数学史之中国古代数学

2023年12月9日发(作者：2022商丘一中数学试卷)

数学史之中国古代数学

中国古代数学

一、中国传统数学的产生发展经历了哪几个阶段?

中国传统数学的产生发展经历了以下 5 个阶段:先秦时期——中国古代数学的萌芽；汉唐时期——中国传统数学体系的形成；

宋元时期——中国传统数学的兴盛；明清时期——中国传统数学的衰弱与复苏。

二、先秦时期——中国古代数学的萌芽

（1）结绳记事（2）规矩（几何工具）的使用（3）十进制记数法、分数的应用和算筹

（4）精湛的几何思想（《墨经》记载了许多几何概念：“平，同高也”“中，同长也”“圜，一种同长也”“端，体之无厚而最前者

也”“直，参也”）。

（5）数学思想（《庄子》“一尺之棰，日取其半，万世不竭。” 有这是无穷数列极限的例子。“飞鸟之影，未尝动也，飞箭之疾

而又不行不止之时。”这对应了芝诺悖论的二分说和飞箭静止说。）

（6）数学教育的开始（《周礼》记载，礼、乐、射、御为大艺，书、数为小艺。，前者为大学所授，后者为小学所习。）

三、汉唐时期——中国传统数学体系的形成

1、〈算经十书〉包括：《周髀算经》《九章算术》〈缀术〉〈海岛算经〉〈孙子算经〉〈张邱建算经〉〈缉古算经〉〈五曹

算经〉〈五经算术〉〈夏侯阳算经〉

2、《周髀算经》最早记录勾股定理的，中国关于勾股定理的证明最早是三国时期的赵爽给出的，赵爽是中国历史上首次对

《周髀算经》进行认真研究和注释的学者。他工作主要包括三方面内容：为文字解释；为较详细的数学理论推演；补图，其中

最为精彩的是“勾股定理方图注”。

3、《九章算术》

（1）《九章算术》的内容分为九章，分别为方田（平面几何图形面积土地面积计算问题），粟米（粮食兑换问题），衰分

（按比例分配问题），少广（开平方或你开立方问题），商功（各种形体的体积计算公式），均输（复杂的按比例分配问

题），盈不足（盈亏问题），方程（线性方程组问题的解法、提出正负数加减运算的“正负术”），勾股。标志着中国传统数学

的知识体系已初步形成，对中国数学的发展的历史作用如同《几何原本》对西方数学影响一样。

（2）《九章算术》对世界数学的重要贡献

系统讨论了分数运算。详尽的讨论了比率算法。创造了解线性方程组的“方程术”。创立“正负术”，即正负数加减 运算规则。开

平方和开立方的计算方法。

（3）《九章算术》的特点和长远影响。

特点：内容的实用性。算法的普适性。算法的可操作性。体例的一致性。结构的合理性。长远影响：它成为中国古代数学教育

的主要依据。它成为中国古典数学进一步发展的基础。胡来的大多数中算典籍都是效仿九章算术的编写体例，都以其中的算法

理论作为进一步研究的起点。它成为远东数学的源头。《九章算术》很早就东传日本、朝鲜，对这些国家数学的发展起到了重

要的启迪作用和促进作用。

4、刘徽所生活的朝代、代表著作以及在数学上的主要成就。

答： 刘徽魏晋时期人；代表著作有《九章算术注》，用言辞剖析原著的数学推理，即“析理以辞”，对原著中的几何命题，则

以“解体用图”的方法予以诠释或证明。主要成就：算术上给出了系统的分数算法、各种比例算法、求最大公约数的方法；代数

上有方程术、正负数加减法则的建立和开平方或开立方方法；在几何上别具一格的证明方法有“图形割补法”“代数法”“极限

法”“无穷小分割法”，有割圆术及徽率。割圆术的基本思想是“化圆为方”，并借助于极限的方法。体积计算：阳马的体积=立方

体体积，鳖的体积=立方体体积。刘徽的另一著作《海岛算经》.

5、祖冲之父子其主要贡献在数学、天文历法和机械三方面。

在数学方面，(1)他写了《缀术》一书，被收入著名的《算经十书》中，祖冲之算出π的在3.1415926和3.1415927之间，相当

于精确到小数第7位，简化成3.1415926，祖冲之还给出π的两个分数形式：22/7（约率）和355/113（密率）；(2)祖冲之还和

儿子祖暅一起圆满地利用“牟合方盖”（ 牟合方盖与其外切正方体的体积比为2/3）,解决了球体积的计算问题，得到正确的球体

积公式。(3)祖暅原理：缘冥势既同，则积不容易。即夹在连个平行平面间内的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面

所截，若所得截面总相等，则此二几何体体积相等。

在天文历法方面，祖冲之创制了《大明历》在机械学方面，他设计制造过水碓磨、铜制机件传动的指南车、千里船、定时器等

等。

6、〈孙子算经〉现传本分上中下三卷。上卷叙述度量衡制度、筹算记数和筹算乘除算法；中卷距离能说明筹算分数算法、开

平方和面积、体积计算；下卷是各种应用问题。典型的“鸡兔同笼”“物不知数”问题。

7、〈张邱建算经〉共三卷，所所列问题大部分是联系实际的应用题。在最大公约数和最小公倍数、等差数列与不定方程方面

超过了《九章算术》的水平。典型的“百鸡问题”

8、〈缉古算经〉作者唐初历算家王孝通，大部分归结为一个三次方程求解，创造哪了布列三次方程解用用问题，并运用从开

立方法解三次方程的方法。

四、宋元时期——中国传统数学的兴盛

1、增乘开方法：北宋数学家贾宪创造的，包括四种算法：缩根，将方根缩小至原来的 而使起仅保留一位整数；估根，通过试

除确定这个证书的数值；减根，除去这个确定的整数；倍根，使方根的剩余部分扩大10倍而重现一位整数。贾宪增乘开方法

尽管已经可以用于解高次方程，但贾宪本人却知识单纯的用它来处理开方问题，将增乘开方法推广到高次方程一般情况的是南

宋时期的数学家秦九韶。

2、杨辉三角：贾宪的著作早已失传，但主要内容被南宋时期的杨辉摘录，从著作中可以看出贾宪的高次开方法是以“开方做法

本源”图为基础的，图中数字排列成三角形，称为杨辉三角。西方称“帕斯卡三角形”。

3、秦九韶〈数书九章〉采用问题的形式，收集了81个数学实际应用问题，推广传统的“开方法”，创立了“正负开方术”。〈数书

九章〉卷一“大衍总数术”中推广了“孙子问题”解法。

4、天元术和四元术

天元术 的产生标志着中国传统数学发展到了一个新的高度，这就是半符号代数的产生。李治的《测圆海镜》和《益古演段》

是现存最早的系统介绍和研究“天元术的著作”

四元术：朱世杰是13 世纪至14 世纪元代数学家，燕山人。推广了天元术，提出了四元术来接四元方程，可以说这是中国筹算

代数学的顶峰。 《四元玉鉴》，他引进“天地人物”四元来表示四个未知数。其主要数学成就是求解方程的四元术、高阶等差数

列研究及其在内插法上的应用。 四元术最精彩的就是所谓“相消法“其主要步骤是”剔而消之“”互隐通分相消“和”内外相消“这三

步。

五、明清时期——中国传统数学的衰弱与复苏。

1、古典数学在14世纪中断（衰弱）的原因

中国数学本身的弱点：（1）注重数值计算，忽视抽象概念，因而不利于发展严密的逻辑体系。（2）缺乏适用的数学符号，

始终未能建立起符号体系。（3）筹算本身的局限性。（4）数学发展过程中逐渐偏离以刘徽为代表的正确的方法，神秘主义

逐渐流行。

社会因素：（1）漫长的封建社会进入末期，加上外族入侵，造成对文化、经济和民生的严重破坏。（2）知识分子地位低

下。（3）科举考试制度的异化，科举考试制度始于隋朝，一直继续到南宋，其中设有明算科，入元后，考试制度废止，1313

年恢复，但内容以《四书》为主，将数学内容完全欲去。

2、珠算的发展

3、中国传统数学的特点：追求使用 注重算法 于理于算