••/ 1 = / 3,

••• AB=BC=100 ,

在 Rt△ BDC 中,

BD=2BC=50,

-B

D=W 3，

25• DC=J

2•/ AD=AB+BD=150 ,

•••在 Rt△ ACD

中, =JAD2+C严=衍，

AC100• t1

号=虫=2^ 40严.25,

空、

2号芒=吏,

30 3

4.25,

•搜救中心应派 2号艘救助轮才能尽早赶到 C处救援.

血北

牛北

点评：本题考查了勾股定理的运用、等腰三角形的判定和性质以及速度、时间、路程之间的关系.

&如图，要在高 AC为2米，斜坡AB长8米的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要多少米?

考点：勾股定理的应用.

根据题意，知还需要求出 BC的长，根据勾股定理即可.

分析：；

222解答：解：由勾股定理 AB=BC+AC ,

得 =

BC广-— 4=■\'\'，

AC+BC=2+2 二（米）.

答：所需地毯的长度为（2+2 r）米.

点评：能够运用数学知识解决生活中的实际问题•熟练运用勾股定理.

9.B=30 ° / C=45 ° AC=12徒cm.求△ ABC的面积.

如图，一块三角形铁皮，其中/

考点：勾股定理的应用；三角形的面积；含 30度角的直角三角形；等腰直角三角形. 分析：首先过A作AD丄CB,根据/ C=45°可以求出 AD=DC，再利用勾股定理求出

形的性质求出 AB的长，利用勾股定理求出

解答：解：过A作AD丄CB ,

•••/ C=45 °

•••/ DAC=45 °

••• AD=DC ,

设 AD=DC=x ,

则 x+x= (1^2) ,

解得：x=12,

•••/ B=30 °

• AB=2AD=24 ,

•

=、二\'一：-工=

BD12222AD的长，再根据直角三角

△ ABC的面积. BD的长，最后根据三角形的面积公式可求出

\'，

:以及直角三角形的性质，关键是熟练利用直角三角形的性质求出

• CB=12+12 7,

BD、

• △ ABC 的面积=CB?AD=72 7+72 .

10.如图，一架长 2.5米的梯子AB斜靠在竖直的墙 AC上，这时B到墙AC的距离为0.7米.

(1) 若梯子的顶端 A沿墙AC下滑0.9米至Ai处，求点B向外移动的距离 BBi的长；

(2) 若梯子从顶端 A处沿墙AC下滑的距离是点 B向外移动的距离的一半，试求梯

AD的长.

子沿墙AC下滑的距离是多少米？

考点：勾股定理的应用.

分析：

(1)根据题意可知/ C=90 ° AB=2.5m , BC=0.7m，根据勾股定理可求出 AC的长度，根据梯子顶端 B沿墙下滑0.9m，可求出A1C的长度，梯子的长度不变，根据勾股定理可求出

长度.

(2)可设点B向外移动的距离的一半为

立方程，解方程即可.

解答：解：(1 )•.• AB=2.5m , BC=O.7m ,

•

=』£

5°-CL

严=・AC24mB1C的长度，进而求出 BB1的

2x,则梯子从顶端 A处沿墙AC下滑的距离是x,根据勾股定理建

•- A1

C=AC - AA

1=2.4 - 0.9=1.5m ,

•

〔C=

B~ =2m,

• BB1=B1C- BC=0.5m ; (2)梯子从顶端 A处沿墙AC下滑的距离是x，则点B向外移动的距离的一半为

由勾股定理得：(2.4- x) + ( 0.7+2x) =2.5,

解得：x==,

2222x ,

答：梯子沿墙 AC下滑的距离是；米.

点评：本题考查勾股定理的应用，在直角三角形里根据勾股定理，知道其中两边就可求出第三边，从而可求解.

11•如图，AB为一棵大树，在树上距地面

求树高AB .

10米的D处有两只猴子，他们同时发现 C处有一筐水果，一只猴子从

D处往上爬到树顶 A处，又沿滑绳 AC滑到C处，另一只猴子从 D滑到B,再由B跑到C处，已知两只猴子所经路程都为15米，考点：勾股定理的应用.

2 2 2

分析：在Rt△ ABC中，/ B=90 °贝U满足AB +BC =AC , BC=a (米),AC=b (米),AD=x (米)，根据两只猴子经过的路程一样可得 10+a=x+b=15解方程组可以求 x的值，即可计算树高 =10+x .

解答：解：Rt△ ABC 中，/ B=90 °

设 BC=a （米），AC=b （米），AD=x （米）

则 10+a=x+b=15 （米）.

••• a=5 （米），b=15 - x （米）

2 2 2

又在Rt△ ABC中，由勾股定理得：（10+x） +a =b ,

•••（ 10+x） +5 = （15 - x）,

解得，x=2，即AD=2 （米）

• AB=AD+DB=2 +10=12

答：树高AB为12米.

2 2 9

（米）

点评：本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中找到两只猴子行走路程相等的等量关系，并且正确地运用勾股定理求AD的值是解题的关键.

12 •如图，某会展中心在会展期间准备将高 5m，长13m，宽2m的楼梯上铺地毯，已知地毯每平方米 18元，请你

帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱？

考点：勾股定理的应用. 分析：

地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即

得BC的长，地毯的长与宽的积就是面积.

解答: 解：由勾股定理，AC=d屈2 一- 5匹12 ( m).

则地毯总长为12+5=17 ( m),

AC与BC的和，在直角 △ ABC中，根据勾股定理即可求

则地毯的总面积为 17疋=34 (平方米)，所以铺完这个楼道至少需要 34X18=612元.

点评：正确理解地毯的长度的计算是解题的关键.

13. 如图，A城气象台测得台风中心在 A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东 60°的BF方向移动，距离台风中心 200km的范围内是受台风影响的区域.

(1) A城是否受到这次台风的影响？为什么？

(2) 若A城受到这次台风影响，那么 A城遭受这次台风影响有多长时间？

:勾股定理的应用.

:应用题.

(1) 点到直线的线段中垂线段最短，故应由 A点向BF作垂线，垂足为 C,若AC >200则A城不受影响, 否则受影响；

(2) 点A到直线BF的长为200千米的点有两点，分别设为D、G,则厶ADG是等腰三角形，由于AC丄BF 则C是DG的中点，

在Rt△ ADC中，解出CD的长，则可求DG长，在DG长的范围内都是受台风影响，再根据速度与距离的关系则可求时间.

解：(1 )由A点向BF作垂线，垂足为C,

在 Rt△ ABC 中，/ ABC=30 °, AB=320km，贝U

因为160

200,所以A城要受台风影响；

AC=160km ,

则还有一点

AG=200 千米.

因为DA=AG，所以△ ADG是等腰三角形，因为AC丄BF，所以AC是BF的垂直平分线，

在 Rt△ ADC 中，DA=200 千米，AC=160 千米，

由勾股定理得，CD=

则 DG=2DC=240 千米，

遭受台风影响的时间是： t=240 -^40=6 (小时).

此题主要考查辅助线在题目中的应用，勾股定理，点到直线的距离及速度与时间的关系等，较为复杂.

CD=GC ,

，’：\'=；「 - ■\'| =120千米, 14.

15km/h的速度移动,

如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向260km的B处有一台风中心，沿BC方向以已知城市 A到BC的距离AD=100km .

(1)

(2)

都会受到不同程度的影响，若在点

台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在什么时间段内做预防工作？

台风中心经过多长时间从 B移动到D点？

已知在距台风中心 30km的圆形区域内D的工作人员早上6: 00接到台风警报，

考点：勾股定理的应用.

分析：

(1) 首先根据勾股定理计算 BD的长，再根据时间-路程邈度进行计算；

(2)

米范围内都要受到影响，先求出从点B到受影响的距离与结束影响的距离，

解答：

解: (1 )在 Rt△ ABD 中，根据勾股定理，得 BD-JAB^-AD2=(26/ - 10护-240如,

根据在30千再根据时间-

所以，台风中心经过 240出5-16小时从B移动到D点，答：台风中心经过 16小时时间从B移动到D点；

(2)如图，•••距台风中心 30km的圆形区域内都会受到不同程度的影响，

••• BE-BD - DE-240 - 30-210km , BC-BD+CD-240+30-270km ,

•••台风速度为 15km/h ,

• 210 宁15-14 时，270 宁15-18,

•••早上6: 00接到台风警报，

• 6+14-20 时，6+18-24 时，

•••他们要在20时到24时时间段内做预防工作.

点评：

本题考查了勾股定理的运用，此题的难点在于第二问，需要正确理解题意，根据各自的速度计算时间，然后进行正确分

析.

中华人民共和国道路交通管理条例 ”规定：小汽车在城市街道上15.

方50米C处，过了 6秒后，测得小

的行驶速度不得超过 70千米/时.一辆小汽车” 在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A”正前汽车”位置B与车速检测仪A”之间的距离为130米，这辆小汽车”超速了吗？请说明理由. ―it—

观测点

考点：勾股定理的应用.

专题：计算题.

分析：由题意知，△ ABC为直角三角形，且 AB是斜边，已知 AB , AC根据勾股定理可以求 BC,根据BC的长度和时间可以求小汽车在 BC路程中的速度，若速度大于 70千米/时，则小汽车超速；若速度小于

时，则小汽车没有超速.

解答：解：由题意知， AB=130米，AC=50米，

且在 Rt △ ABC中，AB是斜边，

2 2 2

70千米/

根据勾股定理AB =BC +AC , 可以求得：BC=120米=0.12千米，且6秒=」_时，

3600

0 I?

所以速度为丛护=72千米/时，

3600

故该小汽车超速.

答：该小汽车超速了，平均速度大于

的关键.

70千米/时.

本题中准确的求出 BC的长度，并计算小汽车的行驶速度是解题点评：本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，

16•某工厂的大门如图所示，其中下方是高为 2.3米、宽为2米的矩形，上方是半径为 1米的半圆形•货车司机小

宽为

1.6米的装满货物的卡车，能否进入如图所示的工厂大门？请说明你的理由.

考点：勾股定理的应用.

专题：应用题.

分析：根据题中的已知条件可将 BB的长求出，和卡车的高进行比较，若门高低于卡车的高则不能通过否则能通过.

解答：解：设BB 与矩形的宽的交点为 C,

•/

AB=1 米，AC=0.8 米，/ ACB=90 °

二阮=（胪-二*=右2-0. 尹=°・米，

6•/

BB =BC+CB \'=2.3+0.6=2.9

3.0,

•••不能通过.

八

23米

A\"8

*——2米一 —?

点评：考查了勾股定理的应用，本题的关键是建立数学模型，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键.

17•勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣.

图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成(图

请解答：

(1)

等边三角形，则它们的面积

S1+S2=S3

___ ________

1955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票•所谓勾股

1 : △ ABC中，/ BAC=90 °.

如图2,若以直角三角形的三边为边向外作Si、S2、S3之间的数量关系是

•

则它们的面积 &、S2、S3之间的数量关系是

_S1+S2=S3_

(2) 如图3,若以直角三角形的三边为直径向外作半圆，

请说明理由.

(3)如图4,在梯形 ABCD中，AD // BC

ABC+ / BCD=90 ° BC=2AD，分别以 AB、CD、AD为边向梯形外作正方形，其面积分别为 S1、S2、S3,则S1、$2、S3之间的数量关系式为 _S1+S2=S3

，请说明理由.

考点：勾股定理的应用.

专题：探究型.

分析： (1)

S2、S3的大小，满足勾股定理.

利用直角△ ABC的边长就可以表示出等边三角形 S1、222(2) 利用直角△ ABC的三边的边长就可以表示出半圆 S1、S2、S3的大小，满足勾股疋理.

解：设直角三角形 ABCAB、CA、BC的长分别为a、b、c,贝U

c=a+b

解答：

(1) S[+S2=S3,证明如下：

••• S3=], S1=]」，S2= \"-■/ • •• S1+S2二千 =广「，

=S3；

L(2) Si+S2=S3.证明如下：

•••

S3=「厂」，S1=「厂：,S2」厂；

•丨广=…，「=S3； • Sl+S2= • /+

(3) 过D点作DE // AB，交BC于E，设梯形的边 AB、DC、AD的长

分别为 a、b、c,可证 EC=AD=c，DE=AB=a ,

EDC=180

°-(Z

DEC+

BCD

)

=180

°-(Z

ABC+

BCD

)

=90°

2 2 2

则 c =a +b

Si=a〈 S2=b2 S3=^，表示，则 Si+S2=S3-

故答案为：Sl+S2=S3； Sl+S2=S3； Sl+S2=S3.

图4

点评：考查了三角形、正方形、圆的面积的计算以及勾股定理的应用.

18.

该树

如图，有一只小鸟在一棵高

12m，高8m的一棵小树树梢上发出

13m的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离友好的叫声，它立刻以 2m/s的速度飞向小树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？

12m

考点：勾股定理的应用.

专题：计算题.

分析：

本题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理求斜边的值是

再利用时间关系式求解.

解答：:

解：如图所示：

根据题意，得

13m，也就是两树树梢之间的距离是 13m，两

AC=AD - BE=13 - 8=5m , BC=12m .

根据勾股定理，得

AB=「『-F“=.

则小鸟所用的时间是 13吃=6.5 ( s).

13m答：这只小鸟至少 6.5秒才可能到达小树和伙伴在一起. =路程哒度.

19. (2007?义乌市)李老师在与同学进行

的重要条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长.

(1)

如图1,正方体的棱长为 5cm 一只蚂蚁欲从正方体底面上的点

(2)

此题主要考查勾股定理的运用•关键是构造直角三角形，同时注意：时间

如图2,正四棱柱的底面边长为 5cm，侧棱长为6cm, —只蚂蚁从正四棱柱底面上的点 A沿着棱柱表面爬到

C1处;的点A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点 A.

蚂蚁怎(3) 如图3,圆锥的母线长为 4cm，圆锥的侧面展开图如图

4所示，且/ AOA

1=120 ° 一只蚂蚁欲从圆锥的底面上

图3

考点：平面展开-最短路径问题.

专题：压轴题.

图斗

分析：将各图展开，根据两点之间线段最短，利用勾股定理解答. 解答：解：

S 3

图斗

图1

(@ 2

■； \"* M -

(2)画图分两种情况：

① 当横向剪开时：川|一 -•-

② 当竖向剪开时：

V 1 山，•••最短路程为二 / ? 1cm.

(3) 如图所示：

连接AA

1,过点O作OD丄AA

1于点D,

■ + ■ ■- _, 在 Rt △ ADO 和 Rt △ A1DO 中，

•/

OA=OA

••• AD=A

1D，/ AOD=丄/ AOA

1=60 °

• AD=OAsin60 °4 心=2^5,

• AA

=2AD=^3,

•所求的最短的路程为 AA仁沁.

点评：此题考查了冋学们的空间想象能力，冋时要求冋学们能将立体图形侧面展开，有一定难度.

20. (2013?贵阳模拟)请阅读下列材料：

问题：如图1，圆柱的底面半径为 1dm, BC是底面直径，圆柱高 AB为5dm，求一只蚂蚁从点 A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线，小明设计了两条路线：

路线1:高线AB+底面直径BC,如图1所示•路线2:侧面展开图中的线段 AC,如图2所示.(结果保留n)

c沿AB勇

—

圏1

(1)

劭

设路线122的长度为L1,则—2=49.设路线2的长度为L2,则—= 25+

n.所以选择路线

2)较短.

(2) 小明把条件改成：

高AB为1dm\"继续按前面的路线进行计算.

121 .路线2:-二1+25

n•所以选择路线

22(填 1或圆柱的底面半径为 5dm，此时，路线1 :.\'=

1 (填1或2)较短.

---- 「2 ----------------------- -------------------

(3)请你帮小明继续研究：当圆柱的底面半径为 A出发沿圆柱表面爬行到点 C的路线最短.

考点：平面展开-最短路径问题.

分析：(1)根据勾股定理易得路线 l2=AC=高+底面周长一半；路线1： 11=(高+底面直径);让两个平方比较，平方大的，底数就大.

2 2 2 2 2 2

2222222dm，高为hdm时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点

(2) 根据勾股定理易得路线 12

=AC =高+底面周长一半；路线1： 11

=(高+底面直径)；让两个平方比较，平方大的，底数就大.

(3) 根据(1)得到的结论让两个代数式分三种情况进行比较即可.

2 2

解答：解：(1

)Tl1

=7 =49 ,

(2)v

(AB+BC

)

(1+10)

=121

点评：立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决.

2 2 2 2 2 2 2 2

、2 2

L2=AC =AB +BC =5 +

(5n)

=25+25

n ,

T49

>25+25

n ,

所以选择路线2较短；

=1+25

2 2

••Tl-l2>0,

2 2

22•••ll>l2,^ ll>12,所以要选择路线221较短.

(3)当圆柱的底面半径为 2dm，高为hdm时，

2 2 2

代2 2 2

=AC =AB + BC =h +4

n ,

2 2 2

= (AB+BC ) = ( h+4),

2 2 2 2 2 2 2

(

h+4)

2 \'- 2 2

h +

n -

16=4[

( n -

4)-

2h];

当(n

- 4)- 2h=0 时，即 h= ------------ 时，li

=l2

;

•-«

当 h> ------

时，liv

l2；

222

当 hv ------ 时，li>l2.

222

故答案为：49, 25+n, 2; 121 , 1+25

n, 1.

点评：此题主要考查了平面展开最短路径问题，比较两个数的大小，有时比较两个数的平方比较简便，比较两个

数的平方，通常让这两个数的平方相减•注意运用类比的方法做类型题.

21.

距离C点10cm，有一只蚂蚁沿着正方体表面从

为每秒2cm，则这只蚂蚁最快多长时间可爬到 B点？

如图，正方体边长为 30cm , B点A点爬到B点，其爬行速度

考点：平面展开-最短路径问题.

分析：将正方体展开，连接 A、B,根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可.

解答：解：• ED=CB=10 ,

• AD=AE+ED=40 ,

•/ BD=10 ,

•

= J他 +B[?=°，

所需时间为50吃=25s.

答：这只蚂蚁最快 25s可爬到B点.

AB25 22. （2013?盐城模拟）如图，长方体的底面边长分别为 1cm和3cm，高为6cm，如果用一根细线从点 A开始经过4

A开始经过4个侧面缠绕n圈到个侧面缠绕一圈到达 B（ B为棱的中点），那么所用细线最短需要多长？如果从点

达点B,那么所用细线最短需要多长？

考点：平面展开-最短路径问题.

专题：计算题.

分析：要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据

解答：解：将长方体展开，连接 A、B，

根据两点之间线段最短， AB=

如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，

相当于直角三角形的两条直角边分别是

根据勾股定理可知所用细线最短需要

8n和6，

吋（加）？ + 3纭血4i? +9.

两点之间线段最短”得出结果.

故用一根细线从点 A开始经过4个侧面缠绕一圈到达 B （ B为棱的中点），那么所用细线最短需要届cm, 如果从点A点评：本题考查了平面展开-最短路径问题，是一道趣味题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可.

23. 如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙）

到柜角 Ci

处.若 AB=4 , BC=4 , CCi=5,

（1）请你在备用图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；

（2）求蚂蚁爬过的最短路径的长.

开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B,

，有一只蚂蚁从柜角 A处沿着木柜表面爬 I

I 4 I II < I ||

■r ---- 1 ----- L — || --- + —-fc -----

i ----- 1 ----- ■

备用图

解答：解

(1)如图，木柜的表面展开图是两个矩形

有如图的AC

1和AC1.

ABC

1D和AA1C1C.蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径

(2)①蚂蚁沿着木柜表面爬过的路径的长是

② 爬过的路径的长是 ACwJsJ (4+4)2=殛.

AC1=Jq2+(5+4).

•••屈＜応，

•••最短路径的长是 AC

=j.

点评：此题主要考查了长方体展开图的对角线长度求法，这种题型经常在中考中出现，也是易错题型，希望能引起同学们的注意，注意分类讨论.

24.

面从点

如图，长方体的长为 15,宽为10,高为20,点B离点C的距离是5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表最短距离是多少？

考点：平面展开-最短路径问题.

分析：要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答.

解答：解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第

•••长方体的宽为10,高为20,点B离点C的距离是5,

• BD=CD+BC=10+5=15 , AD=20 ,

在直角三角形 ABD中，根据勾股定理得：

•

= JBD十 AD 比

AB21个图：

+ “；

2个图：

25只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第

•••长方体的宽为10,高为20,点B离点C的距离是5,

• BD=CD+BC=20+5=25 , AD=10 ,

在直角三角形 ABD中，根据勾股定理得：二 AB=卜「- .\'.I.八 I - 一-\"-二=£ .八i；

3个图: 只要把长方体的右侧表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第

•••长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5,

••• AC=CD+AD=20+10=30 ,

在直角三角形 ABC中，根据勾股定理得：

• = ,一’ *\'=5 .一匕

••• 25 V 5

：

•••蚂蚁爬行的最短距离是 25.

___

25.

有一蜘蛛，与蜘蛛相

如图所示，圆柱形的玻璃容器，高 18cm,底面周长为24cm,在外侧距下底1cm的点S处对的圆柱形容器的上口外侧距开口处

1cm的点F处有一只苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径.

考点：平面展开-最短路径问题；勾股定理.

分析：

展开后连接SF，求出SF的长就是捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径，过 EF，根据勾股定理求出 SF即可.

S作SE丄CD于E,求出SE、解答：解：

如图展开后连接 SF,求出SF的长就是捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径,

过S作SEX

CD于E,

则 BC=SE=_ >24cm=12cm,

EF=18cm - 1cm - 1cm=16cm ,

在Rt△ FES中，由勾股定理得： SF= +—工订7^=20 (cm),

20cm. 答：捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径的长度是

A D

S \"二… ............................

B C

点评：本题考查了勾股定理、平面展开-最大路线问题，关键是构造直角三角形，题目比较典型，难度适中.

26. 如图，一正方形的棱长为 2, —只蚂蚁在顶点 A处，在顶点G处有一米粒.

(1) 问蚂蚁吃到这粒米需要爬行的最短距离是多少？

(2)

蚂蚁要吃到这粒米的最短距离又是多少?

在蚂蚁刚要出发时，突然一阵大风将米粒吹到了 GF的中点M处，问

考点：平面展开-最短路径问题.

分析： (1) 根据图形是立方体得出最短路径只有一种情况，利用勾股定理求出即可.

(2)

然后在平面内，利用勾股定理求点

到蚂蚁爬行的最短距离.在直角三角形中，一条直角边长等于

可求得.

解答：解：(1)如图所示:

把此正方体的点 M所在的面展开，A和点M间的线段长，即可得

2长，另一条直角边长等于 3，利用勾股定理

A B

•••正方形的棱长为 2,

••• AC=2AB=4 , CG=2 ,

AG= .汀=•\"；\"=・下=2 匸,

2 _; •蚂蚁吃到这粒米需要爬行的最短距离是

(2)如图所示： :珂用+M N凸』/ + 2凸负，

•••蚂蚁要吃到这粒米的最短距离是届.

点评：此题主要考查了平面展开图最短路径问题以及勾股定理的应用，得出正确的展开图是解决问题的关键.

27•如图所示，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为 6m的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一只老鼠正

AM在偷吃粮食•此时，小猫正在 B处，它要沿圆锥侧面到达 P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是多少米？(结果不取近似值)

考点：平面展开-最短路径问题；圆锥的计算.

分析：；根据底面积圆的周长等于展开后扇形的弧长，得出圆心角进而得出

解答：

BP的长.

解：•••△ ABC为正三角形，

• BC=6,

• 1=2 n 3=6 n,

根据底面积圆的周长等于展开后扇形的弧长，得：

n兀X6八

n180 =

故 n=180 ° 则/ B\'AC=90 °

• B\'P==3 \"(m),

答：小猫所经过的最短路程是 3 ：米.

B —

点评：此题主要考查了圆锥的计算以及平面展开图最短路径问题，根据已知得出圆心角度数是解题关键.

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