河北省2020年中考数学模拟试卷(一)含答案 (3) (三篇)

河北省中考数学模拟试卷（一）

一、选择题：本大题共16题，1-10小题，每小题3分，11-16小题，每小题3分，共42分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．计算4﹣（﹣4）0的结果是（ ）

A．0 B．2 C．3 D．4

2．下列各数中，最小的数是（ ）

A．1 B．﹣|﹣2| C． D．2×10﹣10

3．如图，已知直线a∥b，点A、B、C在直线a上，点D、E、F在直线b上，AB=EF=2，若△CEF的面积为5，则△ABD的面积为（ ）

A．2 B．4 C．5 D．10

4．下列说法中，不正确的是（ ）

A．5是25的算术平方根

B．m2n与mn2是同类项

C．多项式﹣3a3b+7ab+1的次数是4

D．﹣8的立方根为﹣2

5．已知不等式组A．C．

，则该不等式组的解集（阴影部分）在数轴上表示正确的是（ ）

B．D．

6．如图，已知△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称图形，则下列判断不正确的是（ ）

第1页（共30页）

A．∠ABC=∠A′B′C′ B．∠BOC=∠B′A′C′ C．AB=A′B′ D．OA=OA′

7．某商品的外包装盒的三视图如图所示，则这个包装盒的侧面积为（ ）

A．150πcm2 B．200πcm2 C．300πcm2 D．400πcm2

8．将抛物线y=x2先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的新的抛物线的解析式为（ ）

A．y=（x+2）2+4 B．y=（x+2）2﹣4 C．y=（x﹣2）2+4 D．y=（x﹣2）2﹣4

9．如图是小鹏自己制作的正方形飞镖盘，并在盘内画了两个小正方形，则小鹏在投掷飞镖时，飞镖扎在阴影部分的概率为（ ）

A． B． C． D．

10．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为6，∠ADC=60°，则劣弧AC的长为（ ）

A．2π B．4π C．5π D．6π

11．一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏西20°的方向行60海里到达点M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处，若M、N两点相距100海里，则∠NOF的度数为（ ）

第2页（共30页）

A．50° B．60° C．70° D．80°

12．如图，已知△ABC在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），若以点B为位似中心，在平1，

面直角坐标系内画出△A′BC′，使得△A′BC′与△ABC位似，且相似比为2：则点C′的坐标为（ ）

A．（0，0） B．（0，1） C．（1，﹣1） D．（1，0）

13．若关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2=0有实数根，则k的非负整数值为（ ）

A．1 B．0，1 C．1，2 D．0，1，2

14．BC=12，P是BC上的一个动点，∠ABC＞90°，∠C=30°，如图，在△ABC中，过点P作PD⊥AC于点D，设CP=x，△CDP的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（ ）

A． B． C． D．

15．张萌和小平两人打算各用一张正方形的纸片ABCD折出一个等边三角形，两人作法如下：张萌：△BCM如图1，将纸片对折得到折痕EF，沿点B翻折纸片，使点A落在EF上的点M处，连接CM，即为所求；小平：如图2，将纸片对折得到折痕EF，沿点B翻折纸片，使点C落在EF上的点M处，连接BM，△BCM即为所求，对于两人的作法，下列判断正确的是（ ）

第3页（共30页）

A．小平的作法正确，张萌的作法不正确

B．两人的作法都不正确

C．张萌的作法正确，小平的作法不正确

D．两人的作法都正确

16．如图，四边形OABC是菱形，对角线OB在x轴负半轴上，位于第二象限的点A和第三象限的点C分别在双曲线y=和y=的一支上，分别过点A、C作y轴的垂线，垂足分别为E和F．下

①|k1|=|k2|；②AE=CF；③若四边形OABC是正方形，列结论：则∠EAO=45°．其中正确的有（ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

二、填空题：本大题共4个小题，每小题3分，共12分，把答案写在题中横线上．

17．分解因式：x3﹣2x2y+xy2= ．

18．若x=﹣2，则代数式x2+1的值为 ．

19．如图，鹏鹏从点P出发，沿直线前进10米后向右转α，接着沿直线前进10米，再向右转α，…，照这样走下去，他第一次回到出发地点P时，一共走了100米，则α的度数为 ．

第4页（共30页）

20．如图，在矩形ABCD中，AD=4，AB=2，连接其对边中点，得到四个矩形，顺次连接AF、FG、AE三边的中点，得到三角形①；连接矩形GMCH对边的中点，又得到四个矩形，顺次连接GQ、QP、GN三边的中点，得到三角形②；…；如此操作下去，得到三角形为 ．

，则三角形的面积

三、解答题：本大题共6个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

21．请你根据王老师所给的内容，完成下列各小题．

（1）如果x=﹣5，2◎4=﹣18，求y的值；

（2）若1◎1=8，4◎2=20，求x、y的值．

22．如图，已知AD∥BC，按要求完成下列各小题（保留作图痕迹，不要求写作法）．

（1）用直尺和圆规作出∠BAD的平分线AP，交BC于点P．

（2）在（1）的基础上，若∠APB=55°，求∠B的度数．

（3）在（1）的基础上，E是AP的中点，连接BE并延长，交AD于点F，连接PF．求证：四边形ABPF是菱形．

23．如图，直线l1在平面直角坐标系中，直线l1与y轴交于点A，点B（﹣3，3）也在直线l1上，将点B先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点C，点C恰好也在直线l1上．

（1）求点C的坐标和直线l1的解析式；

第5页（共30页）

（2）若将点C先向左平移3个单位长度，再向上平移6个单位长度得到点D，请你判断点D是否在直线l1上；

（3）已知直线l2：y=x+b经过点B，与y轴交于点E，求△ABE的面积．

24．为普及消防安全知识，预防和减少各类火灾事故的发生，2015年11月，河北内丘中学邀请邢台市安全防火中心的相关人员，为全校教师举行了一场以“珍爱生命，远离火灾”为主题的消防安全知识讲座．在该知识讲座结束后，王老师组织了一场消防安全知识竞赛活动，其中九年级有七个班参赛．在竞赛结束后，王老师对九年级的获奖人数进行统计，得到每班平均有10人获奖，王老师将每班获奖人数绘制成如图所示的不完整的折线统计图．

（1）请将折线统计图补充完整，并直接写出九年级获奖人数最多的班级是 班；

（2）求九年级七个班的获奖人数的这组数据的中位数；

（3）若八年级参赛的总人数比九年级的多50名，获奖总人数比九年级多10名，但八年级和九年级获奖人数的百分比相同，求八年级参加竞赛的总人数．

25．2015年全球葵花籽产量约为4200万吨，比2014年上涨2.1%，某企业加工并销售葵花籽，假设销售量与加工量相等，在图中，线段AB、折线CDB分别表示葵花籽每千克的加工成本y1（元）、销售价y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系；

（1）请你解释图中点B的横坐标、纵坐标的实际意义；

（2）求线段AB所表示的y1与x之间的函数解析式；

（3）当0＜x≤90时，求该葵花籽的产量为多少时，该企业获得的利润最大？最大利润是多少？

第6页（共30页）

26．四边形ABCD是⊙O的内接正方形，AD=8，EB、EC是⊙O的两条，切点分别为B、C，P是边AB上的动点，连接DP．

（1）如图1，当点P与点B重合时，连接OC．

①求∠E的度数；

②求CE的长度；

（2）如图2，当点P在AB上，且AP＜AB时，过点P作FP⊥DP于点P，交BE于点F，连接DF．

①试判断DP与FP之间的数量关系，并说明理由；

②若，求DP的长度．

第7页（共30页）

河北省中考数学模拟试卷（一）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共16题，1-10小题，每小题3分，11-16小题，每小题3分，共42分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．计算4﹣（﹣4）0的结果是（ ）

A．0 B．2 C．3 D．4

【考点】零指数幂．

【分析】根据非零的零次幂等于1，可得答案．

【解答】解：原式=4﹣1=3，

故选：C．

【点评】本题考查了零指数幂，利用非零的零次幂等于1得出（﹣4）0=1是解题关键．

2．下列各数中，最小的数是（ ）

A．1 B．﹣|﹣2| C． D．2×10﹣10

【考点】实数大小比较．

【分析】根据绝对值、算术平方根、负整数指数幂的性质判断各数的符号，根据正实数大于一切负实数解答即可．

【解答】解：∵1、、2×10﹣10都是正数，﹣|﹣2|是负数，

∴最小的数是﹣|﹣2|．

故选：B．

【点评】本题考查的是实数的大小比较，任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．

3．如图，已知直线a∥b，点A、B、C在直线a上，点D、E、F在直线b上，AB=EF=2，若△CEF的面积为5，则△ABD的面积为（ ）

第8页（共30页）

A．2 B．4 C．5 D．10

【考点】平行线之间的距离；三角形的面积．

【分析】△CEF与△ABD是等底等高的两个三角形，它们的面积相等．

【解答】解：∵直线a∥b，点A、B、C在直线a上，

∴点D到直线a的距离与点C到直线B的距离相等．

又∵AB=EF=2，

∴△CEF与△ABD是等底等高的两个三角形，

∴S△ABD=S△CEF=5，

故选：C．

【点评】本题考查了平行线间的距离和三角形的面积．注意：平行线间的距离处处相等．

4．下列说法中，不正确的是（ ）

A．5是25的算术平方根

B．m2n与mn2是同类项

C．多项式﹣3a3b+7ab+1的次数是4

D．﹣8的立方根为﹣2

【考点】算术平方根；立方根；同类项；多项式．

【分析】分别利用算术平方根以及多项式的次数、同类项的定义、立方根的定义分别分析得出答案．【解答】解：A、5是25的算术平方根，正确，不合题意；

B、m2n与mn2不是同类项，故此选项错误，符合题意；

C、多项式﹣3a3b+7ab+1的次数是4，正确，不合题意；

D、﹣8的立方根为﹣2，正确，不合题意．

故选：B．

第9页（共30页）

【点评】此题主要考查了算术平方根以及多项式的次数、同类项的定义、立方根的定义等知识，正确掌握相关定义是解题关键．

5．已知不等式组A． D．

，则该不等式组的解集（阴影部分）在数轴上表示正确的是（ ）

B．

C．【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．

【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．

【解答】解：由x+2＞1，得x＞﹣1，

由x+3≤5，得x≤2，

不等式组的解集为﹣1＜x≤2，

故选：D．

【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．

6．如图，已知△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称图形，则下列判断不正确的是（ ）

A．∠ABC=∠A′B′C′ B．∠BOC=∠B′A′C′ C．AB=A′B′ D．OA=OA′

【考点】中心对称．

【分析】根据中心对称的定义：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，来求解可得即可．

【解答】解：因为△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称图形，

第10页（共30页）

所以可得∠ABC=∠A′B′C′，AB=A′B′，OA=OA\'，

故选B．

【点评】本题主要考查了中心对称的定义，解题的关键是熟记中心对称的定义．也可用三角形全等来求解．

7．某商品的外包装盒的三视图如图所示，则这个包装盒的侧面积为（ ）

A．150πcm2 B．200πcm2 C．300πcm2 D．400πcm2

【考点】由三视图判断几何体．

【分析】首先根据商品的外包装盒的三视图确定几何体的形状是圆柱，然后根据圆柱的侧面积=底面周长×高，求出这个包装盒的侧面积即可．

【解答】解：根据图示，可得商品的外包装盒是底面直径是10cm，高是15cm的圆柱，

则这个包装盒的侧面积为：

10π×15

=150π（cm2）；

故选：A．

【点评】此题主要考查了由三视图判断几何体，关键是分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．

8．将抛物线y=x2先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的新的抛物线的解析式为（ ）

A．y=（x+2）2+4 B．y=（x+2）2﹣4

【考点】二次函数图象与几何变换．

【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．

【解答】解：抛物线y=x2先向右平移2个单位长度，得：y=（x﹣2）2；

再向上平移4个单位长度，得：y=（x﹣2）2+4．

故选C．

第11页（共30页）

C．y=（x﹣2）2+4 D．y=（x﹣2）2﹣4 【点评】主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．

9．如图是小鹏自己制作的正方形飞镖盘，并在盘内画了两个小正方形，则小鹏在投掷飞镖时，飞镖扎在阴影部分的概率为（ ）

A． B． C． D．

【考点】几何概率．

【分析】先求出阴影部分的面积占整个大正方形面积的，再根据概率公式即可得出答案．

【解答】解：∵阴影部分的面积占总面积的，

∴飞镖落在阴影部分的概率为；

故选A．

【点评】此题考查了几何概率，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比；关键是求出阴影部分的面积．

10．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为6，∠ADC=60°，则劣弧AC的长为（ ）

A．2π B．4π C．5π D．6π

【考点】弧长的计算；圆内接四边形的性质．

【分析】连接OA、OC，然后根据圆周角定理求得∠AOC的度数，最后根据弧长公式求解．

【解答】解：连接OA、OC，

∵∠ADC=60°，

第12页（共30页）

∴∠AOC=2∠ADC=120°，

则劣弧AC的长为：故选：B．

=4π．

【点评】本题考查了弧长的计算以及圆周角定理，解答本题的关键是掌握弧长公式l=

．

11．一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏西20°的方向行60海里到达点M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处，若M、N两点相距100海里，则∠NOF的度数为（ ）

A．50° B．60° C．70° D．80°

【考点】勾股定理的逆定理；方向角．

【专题】应用题．

【分析】求出OM2+ON2=MN2，根据勾股定理的逆定理得出∠MON=90°，根据平角定义求出即可．【解答】解：∵OM=60海里，ON=80海里，MN=100海里，

∴OM2+ON2=MN2，

∴∠MON=90°，

∵∠EOM=20°，

∴∠NOF=180°﹣20°﹣90°=70°，

故选C．

【点评】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，能根据勾股定理的逆定理求出∠MON=90°是解此题的关键．

第13页（共30页）

12．如图，已知△ABC在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），若以点B为位似中心，在平1，

面直角坐标系内画出△A′BC′，使得△A′BC′与△ABC位似，且相似比为2：则点C′的坐标为（ ）

A．（0，0） B．（0，1） C．（1，﹣1）

【考点】位似变换；坐标与图形性质．

D．（1，0）

【分析】利用位似图形的性质结合位似比得出△BA′C′，进而得出C′点坐标．

【解答】解：如图所示：△A′BC′与△ABC位似，相似比为2：1，

点C′的坐标为：（1，0）．

故选：D．

【点评】此题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，正确得出对应点位置是解题关键．

13．若关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2=0有实数根，则k的非负整数值为（ ）

A．1 B．0，1 C．1，2 D．0，1，2

【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．

【分析】根据方程有实数根，得到根的判别式的值大于等于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集得到k的范围，即可确定出k的非负整数值．

第14页（共30页）

【解答】解：根据题意得：△=16﹣8k≥0，且k≠0，

解得：k≤2且k≠0，

则k的非负整数值为1或2．

故选：C．

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

14．BC=12，P是BC上的一个动点，∠ABC＞90°，∠C=30°，如图，在△ABC中，过点P作PD⊥AC于点D，设CP=x，△CDP的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（ ）

A． B． C． D．

【考点】动点问题的函数图象．

【分析】由含30°角的直角三角形的性质得出PD=PC=x，求出CD=积公式得出y=PD=x，由三角形的面x2（0＜x≤12），由二次函数的图象和自变量的取值范围即可得出结果．

【解答】解：∵PD⊥AC，

∴∠CDP=90°，

∵∠C=30°，

∴PD=PC=x，

∴CD=PD=x，

x=x2，x的取值范围为：0＜x≤12，

∴△CDP的面积y=PD•CD=×x×即y=∵x2（0＜x≤12），

＞0，

第15页（共30页）

∴二次函数图形的开口向上，顶点为（0，0），图象在第一象限．

故选：A．

【点评】本题考查动点问题的函数图象、含30°角的直角三角形的性质、三角形面积的计算、二次函数的图象；求出y是x的二次函数是解决问题的突破口．

15．张萌和小平两人打算各用一张正方形的纸片ABCD折出一个等边三角形，两人作法如下：张萌：△BCM如图1，将纸片对折得到折痕EF，沿点B翻折纸片，使点A落在EF上的点M处，连接CM，即为所求；小平：如图2，将纸片对折得到折痕EF，沿点B翻折纸片，使点C落在EF上的点M处，连接BM，△BCM即为所求，对于两人的作法，下列判断正确的是（ ）

A．小平的作法正确，张萌的作法不正确

B．两人的作法都不正确

C．张萌的作法正确，小平的作法不正确

D．两人的作法都正确

【考点】翻折变换（折叠问题）．

【分析】在图1中，由BM=2BF推出∠BMF=30°，所以∠MBF=60°，再根据等边三角形的判定方法即可证明．在图2中，证明方法类似．

【解答】解：图1中，∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD=BC

∵AE=ED=BF=FC，AB=BM，

∴BM=2BF，

∵∠MFB=90°，

∴∠BMF=30°，

∴∠MBF=90°﹣∠BMF=60°，

∵MB=MC，

第16页（共30页）

∴△MBC是等边三角形，

∴张萌的作法正确．

在图2中，∵BM=BC=2BF，∠MFB=90°，

∴∠BMF=30°，

∴∠MBF=90°﹣∠BMF=60°，

∵MB=MC

∴△MBC是等边三角形，

∴小平的作法正确．

故选D．

【点评】本题考查正方形的性质、翻折不变性、直角三角形的性质，解题的关键是在一个直角三角形中如果斜边是直角边的两倍那么这条直角边所对的锐角是30度．

16．如图，四边形OABC是菱形，对角线OB在x轴负半轴上，位于第二象限的点A和第三象限的点C分别在双曲线y=和y=的一支上，分别过点A、C作y轴的垂线，垂足分别为E和F．下

①|k1|=|k2|；②AE=CF；③若四边形OABC是正方形，列结论：则∠EAO=45°．其中正确的有（ ）第17页（共30页）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【考点】反比例函数综合题．

【分析】连接AC交OB于D，由菱形的性质得出AC⊥OB，AD=CD，BD=OD，得出△AOD的面积=△COD的面积，由三角形的面积与k的关系即可得出①正确；

证出四边形ADOE是矩形，得出AE=DO，同理：CF=DO，得出AE=CF，②正确；

若四边形OABC是正方形，则∠AOB=45°，得出∠AOE=45°，求出∠EAO=45°，③正确；即可得出结论．

【解答】解：连接AC交OB于D，如图所示：

∵四边形OABC是菱形，

∴AC⊥OB，AD=CD，BD=OD，

∴△AOD的面积=△COD的面积，

∵△AOD的面积=|k1|，△COD的面积=|k2|，

∴|k1|=|k2|，①正确；

∵AE⊥y轴，AC⊥BD，

∴∠AEO=∠ADO=90°，

∵∠DOE=90°，

∴四边形ADOE是矩形，

∴AE=DO，

同理：CF=DO，

∴AE=CF，②正确；

若四边形OABC是正方形，则∠AOB=45°，

∴∠AOE=90°﹣45°=45°，

∵∠AEO=90°，

∴∠EAO=45°，③正确；

第18页（共30页）

正确的有3个，故选：D．

【点评】本题是反比例函数的综合题，考查了反比例函数的图象、反比例函数k的几何意义、菱形的性质、矩形的判定与性质以及正方形的性质；熟练掌握菱形的对角线互相垂直平分的性质是解题的关键．

二、填空题：本大题共4个小题，每小题3分，共12分，把答案写在题中横线上．

17．分解因式：x3﹣2x2y+xy2=

x（x﹣y）2 ．

【考点】提公因式法与公式法的综合运用．

【专题】常规题型．

【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．

【解答】解：x3﹣2x2y+xy2，

=x（x2﹣2xy+y2），

=x（x﹣y）2．

故答案为：x（x﹣y）2．

【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

18．若x=﹣2，则代数式x2+1的值为

10﹣4 ．

【考点】二次根式的化简求值．

【分析】把x的值代入所求的代数式进行化简求值即可．

【解答】解：把x=（﹣2）2+1=（﹣2代入x2+1，得

）2﹣4．

+4+1=10﹣4．

故答案是：10﹣4【点评】本题考查了二次根式的化简求值．解题的关键是数学完全平方差公式．

第19页（共30页）

19．如图，鹏鹏从点P出发，沿直线前进10米后向右转α，接着沿直线前进10米，再向右转α，…，照这样走下去，他第一次回到出发地点P时，一共走了100米，则α的度数为

36° ．

【考点】多边形内角与外角．

【分析】第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个的正多边形，用100÷10=10，求得边数，再根据多边形的外角和为360°，即可求解．

【解答】解：∵第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个的正多边形，

∴正多边形的边数为：100÷10=10，

根据多边形的外角和为360°，

∴则他每次转动的角度为：360°÷10=36°，

故答案为：36°．

【点评】本题考查了多边形的内角与外角，解决本题的关键是明确第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个正多边形．

20．如图，在矩形ABCD中，AD=4，AB=2，连接其对边中点，得到四个矩形，顺次连接AF、FG、AE三边的中点，得到三角形①；连接矩形GMCH对边的中点，又得到四个矩形，顺次连接GQ、QP、GN三边的中点，得到三角形②；…；如此操作下去，得到三角形 ．

，则三角形的面积为

【考点】矩形的性质．

【专题】规律型．

【分析】根据矩形的性质和三角形的面积公式求出三角形①、②、③的面积，得出规律写出第n个三角形的面积．

第20页（共30页）

【解答】解：∵矩形ABCD的长AD=4，宽AB=2，

∴AF=2，AE=1，

则S三角形①=×2×=；

S三角形②=×1×=S三角形③=××=…

∴S三角形n=故答案为：，

．

；

；

【点评】本题考查的是矩形的性质，掌握三角形的面积公式、通过计算找出规律是解题的关键．

三、解答题：本大题共6个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

21．请你根据王老师所给的内容，完成下列各小题．

（1）如果x=﹣5，2◎4=﹣18，求y的值；

（2）若1◎1=8，4◎2=20，求x、y的值．

【考点】解二元一次方程组；解一元一次方程．

【专题】新定义；一次方程（组）及应用．

【分析】（1）已知等式根据题中的新定义化简，将x的值代入即可求出y的值；

（2）已知等式利用题中的新定义化简组成方程组，求出方程组的解即可得到x与y的值．

【解答】解：（1）根据题意得：2◎4=2x+4y=﹣18，

把x=﹣5代入得：﹣10+4y=﹣18，

解得：y=﹣2；

（2）根据题意得：②﹣①得：x=2，

第21页（共30页）

， 把x=2代入得：y=6．

【点评】此题考查了解二元一次方程组，弄清题中的新定义是解本题的关键．

22．如图，已知AD∥BC，按要求完成下列各小题（保留作图痕迹，不要求写作法）．

（1）用直尺和圆规作出∠BAD的平分线AP，交BC于点P．

（2）在（1）的基础上，若∠APB=55°，求∠B的度数．

（3）在（1）的基础上，E是AP的中点，连接BE并延长，交AD于点F，连接PF．求证：四边形ABPF是菱形．

【考点】作图—复杂作图；菱形的判定．

【专题】作图题；证明题．

【分析】（1）利用基本作图（作已知角的平分线）作AP平分∠DAB；

（2）先利用平行线的性质得∠DAP=∠APB=55°，再利用角平分线定义得∠BAP=∠DAP=55°，然后根据三角形内角和计算∠ABP的度数；

（2）先由∠BAP=∠APB得到BA=BP，再判断△ABF为等腰三角形得到AB=AF，所以AF=BP，则可判断四边形ABPF是平行四边形，然后加上AB=BP可判断四边形ABPF是菱形．

【解答】（1）解：如图，AP为所作；

（2）解：∵AD∥BC，

∴∠DAP=∠APB=55°，

∵AP平分∠DAB，

∴∠BAP=∠DAP=55°，

∴∠ABP=180°﹣55°﹣55°=70°；

（2）证明：∵∠BAP=∠APB，

∴BA=BP，

∵BE=FE，AE平分∠BAF，

第22页（共30页）

∴△ABF为等腰三角形，

∴AB=AF，

∴AF=BP，

而AF∥BP，

∴四边形ABPF是平行四边形，

∵AB=BP，

∴四边形ABPF是菱形．

【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了菱形的判定．

23．如图，直线l1在平面直角坐标系中，直线l1与y轴交于点A，点B（﹣3，3）也在直线l1上，将点B先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点C，点C恰好也在直线l1上．

（1）求点C的坐标和直线l1的解析式；

（2）若将点C先向左平移3个单位长度，再向上平移6个单位长度得到点D，请你判断点D是否在直线l1上；

（3）已知直线l2：y=x+b经过点B，与y轴交于点E，求△ABE的面积．

【考点】一次函数图象与几何变换．

【分析】（1）根据平移的性质得到点C的坐标；把点B、C的坐标代入直线方程y=kx+b（k≠0）来求该直线方程；

（2）根据平移的性质得到点D的坐标，然后将其代入（1）中的函数解析式进行验证即可；

（3）根据点B的坐标求得直线l2的解析式，据此求得相关线段的长度，并利用三角形的面积公式进行解答．

第23页（共30页）

【解答】解：（1）∵B（﹣3，3），将点B先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点C，

∴﹣3+1=﹣2，3﹣2=1，

∴C的坐标为（﹣2，1），

设直线l1的解析式为y=kx+c，

∵点B、C在直线l1上，

∴代入得：解得：k=﹣2，c=﹣3，

∴直线l1的解析式为y=﹣2x﹣3；

（2）∵将点C先向左平移3个单位长度，再向上平移6个单位长度得到点D，C（﹣2，1），

∴﹣2﹣3=﹣5，1+6=7，

∴D的坐标为（﹣5，7），

代入y=﹣2x﹣3时，左边=右边，

即点D在直线l1上；

（3）把B的坐标代入y=x+b得：3=﹣3+b，

解得：b=6，

∴y=x+6，

∴E的坐标为（0，6），

∵直线y=﹣2x﹣3与y轴交于A点，

∴A的坐标为（0，﹣3），

∴AE=6+3=9，

∵B（﹣3，3），

∴△ABE的面积为×9×|﹣3|=13.5．

【点评】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，平移的性质，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积的应用，能理解每个点的求法是解此题的关键．

第24页（共30页）

24．为普及消防安全知识，预防和减少各类火灾事故的发生，2015年11月，河北内丘中学邀请邢台市安全防火中心的相关人员，为全校教师举行了一场以“珍爱生命，远离火灾”为主题的消防安全知识讲座．在该知识讲座结束后，王老师组织了一场消防安全知识竞赛活动，其中九年级有七个班参赛．在竞赛结束后，王老师对九年级的获奖人数进行统计，得到每班平均有10人获奖，王老师将每班获奖人数绘制成如图所示的不完整的折线统计图．

（1）请将折线统计图补充完整，并直接写出九年级获奖人数最多的班级是 （3） 班；

（2）求九年级七个班的获奖人数的这组数据的中位数；

（3）若八年级参赛的总人数比九年级的多50名，获奖总人数比九年级多10名，但八年级和九年级获奖人数的百分比相同，求八年级参加竞赛的总人数．

【考点】折线统计图；中位数．

【分析】（1）先求出九年级有七个班的获奖人数，减去给出的6个班的获奖人数，可得（3）班获奖人数，依此将折线统计图补充完整，再比较大小可得九年级获奖人数最多的班级；

（2）根据中位数的定义求出九年级七个班的获奖人数的这组数据的中位数；

（3）设八年级参加竞赛的总人数为x人，根据等量关系：八年级和九年级获奖人数的百分比相同，列出方程求解即可．

【解答】解：（1）10×8﹣（8+11+6+9+12+10）

=80﹣66

=14（人），

如图所示：

第25页（共30页）

故九年级获奖人数最多的班级是（3）班；

故答案为：（3）

（2）从小到大排列为6，8，9，10，11，12，14，正中间的数是10，九年级七个班的获奖人数的这组数据的中位数是10；

（3）设八年级参加竞赛的总人数为x人，依题意有

=解得x=400，

经检验x=400是原分式方程的解．

故八年级参加竞赛的总人数为400人．

【点评】本题考查的折线统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，用到的知识点是中位数的定义．

25．2015年全球葵花籽产量约为4200万吨，比2014年上涨2.1%，某企业加工并销售葵花籽，假设销售量与加工量相等，在图中，线段AB、折线CDB分别表示葵花籽每千克的加工成本y1（元）、销售价y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系；

（1）请你解释图中点B的横坐标、纵坐标的实际意义；

（2）求线段AB所表示的y1与x之间的函数解析式；

（3）当0＜x≤90时，求该葵花籽的产量为多少时，该企业获得的利润最大？最大利润是多少？

，

第26页（共30页）

【考点】二次函数的应用．

【分析】（1）结合图象与题意，即可得出结论；

（2）设出函数解析式，利用待定系数法，即可得出结论；

（3）设出函数解析式，利用待定系数法，可求出销售价格与产量的函数关系式，再由利润=（销售价格﹣成本）×产量，得出二次函数，求取极值即可．

【解答】解：（1）图中点B的横坐标、纵坐标的实际意义为：当产量为130kg时，葵花籽每千克的加工成本与销售价相同，都是9.8元．

（2）设线段AB所表示的y1与x之间的函数解析式为y1=k1x+b1，

∵A点坐标为（0，2），B点坐标为（130，9.8），

∴有，解得：．

∴线段AB所表示的y1与x之间的函数解析式y1=0.06x+2．

（3）当0＜x≤90时，销售价y2（元）与产量x（kg）之间的函数图象为线段CD．

设线段CD所表示的y2与产量x之间的函数解析式为y2=k2x+b2，

∵C点坐标为（0，8），D点坐标为（90，9.8），

∴有，解得：．

∴线段CD所表示的y2与x之间的函数解析式y2=0.02+8．

令企业获得的利润为W，则有

W=x（y2﹣y1）=﹣0.04x2+6x=﹣0.04（x﹣75）2+225，

故当x=75时，W取得最大值225．

答：该葵花籽的产量为75kg时，该企业获得的利润最大；最大利润为225元．

【点评】本题考查了待定系数法求解析式、坐标系点的意义以及利用二次函数求极值的问题，解题的关键是熟练的运用二元一次解方程组即将二次函数的普通式转化为顶点式求极值．本题属于基础题，难度不大，唯一的失分点是运算量较大，需要细心计算，多加验算．

26．四边形ABCD是⊙O的内接正方形，AD=8，EB、EC是⊙O的两条，切点分别为B、C，P是边AB上的动点，连接DP．

（1）如图1，当点P与点B重合时，连接OC．

①求∠E的度数；

第27页（共30页）

②求CE的长度；

（2）如图2，当点P在AB上，且AP＜AB时，过点P作FP⊥DP于点P，交BE于点F，连接DF．

①试判断DP与FP之间的数量关系，并说明理由；

②若，求DP的长度．

【考点】圆的综合题．

【分析】（1）①根据切线的性质和正方形的性质，即可得到四边形OBEC的三个直角，随后即可求解；

②在等腰直角三角形BCE中运用勾股定理即可求出CE长度；

（2）①在AD上截取AM=AP，证明△DMP≌△PBF，即可得出结论；

②通过证明等腰直角三角形DPF∽等腰直角三角形ABD，即可求解．

【解答】解：（1）如图1

①∵EB、EC是⊙O的两条切线，

∴∠OCE=∠OBE=90°，

由四边形ABCD是⊙O的内接正方形，

可知，∠BOC=90°，

∴∠E=90°；

∵EB、EC是⊙O的两条切线，

第28页（共30页）

∴EB=EC，

在直角三角形BEC中，

设EB=EC=x，由勾股定理得：x2+x2=82，

解得：x=∴CE=，

；

（2）如图2

在AD上截取AM=AP，由∠A=90°可求∠AMP=∠APM=45°，

∴∠PMD=135°，

∵AD=AB，

∴MD=BP，

由（1）②知三角形BEC是等腰直角三角形，

∴∠CBE=45°，

∴∠PBF=135°，

∴∠PMD=∠PBF，

又可求：∠BPF+∠BFP=45°，

∵FP⊥DP，

∴∠MPD+∠BPD=45°，

∴∠MPD=∠BFP，

在△MPD和△BFP中，

，

∴△MPD≌△BFP，

DP=FP；

②由（2）①知，△DPF为等腰直角三角形，

第29页（共30页）

又△DAB是等腰直角三角形，

∴△DPF∽△DAB，

∴∵，

，AD=8，

．

可求：DP=【点评】此题主要考查圆的综合问题，涉及到了正方形的相关性质，会运用切线性质和切线长定理，会构造全等与相似是解题的关键．

第30页（共30页）

海底两万里好句摘抄

1、尔后，潜艇经历了搁浅、土人围攻等危险，安然驶向印度洋。这时发生了一件离奇的事。尼摩船长从海面上望见了什么，突然充满了愤怒和仇恨。他粗暴地把阿龙纳斯及其同伴们禁闭在小房间里，并强迫他们人睡。翌日，阿龙纳斯醒来，尼摩船长请他治疗一个身受重伤的船员。船员不治身亡。尼摩船长哀痛地带着送葬队伍，把死者埋在海底光彩夺目、瑰丽无比的珊瑚树林里。他说：在这里，珊瑚虫会把死者永远封闭起来，不受鲨鱼和人的欺负！

2、我喊着，两手拼命划着向林肯号泅去。我身上的衣服非常碍事。衣服湿了贴在我身上，使我的动作不灵。我要沉下去了！我不能透气了！

3、如果我们想解决这个问题，必须解剖这个神秘的怪物。要解剖它，就得捉住它；要捉住它，就得叉住它。要叉住它，就得看见它；要看见它，就得碰见它。

4、生活，就是面对现实微笑，就是越过障碍注视未来；生活，就是用心灵之剪，在人生之路上裁出叶绿的枝头；生活，就是面对困惑或黑暗时，灵魂深处燃起豆大却明亮且微笑的灯展。

5、成熟是一种明亮而耀眼的光辉，成熟和沉闷的声音，平静的气氛中，不需要看别人，最后停止吸引周围的气氛，一个微笑，不关心的声音，一种极端冷漠，冲走，一种厚没有声音，一种并不陡峭的高度。

6、请你注意这点：“我什么都是取自海洋，利用海洋发电，供给“鹦鹉螺”号热、光及动力，简直一句话，电给了“鹦鹉螺”号生命。

7、林肯号是为着它的新目标而特选和装备好的。它是一般速度很快的二级战舰，装有高压蒸汽机，可以使气压增加到七个大气压力。在这个压力下，林肯号的速度平均可以达到每小时十八点三海里，这是很快的速度，但跟那只巨大的鲸鱼类动物搏斗还是不够的。

8、诺第留斯在沿着又黑又深海底地道直冲过去。随着地道的斜坡，潜艇像箭一般随急流而下。地道两边狭窄的高墙上，只见飞奔的速度在电光下所画出的辉煌纹路，笔直成条。令我们心跳不止。

9、天黑了，我们紧张地等待着机会。尼德迫不及待地想跳进海里，我劝慰着他，让他不要冲动。依我看，鹦鹉螺号将会在海面上攻击对方，我们可以乘人不备很容易地逃走。

10、只有一国政府可以拥有这种破坏性的机器，在人们绞尽脑汁要增强武器威力的不幸时代，一个国家瞒着其他国家制造这种武器是可能的。机枪之后有水雷，水雷之后有潜水冲击机，然后一又是各种互相克制的武器，至少我自己心中是这样想的。

11、巨大的军舰开始下沉。鹦鹉螺号也以相同的速度潜入水下。我看见军舰的船壳被刺破一个大洞，海水涌入其中，发出恐怖的轰响。甲板上到处是惊慌奔跑的人影。

12、我摸索着慢慢地走。走了五步，我碰到一堵铁墙，墙是用螺丝钉铆住的铁板。然后，我转回来，撞上一张木头桌子，桌子边放有几张方板凳。这间监狱的地板上铺着很厚的麻垫子，走起来没有一点脚步声。光光的墙壁摸不出有问窗的痕迹。康塞尔从相反的方向走过来，碰着我；我们回到这舱房的中间，这舱房大约长二十英尺，宽十英尺。至于高度，尼德,兰身材虽高，也没有能衡量出来。

13、全体船员一致赞成他的主张。的确，我们哪能在这狭窄的海峡里碰到那条独角鲸呢？大多数水手都肯定怪物不能通过海峡，因为它身体很大，海峡容不下它！

14、当黎明的最后一线曙光没入黑暗时，我们已经做好出发的准备。

15、十一万公里的行程，是个大场面，一路所见，可以说无奇不有。

16、在中间是一个立式舵轮，连着通向船尾的舵链。舱的四壁上的4个由棱镜组成的舷窗使舵手能够看清四面八方。

17、那是一种西昌的丝状职务，长着无数的枝杈末梢是一道最精细的花边，就连阿拉妮的对手都编织不出这样的花边。

18、但是我的判断错了。当两船的距离进一步靠近时，鹦鹉螺号突然快速地下沉。我突然明白将会发生的事情。鹦鹉螺号不会直接攻击对方坚固的钢甲，而是要用冲角攻击对方吃水线以下的部位。

19、生命是美丽而短暂的。有的孤独，有的多姿多彩，不同的人有不同的生活追求；人生是一条没有回报的单行道，每个人都用自己的时间向前走。

20、伊雅茨？封？赛弗里德和格里尔帕策说，他精力充沛、积极乐观、很风趣、待人接物彬彬有礼、穿着讲究、对不知趣的人也很有耐心，甚至能让人误以为他耳朵并不聋。 21、他的身材短小粗壮，生着一副运动员似的结实骨骼。年轻的时候，他有一张土红色的宽大脸庞。到晚年，他的皮肤慢慢变得蜡黄，呈现出一种病态，尤其是在冬季，原因是他长时间把自己困在屋内，远离田野。

22、我转身看着尼摩船长，这个真正的复仇者可怖的刽子手，正以带着复仇后快感的眼神看着眼前的场景。当一切结束之后，他才进入他的房间。我看见他在一个年轻妇女与两个小孩的肖像前跪下，双臂向前伸出，突然抽咽起来。

23、生命是盛开的花朵，它绽放得美丽，舒展，绚丽多资；生命是精美的小诗，清新流畅，意蕴悠长；生命是优美的乐曲，音律和谐，宛转悠扬；生命是流淌的江河，奔流不息，滚滚向前。

24、赏析：搜集海底金银财宝，支援被压迫民族的正义斗争。当祖国沦为殖民地后，他带领少数志同道合的人潜入海底，用反抗的行动和不满的言论，支持和唤醒被压迫民族反抗殖民统治的斗争。表面看来，尼摩艇长似乎是个与世隔绝的心如死灰的隐士，然而从他内心深处迸发出的炽热的感情，表明他是一个时刻关注着世界政治风云的科学战士。

25、天黑，我们紧张地等待着机会。尼德迫不及待地想跳进海里，我劝慰着他，让他不要冲动。依我看，鹦鹉螺号将会在海面上对方，我们可以乘人不备很容易地逃走。

26、时间是早晨八点。太阳可以供我们观察利用的时间只剩下四小时了。我向一处宽大的港湾一步步走去，湾作斩月形，在花岗石的悬崖中间。

27、透过它们顽强的生命力，可以看到处在上升阶段的资产阶级那种自强不息的进取精神。它们坚定不移的生长着，不畏艰险，永不屈服。“一放手，它们立即回复原来的笔直状态。”它们永垂不朽。

28、生活是一位睿智的长者，生活是一位博学的老师，它常常春风化雨，润物无声地为我们指点迷津，给我们人生的启迪。

29、林中地上并没有生长什么草，小树上丛生的枝权没有一根向外蔓延，也不弯曲垂下，也不向横的方面伸展。所有草木都笔直伸向洋面。没有枝条，没有叶带，不管怎么细小，都是笔直的，像铁杆一般。海带和水藻，受到海水强大密度的影响，坚定不移地沿着垂直线生长。而且这些水草叉是静止不动的，当我用手分开它们的时候，一放手，它们立即回复原来的笔直状态。这林子简直就是垂直线的世界。

31、成熟是一种明亮而不刺眼的光辉，一种圆润而不腻耳的音响，一种不需要对别人察颜观色的从容，一种终于停止了向周围申诉求告的大气，一种不理会哄闹的微笑，一种洗刷了偏激的淡漠，一种无须声张的厚实，一种并不陡峭的高度。

32、远处是一座火山。山峰下面，在一般的石头和渣滓中间，一个阔大的喷火口吐出硫磺火石的急流，四散为火的瀑布，没入海水里，照着海底下的平原，一直到远方的尽头，我的眼下是一座破坏了的城市，倒塌的房屋，破损零散的拱门，倒在地上的石柱。远一点，是一些小型工程的废墟。更远一些，有一道道倒塌下来的城墙，宽阔无人的大陆，整个水下淹没的亚特兰蒂斯，现在都复活过来，出现在我眼前了。

33、《C大调交响乐》亦是关于莱茵的作品，一首青年人满怀梦想的诗篇，既欢快又为爱情而烦恼，让人分明感觉其中有一种取悦心上人的心愿与希望。

34、海底两万里这本书里面很多章节，好句也很多，可以买书回来看，再摘抄。

35、印度半岛南端的锡兰岛在面前了。阿龙纳斯接受尼摩船长的建议，步行到海底采珠场。忽然，有条巨鲨向采珠人扑来。尼摩船长手拿短刀，挺身跟鲨鱼搏斗。在尼摩船长被鲨鱼的巨大躯体所压倒，危在旦夕时，尼德·兰迅速投出利叉，击中鲨鱼的心脏。船长救起那个穷苦的采珠人，又从自己口袋里取出一包珍珠送给他。由此，阿龙纳斯感到在尼摩身上有两点值得注意：一是他无比勇敢，二是他对人类的牺牲精神。看来，这个古怪的人还没有完全斩断他爱人类的感情。

36、赏析：生动的表现出海底世界的富饶美丽，令人向往。但是尽管它景色优美、令人陶醉，同样的它也险象丛生、千钧一发。

37、我以为小鸟飞不过沧海，是因为小鸟没有飞过沧海的勇气，十年以后我才发现，不是小鸟飞不过去，而是沧海的那一头，早已没有了等待。

38、天才免不有障碍，因为障碍会创造天才。

39、人生是一位睿智的长者和知识渊博的老师。它经常使春天下雨，把雨变成雨。它无声无息地滋润着万物，启迪着我们的人生。

40、您不明白这水的.冻结作用可以帮助我们！您没有看见因为水的凝固，它可以炸开那困住我们的冰场，就像它在冰冻的时候，它可以炸开最坚硬的石头那样！您没有觉得它并不是毁灭人的力量，而是拯救人的力量！ 41、看来情形十分可怕。但人人都正视它，人人都决心尽各人的责任，坚持到底。

42、道路两旁是错综复杂的珊瑚树丛，枝杈上缀满了像星星一样的小白花。灯光在色彩斑斓的枝叶间，产生了一种变幻无穷的迷人效果。

43、生命的美丽，永远展现在她的进取之中；就像大树的美丽，是展现在它负势向上高耸入云的蓬勃生机中；像雄鹰的美丽，是展现在它搏风击雨如苍天之魂的翱翔中；像江河的美丽，是展现在它波涛汹涌一泻千里的奔流中。

44、种种百般的贝壳软体类动物漫步在柔软的沙滩上，将海底装扮成花园一般。我们的头顶的上方是种种百般的水母飘荡着，好似仙女撒下的朵朵鲜花一零但是，还没有等各人提到嗓子眼的心回到原处，只听见一阵震耳欲聋的巨响，划破沉寂的夜空，有如高压水柱的呼啸。

45、最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。

46、你只有探索才知道答案。

47、通过自己的努力即使知道一半真理，也比人云亦云地知道全部真理要好得多。

48、许多恶梦把我纠缠住了。我在这神秘的避难所里面，窥见一大群没人知道的动物，这只潜水艇似乎是它们的同类，它跟它们一样活着，一样动着，一样可怕！

49、在这些像温带树木一般高大的各种不同的灌木中间，在它们的湿润的荫影下面，遍生着带有生动花朵的真正丛林，植虫动物的篱笆行列，上面像花一般开放出弯曲条纹的脑纹状珊瑚，触须透明的黑黄石竹珊瑚，草地上一堆一堆的。

50、不久，尼摩舰长向大家宣布，螺旋桨突然被大章鱼咬住了，无法转动，如果再照这样下去，大家的生命都会有危险。所以，必须立刻出去和这些怪物展开一场生死搏斗！

51、马车从百老汇路直到团结广场，再经过第四号路到包法利街的十字路口，走人加上林街，停在三十四号码头，这一趟车费是二十法郎。码头边，加上林轮渡把我们（ 人、马和车）送到布洛克林。布洛克林是纽约的一个区，位于东河左岸，走了几分钟，我们便抵达停泊林肯号的码头，林肯号的两座烟囱正喷出浓密的黑烟。

52、那一夜在印度洋上，它不是某些船只吗？那个葬在珊瑚墓地的人，不正是诺第留斯号引起的冲突的牺牲者吗？而在所有的海面上，人们也正在追逐这可怕的毁灭性机器！ 53、我车辛苦苦打扮这些财物是为我自己吗？谁告诉您我不是好仔地正当使用它们呢？您以为我不知道世上有无数受苦的人，有被压迫的种族吗？

54、人生就像一座山，重要的不是它的高低，而在于灵秀；人生就像一场雨，重要的不是它的大小，而在于及时。

55、发光的部分在海面上形成一个巨大的椭圆形，拉得很长，椭圆形中心是白热的焦点，射出不可逼视的光度，这光度渐远渐淡，至于熄灭。

56、你不明白水的冷冻作用可以帮助我们！你看不见，因为水会凝固，它会引爆困住我们的冰原，就像它会在结冰时引爆最坚硬的石头一样！你不认为那不是毁灭人类的力量，而是拯救人类的力量！

57、我于是躺在地上，正好躲在藓苔丛林的后面，当我拾起头来，我看见有巨大无比的躯体发出磷光，气势汹汹地走过来我血管中的血都凝结了！我看见逼近我们的是十分厉害的鲛鱼，是一对火鲛，是最可怕的鲨鱼类，尾巴巨大，眼光呆板阴沉，嘴的周围有很多孔，孔中喷出磷质，闪闪发光。真是大得怕人的火鲛，它们的铁牙床，可以把整个人咬成肉酱！我不知道康塞尔是不是正在留心把它们分类，在我说来，我与其说是拿生物学者的身份，不如说是拿将被吞食的人的身份，很不科学的观点来观察它们的银白的肚腹，满是利牙的大嘴。

58、尼德·兰准备攻打的这条海马身躯巨大，身长至少超过七米。它在水面上躺着不动，好像睡着了，这种情况就比较容易猎取。

59、生活就像一座山。重要的不是它的高度，而是它的美丽。生活就像一场雨。重要的不是它的规模，而是它的及时性。

60、没有伟大的品格，就没有伟大的人，甚至也没有伟大的艺术家，伟大的行动者；所有的只是些空虚的偶像，匹配群众的：时间会把他们一齐摧毁。

4.6 正、余弦定理及其应用举例

考纲要求

1．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．.

2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．

1．正弦定理和余弦定理

定理

内容

正弦定理

余弦定理

2a＝__________；

b2＝__________；

c2＝__________

5．坡角和坡比

坡角：坡面与水平面的夹角(如图④，角θ为坡角)．

图④

坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡比)．

1．(广东高考)在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝32，则AC＝( )．

3A．43 B．23 C.3 D.

2a＋c2B2．在△ABC中，cos＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( )．

22cA．等边三角形 B．直角三角形

C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形

3．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是( )．

A．5海里/时 B．53 海里/时

C．10海里/时 D．103 海里/时

4．如图，为了测量隧道AB的长度，给定下列四组数据，无法求出AB长度的是( )．

__________＝2R.

(R为△ABC外接圆半径)

①a＝____，b＝______，c＝____；

②sin

A＝____，sin

B＝__________，sin

C＝__________；

变形形式

③a∶b∶c＝__________；

a＋b＋c④＝sin

A＋sin

B＋sin

C.

sin

A①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边．

②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两个角.

cos

A＝__________；

cos

B＝__________；

cos

C＝__________.

a解决

的问题

①已知三边，求各角；

②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.

A．α，a，b

C．a，b，γ

2.仰角和俯角

在视线和水平线所成的角中，视线在水平线__________的角叫仰角，在水平线______的角叫俯角(如图①)．

B．α，β，a

D．α，β，γ

15．△ABC中，若a＝32，cos

C＝，S△ABC＝43，则b＝__________.

3

一、利用正弦、余弦定理解三角形

【例1－1】 (辽宁高考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.角A，B，C成等差数列．

(1)求cos

B的值；

(2)边a，b，c成等比数列，求sin

Asin

C的值．

sin

A＋sin

B【例1－2】 △ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，tan

C＝，sin(B－A)＝cos

C.

cos

A＋cos

B(1)求A，C；

(2)若S△ABC＝3＋3，求a，c.

方法提炼

应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷就用哪一个定理．

同时，已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a，b，A，则

A为锐角

A为钝角或直角

图形

关系式

3．方位角

从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．

4．方向角

相对于某一方向的水平角(如图③)．

图③

(1)北偏东α°：指北方向向东旋转α°到达目标方向．

(2)东北方向：指北偏东45°或东偏北45°.

(3)其他方向角类似．

a＜bsin

A a＝bsin

A bsin

A＜a＜b

a≥b a＞b

a≤b

1 / 6 解的个数

无解

一解

两解

一解

一解

无解

请做演练巩固提升1

二、三角形形状的判定

【例2－1】 △ABC满足sin

B＝cos

Asin

C，则△ABC的形状是( )．

A．直角三角形 B．等腰三角形

C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形

【例2－2】 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin

A＝(2b＋c)sin

B＋(2c＋b)sin

C.

(1)求A的大小；

(2)若sin

B＋sin

C＝1，试判断△ABC的形状．

方法提炼

判断三角形的形状的基本思想是：利用正、余弦定理进行边角的统一．即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．结论一般为特殊的三角形．如等边三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形等．另外，在变形过程中要注意A，B，C的范围对三角函数值的影响．

提醒：1.在△ABC中有如下结论sin

A＞sin

Ba＞b.

2222．当b＋c－a＞0时，角A为锐角，若可判定其他两角也为锐角，则三角形为锐角三角形；

222当b＋c－a＝0时，角A为直角，三角形为直角三角形；

2223．当b＋c－a＜0时，角A为钝角，三角形为钝角三角形．

请做演练巩固提升2

三、与三角形面积有关的问题

π【例3】 在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2，C＝.

3(1)若△ABC的面积等于3，求a，b；

(2)若sin

C＋sin(B－A)＝2sin 2A，求△ABC的面积．

方法提炼

1．正弦定理和余弦定理并不是孤立的，解题时要根据具体题目合理选用，有时还需要交替使用；在解111决三角形问题中，面积公式S＝absin

C＝bcsin

A＝acsin

B最常用，因为公式中既有边也有角，容易222和正弦定理、余弦定理联系起来．

2．解三角形过程中，要注意三角恒等变换公式的应用．

请做演练巩固提升5

四、应用举例、生活中的解三角形问题

【例4－1】 某人在塔的正东沿着南偏西60° 的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高．

【例4－2】 如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量．已知AB＝50 m，BC＝120 m，于A处测得水深AD＝80 m，于B处测得水深BE＝200 m，于C处测得水深CF＝110 m，求∠DEF的余弦值．

2．测量高度时，需注意：

(1) 要准确理解仰、俯角的概念；

(2)分清已知和待求，分析(画出)示意图，明确在哪个三角形内应用正、余弦定理；

(3)注意铅垂线垂直于地面构成的直角三角形．

3．测量角度时，要准确理解方位角、方向角的概念，准确画出示意图是关键．

请做演练巩固提升6

忽视三角形中的边角条件而致误

【典例】 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a＝3，b＝2，1＋2cos(B＋C)＝0，求边BC上的高．

1错解：由1＋2cos(B＋C)＝0，知cos

A＝，

2π∴A＝.

3abbsin

A2根据正弦定理＝得：sin

B＝＝，

sin

Asin

Ba2π3π∴B＝或.

44以下解答过程略．

错因：忽视三角形中“大边对大角”的定理，产生了增根．

正解：∵在△ABC中，cos(B＋C)＝－cos

A，

π又∵1＋2cos(B＋C)＝0，∴1－2cos

A＝0，∴A＝.

3在△ABC中，根据正弦定理＝，得sin

B＝sin

Asin

Bπ3π∴B＝或.

44π∵a＞b，∴B＝.

45∴C＝π－(A＋B)＝π.

12∴sin

C＝sin(B＋A)＝sin

Bcos

A＋cos

Bsin

A＝∴BC边上的高为bsin

C＝2×6＋23＋1＝.

42abbsin

A2＝.

a221236＋2×＋×＝.

22224答题指导：

1．考查解三角形的题在高考中一般难度不大，但稍不注意，会出现“会而不对，对而不全”的情况，其主要原因就是忽视三角形中的边角条件．

2．解三角函数的求值问题时，估算是一个重要步骤，估算时应考虑三角形中的边角条件．

21．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若acos

A＝bsin

B，则sin

Acos

A＋cosB＝( )．

11A．－ B． C．－1 D．1

222．在△ABC中，(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且acos

B＝bcos

A，则△ABC的形状为__________．

3．(福建高考)在△ABC中，已知∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，BC＝3，则AC＝__________.

π4．(陕西高考)在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若a＝2，B＝，c＝23，则b＝6______.

2 / 6

方法提炼

1．测量距离问题，需注意以下几点：

(1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型；

(2)利用正、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解；

(3)应用题要注意作答． 5．(山东高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sin

B(tan

A＋tan

C)＝tan

Atan

C.

(1)求证：a，b，c成等比数列；

(2)若a＝1，c＝2，求△ABC的面积S.

6．某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．

(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？

(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值．

3 / 6 参考答案

基础梳理自测

知识梳理

＝＝

b＋c－2bc·cos

A

c＋a－2ca·cos

B

a＋b－2ab·cos

C ①2Rsin

A

sin

Asin

Bsin

Cabcb2＋c2－a2c2＋a2－b2a2＋b2－c22Rsin

B 2Rsin

C ② ③sin

A∶sin

B∶sin

C

2R2R2R2bc2ca2ab2．上方 下方

基础自测

BCAC32AC1．B 解析：由正弦定理得＝，即＝，解得AC＝23.

sin

Asin

Bsin 60°sin 45°a＋c2B2．B 解析：∵cos＝，

22ca＋c2B∴2cos－1＝－1，

2c1.根据正弦定理得sinB＝sin

Asin

C，所以

32sin

Asin

C＝1－cosB＝.

4方法二：

12由已知b＝ac，及cos

B＝，

22a＋c2－ac3根据余弦定理得cos

B＝，解得a＝c，所以B＝A＝C＝60°，故sin

Asin

C＝.

2ac4sin

A＋sin

B【例1－2】 解：(1)因为tan

C＝，

cos

A＋cos

Bsin

Csin

A＋sin

B即＝，

cos

Ccos

A＋cos

B所以sin

Ccos

A＋sin

Ccos

B＝cos

Csin

A＋cos

Csin

B，

即sin

Ccos

A－cos

Csin

A＝cos

Csin

B－sin

Ccos

B，

得sin(C－A)＝sin(B－C)．

所以C－A＝B－C，或C－A＝π－(B－C)(不成立)，

π即2C＝A＋B，得C＝，

32π所以B＋A＝.

31又因为sin(B－A)＝cos

C＝，

2π5π则B－A＝或B－A＝(舍去)，

66π5π得A＝，B＝.

41216＋2acac(2)S△ABC＝acsin

B＝ac＝3＋3，又＝，即＝，

28sin

Asin

C2322得a＝22，c＝23.

【例2－1】 A 解析：∵sin

B＝cos

A·sin

C，

b2＋c2－a2222∴b＝·c.∴b＋a＝c.

2bc∴△ABC为直角三角形，选A.

2【例2－2】 解：(1)由已知，根据正弦定理得2a＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，

222即a＝b＋c＋bc.①

222由余弦定理得a＝b＋c－2bccos

A，

1故cos

A＝－，A＝120°.

2222(2)由①得，sinA＝sinB＋sinC＋sin

Bsin

C.

又sin

B＋sin

C＝1，

1故sin

B＝sin

C＝.

2因为0°＜B＜90°，0°＜C＜90°，故B＝C.

所以△ABC是等腰钝角三角形．

【例3】 解：(1)由余弦定理及已知条件，

22得a＋b－ab＝4，又因为△ABC的面积等于3，

1所以absin

C＝3，得ab＝4.

22abc222222ac22a＋c－b2a222∴＝，∴c＝a＋b.

2acc3．C 解析：如图，A，B为灯塔，船从O航行到O′，

∴cos

B＝，

OO′＝tan 30°，

BOOO′＝tan 15°，∴BO＝3OO′，

AOAO＝(2＋3)OO′.

∵AO－BO＝AB＝10，

∴OO′·[(2＋3)－3]＝10，∴OO′＝5，

5∴船的速度为＝10海里/时．

124．D 解析：利用余弦定理，可由a，b，γ或α，a，b求出AB；利用正弦定理，可由a，α，β求出AB，

当只知α，β，γ时，无法计算AB.

1225．23 解析：由cos

C＝，得sin

C＝，

331122∴S△ABC＝absin

C＝×32×b×＝43.∴b＝23.

223考点探究突破

1【例1－1】 解：(1)由已知2B＝A＋C，A＋B＋C＝180°，解得B＝60°，所以cos

B＝.

2(2)方法一：

12由已知b＝ac，及cos

B＝，

2

4 / 6 a＋b－ab＝4，联立方程组ab＝4，22

a＝2，解得b＝2.

(2)由题意得sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sin

Acos

A，即sin

Bcos

A＝2sin

Acos

A.

ππ4323当cos

A＝0时，A＝，B＝，a＝，b＝.

2633所以△ABC的面积

114323323S＝absin

C＝×××＝；

223323当cos

A≠0时，得sin

B＝2sin

A，

由正弦定理得b＝2a，

a＋b－ab＝4，联立方程组b＝2a.22

23a＝3，解得43b＝3.

DF＝MF＋DM＝302＋1702＝10298，

DE＝DN2＋EN2＝502＋1202＝130，

EF＝(BE－FC)2＋BC2＝902＋1202＝150.

在△DEF中，由余弦定理，

DE2＋EF2－DF2cos∠DEF＝

2DE×EF222130＋150－10×29816＝＝.

2×130×15065演练巩固提升

22112343323所以△ABC的面积S＝absin

C＝×××＝.

22332323综上知，△ABC的面积为.

3【例4－1】 解：依题意画出图，某人在C处，AB为塔高，他沿CD前进，CD＝40米，此时∠DBF＝45°，从C到D沿途测塔的仰角，只有B到测试点的距离最短，即BE⊥CD时，仰角才最大，这是因为tan∠AEB＝AB，AB为定值，BE最小时，仰角最大．

BE

在△BCD中，CD＝40，∠BCD＝30°，∠DBC＝135°.

由正弦定理，得

，

sin∠DBCsin∠BCD40sin 30°∴BD＝＝202.

sin 135°在Rt△BED中，∠BDE＝180°－135°－30°＝15°，

6－2BE＝BDsin 15°＝202×＝10(3－1)．

4在Rt△ABE中，∠AEB＝30°，

10∴AB＝BEtan 30°＝(3－3)(米)．

310∴所求的塔高为(3－3)米．

3【例4－2】 解：作DM∥AC交BE于N，交CF于M.

1．D 解析：根据正弦定理＝＝2R得，a＝2Rsin

A，b＝2Rsin

B，

sin

Asin

B2∴acos

A＝bsin

B可化为sin

Acos

A＝sinB.

222∴sin

Acos

A＋cosB＝sinB＋cosB＝1.

2．等边三角形 解析：∵(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，

22∴(a＋b)－c＝3ab.

222∴a＋b－c＝ab.

a2＋b2－c21∴cos

C＝＝.

2ab2π∴C＝.

3∵acos

B＝bcos

A，

∴sin

Acos

B＝sin

Bcos

A.

∴sin(A－B)＝0.

∴A＝B.

故△ABC为等边三角形．

3.2 解析：如图：

abCD＝BD由正弦定理得＝，

sin

Bsin

A即3AC3＝，即＝，

sin 45°sin 60°23223＝4，

2AC

BCAC故AC＝2.

4．2 解析：∵b＝a＋c－2accos

B＝4＋12－2×2×23×222∴b＝2.

5．(1)证明：在△ABC中，由于sin

B(tan

A＋tan

C)＝tan

Atan

C，

5 / 6 所以sin

Bsin

A＋sin

C＝sin

A·sin

C，

cos

Acos

Ccos

Acos

C1所以当＝2时，v取得最小值1013，

t因此sin

B(sin

Acos

C＋cos

Asin

C)＝sin

Asin

C，

所以sin

Bsin(A＋C)＝sin

Asin

C，

又A＋B＋C＝π，

所以sin(A＋C)＝sin

B，

2因此sinB＝sin

Asin

C.

2由正弦定理得b＝ac，

即a，b，c成等比数列．

(2)解：因为a＝1，c＝2，

a2＋c2－b212＋22－(2)23所以b＝2，由余弦定理得cos

B＝＝＝，

2ac2×1×24因为0＜B＜π，

72所以sin

B＝1－cosB＝，

41177故△ABC的面积S＝acsin

B＝×1×2×＝.

22446．解：(1)解法一：设相遇时小艇的航行距离为s海里，则s＝

2900t＋400－2·30t·20·cos(90°－30°)

2＝900t－600t＋400

12＝900t－＋300.

31103故当t＝时，smin＝103，v＝＝303.

313即小艇以303海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．

解法二：若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向，如图，设小艇与轮船在C处相遇．

即小艇航行速度的最小值为1013海里/时．

在Rt△OAC中，OC＝20cos 30°＝103，AC＝20sin 30°＝10.

又AC＝30t，OC＝vt，

101103此时，轮船航行时间t＝＝，v＝＝303.即小艇以303海里/时的速度航行，相遇时小艇的航30313行距离最小．

222(2)如图，设小艇与轮船在B处相遇，由题意，可得(vt)＝20＋(30t)－2·20·30t·cos(90°－30°)．

400600132＋900＝400－＋675.

2－ttt411由于0＜t≤，即≥2，

2t化简，得v＝26 / 6